📊 सांख्यिकी

Representation-Covariant Scale Exponents under Fisher-Induced Whitening: Identifiability, Profile Likelihood, and Adaptive Estimation

यह शोधपत्र स्थापित करता है कि फिशर-प्रेरित व्हाइटनिंग (Fisher-induced whitening) के अंतर्गत, KA मॉडल का शेप पैरामीटर $\alpha$ प्रतिनिधित्व-अपरिवर्तनीय (representation-invariant) रहता है, जबकि स्केल एक्सपोनेंट $\nu$ एक सार्वभौमिक $1/2$ से विस्थापित होता है, एक ऐसा निष्कर्ष जिसकी पुष्टि सटीक परिमित-नमूना पहचानों (exact finite-sample identities) और उच्च-परिशुद्धता मोंटे कार्लो सिमुलेशन द्वारा की गई है।

मूल लेखक: Hikmat Karimov, Rahid Alekberli

प्रकाशित 2026-10-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Hikmat Karimov, Rahid Alekberli

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आधुनिक डेटा विज्ञान के विशाल परिदृश्य में, शोधकर्ता अक्सर जटिल प्रणालियों के भीतर छिपे हुए पैटर्न खोजने का प्रयास करते हैं, जैसे कि वित्तीय बाजार किस तरह से उतार-चढ़ाव करते हैं या कृत्रिम बुद्धिमत्ता (आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस) भाषा को कैसे संसाधित करती है। इसके लिए एक सामान्य उपकरण इस प्रणाली के "स्पेक्ट्रम" (वर्णक्रम) को देखना है, जो एक प्रिज्म की तरह है जो प्रकाश की किरण को अलग-अलग रंगों या आवृत्तियों में तोड़ देता है। इन प्रणालियों में, प्रत्येक आवृत्ति की शक्ति अक्सर एक अनुमानित नियम का पालन करती है, जहाँ सबसे शक्तिशाली संकेत कमजोर संकेतों की तुलना में बहुत अधिक शक्तिशाली होते हैं, ठीक वैसे ही जैसे एक भीड़ भरे कमरे में कुछ ऊँची आवाजें हावी होती हैं जबकि अन्य फुसफुसाती रहती हैं। वैज्ञानिकों ने इन पैटर्न का वर्णन करने के लिए गणितीय मॉडल विकसित किए हैं, यह मानते हुए कि इन संकेतों की शक्ति के बदलने का तरीका एक विशिष्ट, अपरिवर्तनीय नियम का अनुसरण करता है। हालाँकि, एक निरंतर समस्या यह रही है कि इन नियमों का वर्णन करने के लिए शोधकर्ता जो संख्याएँ गणना करते हैं, वे केवल डेटा को मापने या "सामान्य करने" (नॉर्मलाइज़ करने) के तरीके के कारण बदल सकती हैं। यदि एक शोधकर्ता अपने माप को दूसरे की तुलना में अलग तरह से स्केल करता है, तो उन्हें उसी अंतर्निहित वास्तविकता के लिए पूरी तरह से अलग संख्याएँ मिल सकती हैं, जिससे इस बात को लेकर भ्रम पैदा होता है कि वास्तव में प्रणाली के भीतर क्या हो रहा है।

