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Cost convexity controls the architecture of resistance-optimal networks

यह शोधपत्र प्रदर्शित करता है कि लागत उत्तलता घातांक (cost convexity exponent) $\alpha$ प्रतिरोध-इष्टतम नेटवर्कों की वास्तुकला को मौलिक रूप से निर्धारित करता है, जो उत्तल लागतों (convex costs) के तहत अद्वितीय, पूर्णतः जुड़े हुए सघन संरचनाओं से अवतल लागतों (concave costs) के तहत विरल, लूप रहित बैकबोन की ओर एक संक्रमण को संचालित करता है, जिसमें एक महत्वपूर्ण पतन दहलीज (collapse threshold) होती है जो नेटवर्क के आकार के साथ बदलती है।

मूल लेखक: Daniel Pérez-Calixto

प्रकाशित 2026-09-29

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Daniel Pérez-Calixto

मूल पेपर CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि एक शहर यह तय करने की कोशिश कर रहा है कि अपनी सड़कें कैसे बनाई जाएं। यदि शहर के पास डामर (asphalt) और धन की एक निश्चित मात्रा है, तो वह हर जगह अधिक लेन नहीं बना सकता; प्रत्येक नई सड़क के निर्माण के लिए संसाधनों की आवश्यकता होती है जो कहीं और से लिए जाने चाहिए। लक्ष्य सड़कों को इस तरह व्यवस्थित करना है कि एक यात्री शहर के किसी भी बिंदु से किसी भी अन्य बिंदु तक जितनी जल्दी हो सके पहुँच सके। यह संतुलन का एक प्रश्न है: कुछ प्रमुख राजमार्गों पर बहुत अधिक खर्च करने से पड़ोस अलग-थलग पड़ सकते हैं, जबकि सामग्री को बहुत कम फैला देने से हर सड़क इतनी संकरी रह जाएगी कि वह उपयोगी न रहे। वैज्ञानिक लंबे समय से इन नेटवर्कों को डिजाइन करने का अध्ययन करते रहे हैं, लेकिन उन्होंने आमतौर पर यह माना कि सड़क बनाने की लागत उसके आकार के साथ एक सरल, सीधी रेखा में बढ़ती है। हालाँकि, वास्तविक दुनिया में, एक चैनल बनाने की लागत—चाहे वह रक्त वाहिका हो, नदी हो, या बिजली का तार—अक्सर एक अधिक जटिल नियम का पालन करती है। कभी-कभी, एक चैनल को थोड़ा चौड़ा बनाने में केवल थोड़े अतिरिक्त सामग्री से कहीं अधिक लागत आती है; अन्य समय में, इसमें आश्चर्यजनक रूप से बहुत कम लागत आती है। क्षमता के बढ़ने के तरीके में यह अंतर पूरे नेटवर्क के आकार को बदल देता है।

मेक्सिको के एक शोधकर्ता ने इस बात का पता लगाया है कि यह लागत नियम कुशल नेटवर्कों की वास्तुकला को कैसे आकार देता है। उन्होंने उस माप पर ध्यान केंद्रित किया कि एक नेटवर्क अपने आंतरिक भाग को कितनी अच्छी तरह जोड़ता है, जिसे वे "एक्सेस" (access) कहते हैं। एक्सेस को एक ऐसे तरीके से समझें जिससे एक यात्री सिस्टम के किन्हीं भी दो यादृच्छिक स्थानों के बीच आसानी से घूम सके। सर्वोत्तम डिजाइन खोजने के लिए, उन्होंने एक ऐसा नेटवर्क की कल्पना की जहाँ बिंदुओं के बीच हर संभव कनेक्शन की अनुमति है, लेकिन निर्माण पथों के लिए उपयोग की जाने वाली कुल सामग्री की मात्रा सख्ती से सीमित है। फिर उन्होंने परीक्षण किया कि क्या होता है जब एक पथ बनाने की लागत एक विशिष्ट गणितीय नियम के अनुसार बदलती है, जिसे "पावर लॉ" (power law) के रूप में जाना जाता है। यह नियम एक एकल संख्या, एक घातांक (exponent) द्वारा नियंत्रित होता है, जो यह निर्धारित करता है कि क्षमता जोड़ने की लागत धीरे-धीरे बढ़ती है, तेजी से बढ़ती है, या इन दोनों के बीच कहीं है।

