On Base , Normal and Near-normal Sequences
यह शोध पत्र पहली बार n=41, 42, और 43 पर बेस अनुक्रम (base sequences) BS(n+1,n) का निर्माण करने के लिए एक नया एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है, साथ ही n=42 और 44 के लिए नियर-नॉर्मल (near-normal) अनुक्रमों और n=41 से 45 के लिए नॉर्मल (normal) अनुक्रमों के गैर-अस्तित्व को सिद्ध करके यांग के अनुमान (Yang's conjecture) को गलत सिद्ध करता है, जिसमें एक सामान्य प्रमाण भी शामिल है कि जब n=8k-2 हो तो कोई भी नॉर्मल अनुक्रम मौजूद नहीं होता है।
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संयोजन गणित (combinatorial mathematics) की शांत, अमूर्त दुनिया में, शोधकर्ता अक्सर संख्याओं की सरल सूचियों के भीतर छिपे पैटर्न की तलाश करते हैं। कल्पना कीजिए कि स्विचों की एक लंबी पंक्ति है, जिनमें से प्रत्येक को या तो "ऑन" (चालू) या "ऑफ" (बंद) पर सेट किया गया है। यदि आप ऐसी दो पंक्तियों को लेते हैं और उनकी तुलना करते हैं, तो एक को दूसरे के ऊपर खिसकाते हुए, तो आप हर कदम पर यह माप सकते हैं कि वे कितने मेल खाते हैं या आपस में टकराते हैं। इस माप को 'ऑटोकोरिलेशन' (autocorrelation) कहा जाता है। दशकों से, गणितज्ञ एक विशिष्ट पहेली से मंत्रमुग्ध रहे हैं: क्या आप स्विचों की चार ऐसी पंक्तियाँ खोज सकते हैं, जिन्हें दो अलग-अलग लंबाई के जोड़ों में व्यवस्थित किया गया हो, ताकि जब आप उन्हें इधर-उधर खिसकाकर जोड़ें, तो कुल शोर बिल्कुल शुरुआत के अलावा हर जगह शून्य हो जाए? यह "बेस सीक्वेंस" (base sequences) की खोज है।
ये अनुक्रम केवल संख्याओं का खेल नहीं हैं; ये 'हैडामार्ड मैट्रिक्स' (Hadamard matrix) नामक एक विशेष प्रकार के वर्गाकार ग्रिड के निर्माण के लिए छिपे हुए ब्लूप्रिंट हैं। ये ग्रिड इंजीनियरिंग और भौतिकी में महत्वपूर्ण उपकरण हैं, जिनका उपयोग ऐसे सिग्नल बनाने के लिए किया जाता है जो शोर भरे वातावरण से बिना बाधित हुए यात्रा कर सकें, ठीक वैसे ही जैसे एक स्पष्ट आवाज भीड़ भरे कमरे में उभर कर आती है। ग्रिड जितना बड़ा होगा, सिग्नल उतना ही शक्तिशाली होगा, लेकिन इन ग्रिडों को बनाने के लिए इन स्विच पंक्तियों के सही संयोजन को खोजने का काम आकार बढ़ने के साथ तेजी से कठिन होता जाता है। वर्षों से, गणितज्ञों के पास एक मजबूत धारणा थी, जिसे एक 'कन्जेक्चर' (conjecture/अनुमान) कहा जाता है, कि ये आदर्श व्यवस्थाएं हर संभव आकार के लिए पाई जा सकती हैं, लेकिन वे केवल एक निश्चित बिंदु तक के आकार के लिए ही इसे सिद्ध कर सके थे।
नानजिंग यूनिवर्सिटी ऑफ इंफॉर्मेशन साइंस एंड टेक्नोलॉजी के शोधकर्ताओं की एक टीम ने इस खोज की सीमाओं को पहले से कहीं अधिक आगे बढ़ा दिया है। उन्होंने स्विच पंक्तियों के अरबों संभावित संयोजनों में से छानने के लिए एक नई, अत्यधिक कुशल विधि विकसित की। इन चारों पंक्तियों को एक साथ अनुमान लगाने के बजाय, उनका एल्गोरिदम पहले पंक्तियों के ऐसे जोड़े बनाता है जो आपस में फिट बैठते हों, और फिर शेष दो को पूरा करने के लिए बाकी को खोजता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, उन्होंने इतिहास में पहली बार आकार 41, 42 और 43 के लिए इन आदर्श अनुक्रमों का सफलतापूर्वक निर्माण किया। यह उपलब्धि इस तथ्य की पुष्टि करती है कि बेस सीक्वेंस के अस्तित्व के बारे में लंबे समय से चली आ रही धारणा इन सभी आकारों तक सही है, जिससे इन गणितीय संरचनाओं का ज्ञात क्षेत्र विस्तृत हो गया है।