यह भ्रम अज़रबैजान तकनीकी विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं के एक नए अध्ययन द्वारा हल किया गया एक केंद्रीय पहेली है। उन्होंने इन स्पेक्ट्रल पैटर्न का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले एक विशिष्ट मॉडल की जांच की, जो दो प्रमुख संख्याओं पर निर्भर करता है: एक जो संकेतों की समग्र शक्ति के पैमाने (स्केलिंग) का वर्णन करता है, और दूसरी जो वितरण के आकार या "पूंछ" (टेल) का वर्णन करती है, जो यह दर्शाती है कि चरम आउटलेयर्स कितनी बार आते हैं। शोधकर्ताओं ने एक मौलिक प्रश्न पूछा: यदि आप डेटा को गणितीय रूप से सुचारू (स्मूथिंग) करके देखने के तरीके को बदलते हैं—एक प्रक्रिया जिसे "व्हाइटनिंग" कहा जाता है—तो क्या ये दो संख्याएँ बदल जाती हैं, या वे समान रहती हैं? उनके निष्कर्ष एक स्पष्ट और आश्चर्यजनक अंतर प्रकट करते हैं। उन्होंने पाया कि समग्र शक्ति का वर्णन करने वाली संख्या स्वयं प्रणाली का एक स्थिर गुण नहीं है, बल्कि वास्तव में माप पद्धति पर निर्भर है। विशेष रूप से, जब डेटा को सुचारू बनाया जाता है, तो यह संख्या एक सटीक, अनुमानित मात्रा में बदल जाती है। इसके विपरीत, वितरण के आकार का वर्णन करने वाली संख्या पूरी तरह से अपरिवर्तित रहती है, चाहे डेटा को कैसे भी संसाधित किया जाए। इसका अर्थ यह है कि आकार प्रणाली का एक वास्तविक, अंतर्निहित लक्षण है, जबकि शक्ति स्केलिंग एक सापेक्ष मान है जिसके लिए विभिन्न अध्ययनों के बीच तुलना करने हेतु एक सुधार कारक (करेक्शन फैक्टर) की आवश्यकता होती है।

इसे सिद्ध करने के लिए, शोधकर्ताओं ने अस्पष्ट सिद्धांतों पर भरोसा नहीं किया, बल्कि छत्तीस हजार सिम्युलेटेड डेटासेट्स (कृत्रिम डेटा समूहों) को शामिल करने वाला एक विशाल, कठोर परीक्षण किया। उन्होंने हजारों अलग-अलग परिदृश्य बनाए, डेटा के आकार और प्रणाली के अंतर्निदित नियमों को बदलते रहे, यह देखने के लिए कि क्या उनके गणितीय अनुमान कायम रहते हैं। परिणाम सटीक थे। प्रत्येक मामले में, शोधकर्ताओं ने पाया कि डेटा को सुचारू करने पर शक्ति स्केलिंग का अनुमान ठीक आधा (one-half) बदल जाता है, एक ऐसा संबंध जो कंप्यूटर द्वारा मापी जा सकने वाली सबसे छोटी दशमलव संख्या तक बना रहा। यह कोई अनुमान या रुझान नहीं था; यह एक कठोर, बीजगणितीय पहचान (एल्जेब्रिक आइडेंटिटी) थी जो डेटा की किसी भी परिमित मात्रा के लिए काम करती थी। इसके अलावा, उन्होंने दिखाया कि आकार पैरामीटर का अनुमान पूरी तरह से स्थिर रहता है, जो पुष्टि करता है कि यह डेटा उत्पन्न करने वाली प्रक्रिया की एक वास्तविक विशेषता है। यह अंतर महत्वपूर्ण है क्योंकि यह वैज्ञानिकों को बताता है कि जब वे विभिन्न प्रणालियों या विभिन्न शोध समूहों के परिणामों की तुलना करते हैं, तो उन्हें निष्कर्ष निकालने से पहले शक्ति संख्याओं पर एक विशिष्ट सुधार लागू करना चाहिए, अन्यथा वे सेब की तुलना संतरे से कर रहे होंगे।

अध्ययन ने यह भी संबोधित किया कि जब डेटा अव्यवस्थित या जटिल हो तो इन संख्याओं का सर्वोत्तम अनुमान कैसे लगाया जाए। शोधकर्ताओं ने गणना की एक मानक, सीधी विधि की तुलना एक अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण से की जो डेटा के बदलते आकार को ध्यान में रखती है। उन्होंने पाया कि परिष्कृत विधि काफी अधिक सटीक थी, जो मानक विधि की तुलना में अनुमानों में त्रुटि को चार से आठ गुना कम कर देती है। शोधकर्ताओं को इस अधिक जटिल उपकरण का उपयोग करने का निर्णय लेने में मदद करने के लिए, उन्होंने एक अनुकूलन योग्य नियम (एडैप्टिव रूल) विकसित किया जो स्वचालित रूप से डेटा की जांच करता है कि क्या अतिरिक्त जटिलता आवश्यक है। यह नियम उच्च विश्वसनीयता के साथ काम करता है, जो सही पहचान करता है कि डेटा का आकार कब बदल रहा है और कब नहीं। शोधकर्ता सावधानीपूर्वक यह नोट करते हैं कि जबकि उनकी विधि संख्याओं के सही "चिह्न" (साइन) को निर्धारित करने में उत्कृष्ट है—यह बताने में कि कोई मान धनात्मक है या ऋणात्मक—यह स्वयं सटीक मान में पूर्ण सटीकता की गारंटी नहीं देती है, विशेष रूपकर जब डेटा सीमित हो।