जब लागत नियम "कॉन्वेक्स" (convex) होता है, जिसका अर्थ है कि कुछ मोटे चैनलों में संसाधनों को केंद्रित करना महंगा है, तो शोधकर्ता ने पाया कि इष्टतम नेटवर्क अद्वितीय और आश्चर्यजनक रूप से समान होता है। इस परिदृश्य में, नेटवर्क में प्रत्येक संभावित कनेक्शन को सामग्री की एक सकारात्मक मात्रा मिलती है, चाहे वह कितनी भी कम क्यों न हो। नेटवर्क अपने संसाधनों को समान रूप से फैला देता है, जिससे एक घना जाल बनता है जहाँ प्रत्येक पथ समग्र प्रवाह में योगदान देता है। शोधकर्ता ने दिखाया कि इस शासन में, एक विशिष्ट चैनल में थोड़ी और सामग्री जोड़ने का मूल्य पूरे नेटवर्क के वैश्विक गुण पर निर्भर करता है, न कि केवल उस स्थानीय जंक्शन पर जहाँ वह चैनल स्थित है। इसका मतलब है कि सड़क बनाने का निर्णय इस बात से प्रभावित होता है कि वह पूरे सिस्टम की मदद कैसे करती है, न कि केवल उसके निकटतम पड़ोसियों की।

कहानी नाटकीय रूप से बदल जाती है जब लागत नियम "कन्केव" (concave) हो जाता है, जिसका अर्थ है कि कई पतले चैनलों के बजाय कुछ बहुत मोटे चैनल बनाना सस्ता है। यहाँ, गणित भविष्यवाणी करता है कि नेटवर्क अपने संसाधनों को समान रूप से नहीं फैलाएगा। इसके बजाय, यह अपने पदार्थ को एक विरल रीढ़ (sparse backbone) पर केंद्रित कर देगा, जिससे अधिकांश संभावित कनेक्शन पूरी तरह से खाली रह जाएंगे। शोधकर्ता ने पाया कि जैसे-जैसे उन्होंने लागत नियम को अधिक कन्केव बनाया, नेटवर्क एक जटिल, लूप वाली संरचना से अचानक एक सरल पेड़ जैसी आकृति (tree-like shape) में बदल गया जिसमें कोई लूप नहीं थे। यह पतन अचानक होता है। अपने सिमुलेशन में, उन्होंने एक विशिष्ट सीमा (threshold) पाई जहाँ नेटवर्क अपने लूप पूरी तरह से खो देता है। 64 नोड्स वाले नेटवर्क के लिए, यह संक्रमण तब हुआ जब लागत घातांक घटकर 0.675 हो गया। इस मान से ठीक ऊपर, नेटवर्क में 133 सक्रिय कनेक्शन थे; इस मान से ठीक नीचे, यह गिरकर ठीक 63 हो गया, जो बिना किसी अतिरिक्त पथ के एक साधारण पेड़ के लिए आवश्यक कनेक्शनों की संख्या है।

सबसे उल्लेखनीय निष्कर्षों में से एक यह था कि इष्टतम नेटवर्क का आकार सिस्टम के आकार पर बहुत अधिक निर्भर करता है। शोधकर्ता ने 8 नोड्स से लेकर 64 नोड्स तक के नेटवर्क का परीक्षण किया। उन्होंने पाया कि वह बिंदु जहाँ नेटवर्क अपने लूप खो देता है, सिस्टम के बड़े होने पर बदल जाता है। छोटे नेटवर्कों के लिए, लूप बनाना तब भी सार्थक होता है जब सामग्री सस्ती हो। लेकिन जैसे-जैसे नेटवर्क बढ़ता है, उन लूपों को बनाए रखने की सीमा उच्च हो जाती है। एक नेटवर्क जो एक निश्चित लागत नियम पर छोटे आकार में अपने लूप बनाए रखता है, वह बड़े होने पर उन्हें पूरी तरह से खो सकता है, भले ही लागत नियम अपरिवर्तित रहे। यह सुझाव देता है कि जो एक छोटे सिस्टम में "विरल" (sparse) नेटवर्क दिखता है, वह वास्तव में एक बड़े सिस्टम में एक अलग प्रकार की संरचना हो सकती है। प्रति नोड सक्रिय चैनलों की संख्या जैसे-जैसे नेटवर्क बढ़ता है, बहुत कम बदलती है, लेकिन सभी संभावित कनेक्शनों का अंश काफी घट जाता है।