हालाँकि, कहानी तब एक आश्चर्यजनक मोड़ लेती है जब शोधकर्ताओं ने इन अनुक्रमों के दो विशिष्ट, अधिक सख्त संस्करणों को देखा, जिन्हें "नियर-नॉर्मल" (near-normal) अनुक्रम कहा जाता है। इनके लिए भी, एक समान विश्वास था कि वे प्रत्येक सम संख्या के लिए पाए जा सकते हैं। टीम ने अगले कुछ सम संख्याओं के लिए यह जांचने हेतु एक व्यापक कंप्यूटर खोज चलाई। उन्होंने पाया कि जबकि ये अनुक्रम कई आकारों के लिए मौजूद हैं, वे संख्या 42 और 44 के लिए बिल्कुल भी मौजूद नहीं हैं। यह खोज महत्वपूर्ण है क्योंकि यह ठोस प्रमाण प्रदान करती है कि नियर-नॉर्मल अनुक्रमों के बारे में धारणा गलत है। यह गणित में एक दुर्लभ क्षण है जहाँ एक लंबे समय से चली आ रही धारणा को केवल अप्रमाणित ही नहीं, बल्कि एक विशिष्ट मामले के माध्यम से स्पष्ट रूप से गलत साबित किया गया है।
शोधकर्ताओं ने "नॉर्मल" (normal) अनुक्रमों नामक एक अन्य सख्त संस्करण की भी जांच की। उन्होंने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि ये अनुक्रम संख्याओं के एक विशिष्ट पैटर्न के लिए मौजूद नहीं हो सकते, विशेष रूप से वे जो आठ के गुणज से दो कम हैं। उनके कंप्यूटर खोज ने आगे पुष्टि की कि ये अनुक्रम संख्या 41 से 46 तक मौजूद नहीं हैं। हालाँकि उन्होंने नए आकारों के लिए सामान्य अनुक्रमों का सफलतापूर्वक निर्माण किया है, लेकिन सख्त संस्करणों का बड़े नंबरों के लिए अस्तित्व अभी भी एक रहस्य बना हुआ है। उनका कार्य केवल एक सूची में नए उदाहरण जोड़ना नहीं है; यह संभव के परिदृश्य को नया आकार देता है, यह दिखाता है कि पैटर्न कहाँ टूट जाते हैं और कहाँ वे बने रहते हैं।
इन निष्कर्षों के प्रभाव उन हैडामार्ड मैट्रिसेस के निर्माण तक फैलते हैं जिनका उल्लेख शुरुआत में किया गया था। चूंकि ये मैट्रिक्स मजबूत संचार प्रणालियों और त्रुटि-सुधार कोड (error-correcting codes) बनाने के लिए आवश्यक हैं, इसलिए यह जानना कि कौन से आकार बनाए जा सकते हैं और कौन से नहीं, अत्यंत महत्वपूर्ण है। शोधकर्ताओं का नया एल्गोरिदम, जो गहरे गणितीय नियमों को शक्तिशाली कंप्यूटर खोज के साथ जोड़ता है, एक स्पष्ट मार्ग प्रदान करता है। यह वैज्ञानिकों को आत्मविश्वास के साथ और भी बड़े आकारों का परीक्षण करने की अनुमति देता है, यह जानते हुए कि विधि असंभव संयोजनों को जल्दी से बाहर कर सकती है। जबकि यह प्रश्न कि क्या ये अनुक्रम हर एक आकार के लिए मौजूद हैं, अब सख्त प्रकारों के लिए गलत ज्ञात है, सामान्य खोज जारी है, जिसमें शोधकर्ताओं ने इस जटिल क्षेत्र में अगली पीढ़ी की खोजों के लिए मार्ग प्रशस्त किया है।
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