अंत में, शोधकर्ताओं ने प्रदर्शन किया कि उनकी पूरी प्रक्रिया उन डेटा संरचनाओं पर काम करती है जो वास्तविक दुनिया के वित्तीय संकेतकों की नकल करने के लिए डिज़ाइन की गई हैं और बड़े भाषा मॉडलों (लार्ज लैंग्वेज मॉडल्स) पर इन विचारों के परीक्षण के लिए एक प्रोटोकॉल प्रस्तावित किया, जो आधुनिक कृत्रिम बुद्धिमत्ता के पीछे की तकनीक है। उन्होंने इस बात पर जोर दिया कि उनका वर्तमान कार्य गणितीय ढांचे और कम्प्यूटेशनल पाइपलाइन का एक सत्यापन है, न कि वास्तविक वित्तीय बाजारों या भाषा मॉडलों में पाए जाने वाले विशिष्ट मूल्यों का अंतिम दावा। उन्होंने मापने वाला टेप और उसका उपयोग करने के नियम बना दिए हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि भविष्य के वैज्ञानिक डेटा को देखने के तरीके से भ्रमित हुए बिना इन प्रणालियों को माप सकें। अंतिम लक्ष्य यह निर्धारित करना है कि क्या वित्तीय प्रणालियों और कृत्रिम बुद्धिमत्ता को नियंत्रित करने वाले मौलिक नियम एक ही हैं, लेकिन वह तुलना अब संभव है क्योंकि शोधकर्ताओं ने विभिन्न माप प्रणालियों के बीच अनुवाद करने का एक विश्वसनीय तरीका स्थापित कर दिया है।

तकनीकी सारांश: फिशर-प्रेरित व्हाइटनिंग के तहत प्रतिनिधित्व-सहवर्ती स्केल एक्सपोनेंट्स (Representation-Covariant Scale Exponents)

1. समस्या विवरण

यह शोध पत्र उच्च-आयामी सांख्यिकीय मॉडलिंग में एक मौलिक पहचान योग्य समस्या (identifiability issue) को संबोधित करता है: जब डेटा के समन्वय तंत्र (coordinate system) को रूपांतरित किया जाता है, तो पैरामीटर अनुमान कैसे बदलते हैं। विशेष रूप से, यह KA (केरीमोव-अलेकबर्ली) स्पेक्ट्रल मॉडल की जांच करता है, जो यह प्रस्तावित करता है कि फिशर सूचना स्कोर वेक्टर के स्पेक्ट्रल प्रोजेक्शन एक सामान्यीकृत गाऊसी वितरण (Generalized Gaussian Distribution - GGD) का पालन करते हैं। इस मॉडल में, GGD के स्केल और शेप पैरामीटर्स को संबंधित फिशर आइगेनवैल्यूज़ के पावर लॉ के रूप में माना जाता है, जो घातांकों $\nu$ (स्केल) और $\alpha$ (शेप) द्वारा नियंत्रित होते हैं।

मुख्य समस्या तब उत्पन्न होती है जब शोधकर्ता फिशर-प्रेरित व्हाइटनिंग (स्पेक्ट्रल प्रोजेक्शन को आइगेनवैल्यू के वर्गमूल $\sqrt{\lambda_i}$ द्वारा सामान्यीकृत करना) लागू करते हैं, जो एक सामान्य प्रीप्रोसेसिंग चरण है। शोध पत्र यह प्रश्न पूछता है: जब स्पेक्ट्रल प्रोजेक्शन को इस व्हाइटनड (whitened) समन्वय प्रणाली में देखा जाता है, तो कौन से अनुमानित एक्सपोनेंट मान डेटा-जनरेटिंग प्रक्रिया के आंतरिक (intrinsic) हैं, और कौन से केवल प्रतिनिधित्व-निर्भर आर्टिफैक्ट्स (artifacts) हैं?