शोधकर्ता ने यह भी परीक्षण किया कि क्या होता है यदि नेटवर्क को हर बिंदु को हर दूसरे बिंदु से जोड़ने के लिए नहीं कहा जाता, बल्कि केवल एक विशिष्ट स्रोत को एक विशिष्ट गंतव्य से जोड़ने के लिए कहा जाता है। इस मामले में, भले ही लागत नियम कन्केव हो, इष्टतम नेटवर्क कभी भी लूप नहीं बनाता है। यह हमेशा एक एकल, सीधा पथ चुनता है। यह इस बात पर प्रकाश डालता है कि सभी-जोड़ों (all-pairs) वाले परिदृश्य में लूपों की उपस्थिति केवल लागत नियम का दुष्प्रभाव नहीं है, बल्कि यह एक प्रत्यक्ष परिणाम है कि नेटवर्क को कई अलग-अलग बिंदुओं के बीच ट्रैफ़िक को संभालना होगा। लूप एक ऐसी अतिरेकता (redundancy) है जो तभी फायदेमंद होती है जब नेटवर्क को कई अलग-अलग स्थानों के बीच ट्रैफ़िक को संभालना होता है।

अपने निष्कर्षों को सत्यापित करने के लिए, शोधकर्ता ने हजारों कंप्यूटर सिमुलेशन चलाए, जिसमें उन्होंने कई अलग-अलग प्रारंभिक अनुमानों से शुरुआत की ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि वे वास्तविक सर्वोत्तम डिजाइन पा रहे हैं न कि केवल एक स्थानीय समझौता। उन्होंने पुष्टि की कि लूप वाले जाल से पेड़ जैसी रीढ़ में संक्रमण वास्तविक और तीव्र है। उन्होंने भौतिक ज्यामिति वाले नेटवर्कों को भी देखा, जहाँ एक चैनल की लागत उसकी भौतिक लंबाई पर निर्भर करती है। परिणाम बरकरार रहे: वही सिद्धांत कि लागत नियम तय करता है कि नेटवर्क एक घना जाल होगा या एक विरल कंकाल। निश्चित मात्रा (fixed volume) के मामले में, जो एक विशिष्ट भौतिक लागत नियम के अनुरूप है, इष्टतम नेटवर्क एक लगभग-पेड़ जैसी रीढ़ थी जिसमें बहुत कम लूप थे, जो जीव विज्ञान में संवहनी प्रणालियों (vascular systems) की संरचना के करीब है।

अध्ययन यह निष्कर्ष निकालता है कि एक कुशल नेटवर्क की वास्तुकला एक निश्चित टेम्पलेट नहीं है, बल्कि इसके निर्माण के अर्थशास्त्र के प्रति एक गतिशील प्रतिक्रिया है। यदि क्षमता जोड़ने की लागत तेजी से बढ़ती है, तो नेटवर्क फैलता है। यदि क्षमता जोड़ने की लागत धीरे-धीरे बढ़ती है, तो नेटवर्क केंद्रित होता है। लेकिन सबसे सूक्ष्म सबक यह है कि सिस्टम का आकार लागत नियम जितना ही महत्वपूर्ण है। एक नेटवर्क जो बिंदुओं के छोटे समूह के लिए इष्टतम है, वह बड़े समूह के लिए पूरी तरह से गलत हो सकता है। शोधकर्ता ने यह मापने का एक तरीका प्रदान किया कि कोई भी मौजूदा नेटवर्क अपने संसाधनों का कितनी अच्छी तरह उपयोग करता है, जो लेआउट की गुणवत्ता को सामग्री वितरण की गुणवत्ता से अलग करता है। यह उपकरण वैज्ञानिकों को किसी वास्तविक दुनिया के नेटवर्क को देखने की अनुमति देता है, चाहे वह शहर का पावर ग्रिड हो या जंगल की जड़ प्रणाली, और यह समझने में मदद करता है कि उसकी आकृति उसके निर्माण की लागत का परिणाम है या उसकी विशिष्ट मांगों का। यह कार्य यह दावा नहीं करता है कि इसने हर संभव स्थिति के लिए नेटवर्क डिजाइन की समस्या को हल कर दिया है, लेकिन इसने उन सटीक सीमाओं को मैप किया है जहाँ खेल के नियम बदल जाते है, यह प्रकट करते हुए कि दक्षता का मार्ग लागत और पैमाने के विवरण के प्रति कितना संवेदनशील है।