2. कार्यप्रणाली

लेखक एक्सपोनेंट्स $\nu$ और $\alpha$ के व्यवहार को व्हाइटनिंग के तहत लक्षणित करने के लिए बीजगणितीय व्युत्पत्ति (algebraic derivation), लाइक्लीहुड थ्योरी और व्यापक मोंटे कार्लो सिमुलेशन का एक कठोर संयोजन नियोजित करते हैं।

मॉडल परिभाषा: मूल KA मॉडल आइगेनवैल्यूज़ $\lambda_{it}$ पर सशर्त स्पेक्ट्रल प्रोजेक्शन $Z_{it}$ को $Z_{it} \sim \text{GGD}(0, c\lambda_{it}^\nu, a\lambda_{it}^\alpha)$ के रूप में परिभाषित करता है। इसका तात्पर्य प्रोजेक्शन के लॉग-परिमाण और लॉग-आइगेनवैल्यू अनुपातों के बीच एक लॉग-लीनियर संबंध से है।
व्हाइटनिंग रूपांतरण: व्हाइटनड समन्वय को $Z^w_{it} = Z_{it}\lambda_{it}^{1/2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। लेखक व्युत्पन्न करते हैं कि इस रूपांतरण के तहत, स्केल एक्सपोनेंट $\nu_w = \nu + 1/2$ में बदल जाता है, जबकि शेप एक्सपोनेंट $\alpha_w = \alpha$ बना रहता है।
अनुमान दृष्टिकोण (Estimation Approaches):
- साधारण न्यूनतम वर्ग (Ordinary Least Squares - OLS): प्रोजेक्शन परिमाणों के लॉग-लीनियर रिग्रेशन पर लागू किया गया।
- प्रोफाइल लाइक्लीहुड (Profile Likelihood): $(\nu, \alpha)$ के संयुक्त अनुमान पर ध्यान केंद्रित करने के लिए स्केल और शेप पैरामीटर्स को प्रोफाइल किया जाता है।
- अनुकूली मॉडल चयन (Adaptive Model Selection): एक आकार-मुक्त (shape-free) OLS मॉडल ( $M_0$ ) और एक पूर्ण प्रोफाइल GGD मॉडल ( $M_1$ ) के बीच चयन करने के लिए एक AIC-आधारित सेलेक्टर प्रस्तावित किया गया है।
सत्यापन ढांचा (Validation Framework):
- बीजगणितीय इनवेरियंट्स (Algebraic Invariants): सटीक पहचानों (जैसे, $\nu$ का शिफ्ट) के सत्यापन के लिए 36,000 सिंथेटिक डेटासेट (360 पैरामीटर सेल $\times$ 100 पुनरावृत्ति) का उपयोग।
- सिंथेटिक प्रदर्शन: BIS (बैंक फॉर इंटरनेशनल सेटलमेंट्स) क्रेडिट-टू-जीडीपी संकेतकों के लिए कैलिब्रेट किए गए डेटा का उपयोग करके एक पाइपलाइन सत्यापन।
- भावी प्रोटोकॉल (Prospective Protocol): भविष्य में लार्ज लैंग्वेज मॉडल (LLM) डेटा के अनुप्रयोग के लिए "LLM-0" ऑडिट मानदंडों की परिभाषा।

3. मुख्य योगदान

A. सटीक परिमित-नमूना समन्वय पहचान (प्रपोजिशन 1)

यह शोध पत्र स्केल एक्सपोनेंट $\nu$ के OLS एस्टिमेटर के लिए एक वितरण-मुक्त, बीजगणितीय पहचान स्थापित करता है। किसी भी परिमित नमूने, किसी भी वितरण, और किसी भी शेप पैरामीटर के लिए, व्हाइटनड सिस्टम में OLS एस्टिमेटर ( $\hat{\nu}^w_{OLS}$ ) कच्चे एस्टिमेटर ( $\hat{\nu}^{raw}_{OLS}$ ) से ठीक इस प्रकार संबंधित है:
$\hat{\nu}^w_{OLS} = \hat{\nu}^{raw}_{OLS} + \frac{1}{2}$
यह परिणाम किसी भी अंतर्निहित डेटा वितरण के लिए मान्य है, बशर्ते कि रिग्रेसर गैर-अपभ्रष्ट (non-degenerate) हो।

B. प्रोफाइल लाइक्लीहुड कोवेरियेंस प्रमेय (थ्योरम 1)

लेखक इस पहचान को मैक्सिमम लाइक्लीहुड एस्टिमेशन (MLE) ढांचे तक विस्तारित करते हैं। वे सिद्ध करते हैं कि प्रोफाइल लॉग-लाइक्लीहुड इस तरह रूपांतरित होता है कि प्रोफाइल MLE जोड़े संतुष्ट करते हैं:
$\hat{\nu}^P_w = \hat{\nu}^P_{raw} + \frac{1}{2} \quad \text{और} \quad \hat{\alpha}^P_w = \hat{\alpha}^P_{raw}$
यह पुष्टि करता है कि $\nu$ एक प्रतिनिधित्व-सहवर्ती (representation-covariant) है (व्हाइटनिंग के तहत $+1/2$ के सार्वभौमिक स्थिरांक द्वारा शिफ्ट होता है), जबकि $\alpha$ एक प्रतिनिधित्व-अपरिवर्तनीय (representation-invariant) है।

C. साइन-पहचान सीमा (प्रपोजिशन 2)

यह शोध पत्र साइन रिकवरी (sign recovery) और अनबायस्ड एस्टिमेशन (unbiased estimation) के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर स्पष्ट करता है। यह प्रदर्शित करता है कि पूर्ण साइन रिकवरी ( $P(\text{sign}(\hat{\nu}) = \text{sign}(\nu)) = 1$ ) अनबायस्ड एस्टिमेशन ( $E[\hat{\nu}] = \nu$ ) को निहित नहीं करती है।

साइन फ्लिपिंग के लिए महत्वपूर्ण सीमा को प्रिसिजन-एम्प्लीट्यूड नल (precision-amplitude null) के रूप में पहचाना गया है जो $\nu = -1/2$ पर है, न कि गाऊसी नल $\nu = 0$ पर।
$\nu = -1/2$ पर, सकारात्मक शेप कंटैमिनेशन ( $\alpha > 0$ से) OLS एस्टिमेटर को शून्य की ओर बायस कर सकता है, जिससे भले ही वास्तविक पैरामीटर ऋणात्मक हो, एस्टिमेट का साइन बदल सकता है।

D. अनुकूली मॉडल चयन

एक अनुकूली AIC सेलेक्टर पेश किया गया है जो एक आकार-मुक्त मॉडल ( $M_0$ ) और एक प्रोफाइल GGD मॉडल ( $M_1$ ) के बीच चयन करता है।

सेलेक्टर को उदार (liberal) बनाया गया है (टाइप-I एरर रेट $\alpha=0$ पर $\approx 11.1\%$ ) ताकि उस उच्च दक्षता हानि (जब शेप वेरिएशन $\alpha > 0$ मौजूद हो, तो 4–8 $\times$ अधिक RMSE) से बचा जा सके जो आकार-मुक्त OLS एस्टिमेटर के उपयोग से जुड़ी है।
यह $\alpha \geq 0.20$ के लिए पूर्ण पावर (1.00) प्राप्त करता है।