तकनीकी सारांश: लागत उत्तलता (Cost Convexity) प्रतिरोध-इष्टतम नेटवर्कों की वास्तुकला को नियंत्रित करती है

समस्या विवरण
यह शोध पत्र उन इष्टतम चालकीय नेटवर्कों (conducting networks) के डिजाइन को संबोधित करता है जहाँ परिवहन क्षमता और सामग्री की लागत अविभाज्य हैं। केंद्रीय समस्या यह निर्धारित करना है कि जब चालकता (conductance) की भौतिक कीमत गैर-रेखीय होती है (विशेष रूप से, एक पावर-लॉ संसाधन मॉडल $C_\alpha = \sum a_e w_e^\alpha$ का अनुसरण करती है), तो इष्टतम नेटवर्क वास्तुकला कैसे बदलती है। शास्त्रीय उत्तल डिजाइन समस्याओं के विपरीत, जहाँ लागत रेखीय ( $\alpha=1$ ) होती है, यह अध्ययन इस बात की जांच करता है कि घातांक (exponent) $\alpha$ चालकता को पतला फैलाने बनाम एक विरल बैकबोन (sparse backbone) पर केंद्रित करने के बीच के व्यापार (trade-off) को कैसे प्रभावित करता है। इसका उद्देश्य एक निश्चित बजट के तहत, सभी अनियंत्रित नोड युग्मों (unordered node pairs) को ध्यान में रखते हुए, औसत युग्म प्रभावी प्रतिरोध (mean pairwise effective resistance) को न्यूनतम करना है (जो वैश्विक पहुंच का व्युत्क्रम है)।

कार्यप्रणाली
लेखक इसे $n$ नोड्स और $m$ स्वीकार्य किनारों वाले एक जुड़े हुए अदिरेक्ष्य ग्राफ $G=(V, E)$ पर सूत्रित करते हैं।

उद्देश्य फलन (Objective Function): औसत प्रभावी प्रतिरोध $R(W) = \frac{2}{n-1} \text{tr}(L^+)$ को न्यूनतम करना, जहाँ $L$ भारित लैपलेसियन (weighted Laplacian) है और $L^+$ इसका मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स (Moore-Penrose pseudoinverse) है।
प्रतिबंध (Constraint): एक पावर-लॉ लागत बजट $C_\alpha(W) = \sum a_e w_e^\alpha \leq C_0$ , जहाँ $a_e$ किनारे-विशिष्ट दंड (जैसे लंबाई) को दर्शाता है और $\alpha$ लागत उत्तलता को नियंत्रित करता है।
विश्लेषणात्मक ढांचा: अध्ययन कराश-कुहन-टुकर्स (KKT) स्थितियों का उपयोग करके एक किनारे के मार्जिनल मूल्य (marginal worth) को व्युत्पन्न करता है। यह दिखाया गया है कि प्रति इकाई लागत मार्जिनल लाभ, वर्गed बिहार्मोनिक दूरी (squared biharmonic distance) $d_B^2(e)$ के समानुपाती होता है, जिसे मार्जिनल मूल्य $\alpha a_e w_e^{\alpha-1}$ से विभाजित किया जाता है।
संख्यात्मक दृष्टिकोण: $\alpha < 1$ के लिए, समस्या गैर-उत्तल (non-convex) है जिसमें कई स्थानीय न्यूनतम (local minima) मौजूद हैं। लेखक संसाधन अंशों के सिम्प्लेक्स (simplex) पर एक मल्टी-स्टार्ट ऑप्टिमाइज़ेशन रणनीति का उपयोग करते हैं। वे एक "कंटिन्यूएशन प्रोटोकॉल" का उपयोग करते हैं, जिसमें घातांक $\alpha$ को नीचे की ओर स्वीप किया जाता है, और अगले $\alpha$ के लिए प्रारंभिक अवस्था के रूप में पिछले सफल राज्य का उपयोग किया जाता है, ताकि वैश्विक इष्टतम (global optima) को चूकने के जोखिम को कम किया जा सके। वे पूर्ण उम्मीदवार ग्राफों ( $K_n$ ) और रैंडम जियोमेट्रिक ग्राफों पर भी परिमित-आकार स्केलिंग (finite-size scaling) विश्लेषण करते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