4. परिणाम

बीजगणितीय सत्यापन: 36,000 रन के मोंटे कार्लो बेंचमार्क ने प्रपोजिशन 1 पहचान को अधिकतम विचलन $\leq 5.6 \times 10^{-9}$ (मशीन प्रिसिजन) के साथ पुष्ट किया।
अनुमान दक्षता (Estimation Efficiency): जब शेप वेरिएशन मौजूद था, तो प्रोफाइल एस्टिमेटर ने OLS की तुलना में RMSE को 4 से 8 गुना कम कर दिया। दक्षता लाभ छोटे टाइम सीरीज़ ( $T=100$ ) के लिए सबसे अधिक था और $T$ बढ़ने के साथ कम हुआ लेकिन बना रहा।
बायस विश्लेषण: जैसे-जैसे $\alpha$ बढ़ता गया, OLS एस्टिमेटर्स ने महत्वपूर्ण सकारात्मक बायस (शेप कंटैमिनेशन) दिखाया। इसके विपरीत, प्रोफाइल एस्टिमेटर शून्य के पास केंद्रित रहा, जिसका बायस केवल ग्रिड क्वांटाइजेशन स्टेप द्वारा सीमित था।
साइन रिकवरी: प्रोफाइल एस्टिमेटर ने उन सभी टेस्ट सेल्स में पूर्ण साइन रिकवरी ( $P=1.00$ ) प्राप्त की जहाँ $\nu \neq 0$ था, जबकि OLS का स्तर 0.950 से 0.997 के बीच रहा। हालांकि, शोध पत्र इस बात पर जोर देता है कि पूर्ण साइन रिकवरी का अर्थ शून्य RMSE नहीं था क्योंकि यह ग्रिड क्वांटाइजेशन सीमाओं के कारण था।
सिंथेटिक प्रदर्शन: BIS-कैलिब्रेटेड सिंथेटिक डेटा का उपयोग करके एक पाइपलाइन परीक्षण ने सभी "गेट" चेक (गेट 1 विचलन $\leq 5.96 \times 10^{-12}$ ) पास किए, जो नीति-प्रासंगिक डेटा संरचनाओं पर अनुमान पाइपलाइन की निष्पादन क्षमता की पुष्टि करता है।

5. महत्व और दावे

शोध पत्र स्पष्ट रूप से रूपांतरण के तहत KA मॉडल के पैरामीटर्स के सैद्धांतिक और पद्धतिगत लक्षण वर्णन तक ही अपनी सीमा को सीमित करता है।

सैद्धांतिक योगदान: यह एक पूर्ण प्रतिनिधित्व-सहवर्ती सिद्धांत प्रदान करता है, यह स्थापित करता है कि $\nu$ एक अंतर्निहित संरचनात्मक पैरामीटर नहीं है बल्कि एक प्रतिनिधित्व-निर्भर मात्रा है जिसे विभिन्न सामान्यीकरणों की तुलना करने के लिए $1/2$ सुधार की आवश्यकता होती है।
व्यावहारिक निहितार्थ: विभिन्न सिस्टमों (जैसे, विभिन्न वित्तीय डेटासेट या विभिन्न न्यूरल नेटवर्क आर्किटेक्चर) के बीच स्केल एक्सपोनेंट्स की तुलना करने वाले शोधकर्ताओं को आर्टिफैक्ट्स की तुलना करने से बचने के लिए $1/2$ सुधार लागू करना चाहिए।
पद्धतिगत सत्यापन: यह कार्य सिंथेटिक डेटा पर "फ्रोजन" एस्टिमेशन पाइपलाइन (Gate 1 $\to$ Check A/B $\to$ Gate 2) को मान्य करता है।
अनुभवजन्य निष्कर्षों पर विनम्र दावे:
- यह शोध पत्र वास्तविक वित्तीय पैनल डेटा या लार्ज लैंग्वेज मॉडल्स से $\nu$ या $\alpha$ का अनुमान लगाने का दावा नहीं करता है।
- BIS प्रदर्शन को स्पष्ट रूप से एक "पाइपलाइन वैलिडेशन एक्सरसाइज" के रूप में लेबल किया गया है, न कि एक अनुभवजन्य निष्कर्ष के रूप में।
- "LLM-0" प्रोटोकॉल को भविष्य के कार्य के लिए एक भावी विनिर्देश (prospective specification) के रूप में सख्ती से परिभाषित किया गया है। शोध पत्र कहता है कि भाषा मॉडल डेटा से एक्सपोनेंट्स का वास्तविक अनुमान, LLM-0 ऑडिट पास करने के अधीन, एक आगामी प्रकाशन के लिए आरक्षित है।
- शोध पत्र वास्तविक दुनिया के किसी भी डेटा स्रोत के लिए GGD मॉडल को मान्य करने का दावा नहीं करता है; यह केवल मानित मॉडल के तहत बीजगणितीय पहचान और एस्टिमेटर्स के व्यवहार को मान्य करता है।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र आवश्यक सैद्धांतिक बुनियादी ढांचा स्थापित करता है, जो यह स्पष्ट करता है कि फिशर-प्रेरित व्हाइटनिंग की उपस्थिति में स्पेक्ट्रल पावर-लॉ एक्सपोनेंट्स की सही व्याख्या कैसे की जाए।