उत्तल शासन ( $\alpha \geq 1$ ):
- विशिष्टता (Uniqueness): जब लागत पूर्णतः उत्तल ( $\alpha > 1$ ) होती है, तो इष्टतम आवंटन अद्वितीय होता है, और प्रत्येक स्वीकार्य किनारे में धनात्मक चालकता बनी रहती है।
- मार्जिनल संतुलन: इष्टतमता की स्थिति मार्जिनल परिवहन लाभ (वर्गed बिहार्मोनिक दूरी) को मार्जिनल सामग्री लागत के बराबर करती है। यह मरे के नियम (Murray's law) का एक वैश्विक, नेटवर्क-व्यापी संस्करण है, जो स्थानीय जंक्शन-आधारित संतुलन से भिन्न है।
- दक्षता सूचकांक: लेखक एक "कंस्ट्रक्टल दक्षता सूचकांक" $\eta_\alpha$ को परिभाषित करते हैं जो नेटवर्क की टोपोलॉजिकल सीमाओं को उसके चालकता आवंटन की दक्षता से अलग करता है। यह किसी भी भारित नेटवर्क को उसी बजट पर उसके अपने सैद्धांतिक इष्टतम के विरुद्ध स्कोर करने की अनुमति देता है।
अवतल शासन ( $0 < \alpha < 1$ ):
- विरलता और गैर-विशिष्टता: जैसे ही $\alpha$ 1 से नीचे गिरता है, चालकता शून्य के करीब पहुँचने पर एक नया चैनल खोलने की मार्जिनल लागत अनंत हो जाती है। यह समाधान को विरल सपोर्ट (बैकबोन) की ओर धकेलता है और प्रतिस्पर्धी स्थानीय मिनिमा के साथ एक गैर-उत्तल परिदृश्य बनाता है।
- टोपोलॉजी बनाम आवंटन: इष्टतम वास्तुकला एक वितरित मेश (distributed mesh) से एक विरल बैकबोन में बदल जाती है। शोध पत्र "आवंटन कारक" (चालकता कितनी अच्छी तरह वितरित है) और "टोपोलॉजिकल कारक" (वायरिंग पैटर्न कितनी पहुंच खो देता है) के बीच अंतर करता है।
- परिमित-आकार स्केलिंग: $n=64$ तक के संख्यात्मक स्कैन प्रकट करते हैं कि जबकि सक्रिय किनारों का अनुपात $n$ बढ़ने के साथ घटता है, कुछ घातांकों (जैसे $\alpha=0.75, 0.90$ ) के लिए प्रति नोड सक्रिय चैनलों की संख्या लगभग $n$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है।
लूप पतन और महत्वपूर्ण घातांक (Loop Collapse and Critical Exponents):
- अध्ययन एक "लूप-कोलैप्स घातांक" $\alpha^*(n)$ की पहचान करता है, जो वह सबसे बड़ा घातांक है जिसके लिए सर्वोत्तम पाया गया राज्य एक स्पैनिंग ट्री (लूप रहित) है।
- $\alpha^*(n)$ , सिस्टम के आकार के साथ बढ़ता है ( $n=8$ पर $\approx 0.555$ से $n=64$ पर $\approx 0.675$ तक)।
- $\alpha^*(n)$ के पार संक्रमण अचानक होता है: $\alpha$ में एक ग्रिड स्टेप (0.005) जोड़ने से सपोर्ट कई लूप वाले मेश (जैसे $n=64$ के लिए 133 किनारे) से स्पैनिंग ट्री (63 किनारे) में बदल सकता है।
- एक निश्चित घातांक (जैसे $\alpha=0.65$ ) पर, नेटवर्क का चरित्र आकार के साथ बदलता है: छोटे $n$ ( $n=28$ तक) के लिए लूप वाले राज्य इष्टतम होते हैं, लेकिन बड़े $n$ ( $n \geq 32$ ) के लिए इष्टतम अवस्था एक ट्री बन जाती है।
लोडिंग निर्भरता:
- लूपों की उपस्थिति लोडिंग एन्सेम्बल (loading ensemble) पर निर्भर करती है। एकल निर्धारित स्रोत-सिंक युग्म के लिए, $0 < \alpha < 1$ के लिए सभी मामलों में इष्टतम समाधान हमेशा एक लूप रहित पथ (एक ट्री) होता है, चाहे लागत उत्तलता कुछ भी हो।
- 'ऑल-पेयर्स' ऑब्जेक्टिव में लूप इसलिए उत्पन्न होते हैं क्योंकि नेटवर्क को कई गैर-अतिव्यापी मार्गों को एक साथ सेवा देनी होती; रेडंडेंसी (redundancy) तभी खरीदी जाती है जब वैश्विक प्रभावी प्रतिरोध में कमी, नए चैनलों खोलने की बढ़ती लागत से अधिक हो जाती है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि लागत उत्तलता (cost convexity) एक प्राथमिक नियंत्रण तंत्र है, जो यह निर्धारित करती है कि इष्टतम डिज़ाइन एक वितरित मेश होगा या एक विरल बैकबोन।

सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि: यह कठोरता से सिद्ध करता है कि एक प्रतिरोध-इष्टतम नेटवर्क में किसी किनारे का "मार्जिनल मूल्य" वर्गed बिहार्मोनिक दूरी है, जो एक स्थानीय गुण के बजाय एक वैश्विक गुण है।
व्यावहारिक मीट्रिक: यह वास्तविक दुनिया के नेटवर्कों को उनके सैद्धांतिक इष्टतम के विरुद्ध स्कोर करने का एक तरीका पेश करता है, जो टोपोलॉजिकल बाधाओं को आवंटन अक्षमताओं से अलग करता है।
परिमित-आकार प्रभाव: लेखक विनम्रतापूर्वक नोट करते हैं कि हालांकि $n=64$ तक रैखिक वृद्धि देखी गई है, अनंत प्रणालियों के लिए स्पर्शोन्मुख व्यवहार (asymptotic behavior) एक खुला प्रश्न बना हुआ है। वे इस बात पर जोर देते हैं कि निश्चित $\alpha$ पर "लूप की हानि" का अवलोकन, आकार-निर्भर सीमा को पार करने का परिणाम है, न कि मौलिक तंत्र में परिवर्तन।
सीमाएँ: अध्ययन स्वीकार करता है कि सामान्य ग्राफों के लिए वैश्विक इष्टतम को प्रमाणित करना कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन है; अतः, $\alpha < 1$ के लिए रिपोर्ट किए गए परिणाम एक विशिष्ट खोज बजट के भीतर पाए गए सर्वोत्तम राज्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं, न कि गारंटीकृत वैश्विक मिनिमा का। स्थानिक उदाहरण सिंथेटिक टेस्ट बेड हैं, और भौतिक प्रणालियों (जैसे संवहनी नेटवर्क/vascular networks) पर अनुप्रयोग के लिए मापे गए चैनल ज्यामिति के साथ और अधिक सत्यापन की आवश्यकता है।

निष्कर्षतः, यह कार्य प्रदर्शित करता है कि लागत उत्तलता, सिस्टम का आकार और लोडिंग ज्योमेट्री के बीच का परस्पर प्रभाव यह निर्धारित करता है कि इष्टतम परिवहन नेटवर्क रेडंडेंट मेश के रूप में विकसित होंगे या कुशल, लूप रहित ट्री के रूप में।

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