A deep learning method for solving American double Heston model
यह शोध पत्र न्यूरल नेटवर्क के मल्टीप्लिकेटिव एनसेम्बलिंग (MLA-MoS-1 और MLA-MoS-2) का उपयोग करने वाले एक डीप लर्निंग फ्रेमवर्क का प्रस्ताव करता है, जो स्थिर और स्टोकेस्टिक दोनों प्रकार की ब्याज दरों के तहत अमेरिकन डबल हेस्टन मॉडल को एक साथ हल करने के लिए, अर्ली एक्सरसाइज बाउंड्री, ऑप्शन वैल्यू और ग्रीक्स की प्रभावी ढंग से भविष्यवाणी करता है।
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वित्त की दुनिया में, स्टॉक की भविष्य की कीमत का अनुमान लगाना एक उच्च जोखिम वाला जुआ है। निवेशक संपत्तियों के उचित मूल्य को निर्धारित करने के लिए गणितीय मॉडलों पर भरोसा करते हैं, जो विकल्पों (options) के अनुबंध हैं, जो धारक को एक निश्चित तिथि तक एक विशिष्ट मूल्य पर संपत्ति खरीदने या बेचने का अधिकार देते हैं, लेकिन बाध्यता नहीं। उन मानक विकल्पों के विपरीत जो केवल अपने जीवन के अंत में ही प्रयोग किए जा सकते हैं, अमेरिकी-शैली के विकल्पों को उनकी समाप्ति से पहले किसी भी क्षण खरीदा या बेचा जा सकता है। यह लचीलापन एक जटिल पहेली पेश करता है: एक निवेशक को अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए ठीक किस समय और किस स्टॉक मूल्य पर विकल्प का प्रयोग करना चाहिए? इस निर्णय बिंदु को 'अर्ली एक्सरसाइज बाउंड्री' (early exercise boundary) कहा जाता है। इसे हल करने के लिए, गणितज्ञ ऐसे समीकरणों का उपयोग करते हैं जो यह वर्णन करते हैं कि संपत्ति की कीमतें और उनकी अस्थिरता (volatility)—जो यह मापता है कि कीमतें कितनी तेजी से बदलती हैं—समय के साथ कैसे विकसित होती हैं। जब ये मॉडल दो अलग-अलग प्रकार की अस्थिरता और यहाँ तक कि उतार-चढ़ाव वाली ब्याज दरों को भी शामिल करने के लिए पर्याप्त परिष्कृत हो जाते हैं, तो समीकरणों को हल करना अविश्वसनीय रूप से कठिन हो जाता है, जिसके लिए अक्सर भारी गणना शक्ति की आवश्यकता होती है और इसमें ऐसी सरलीकृत धारणाएँ बनानी पड़ती हैं जो सटीकता को कम कर सकती हैं।
कैलगरी विश्वविद्यालय और लुइसियाना टेक यूनिवर्सिटी के शोधकर्ताओं की एक टीम ने 'डीप लर्निंग' नामक आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस के एक रूप का उपयोग करके इस विशिष्ट चुनौती से निपटने के लिए एक नया दृष्टिकोण विकसित किया है। उन्होंने 'अमेरिकन डबल हेस्टन मॉडल' (American double Heston model) नामक एक जटिल वित्तीय मॉडल पर ध्यान केंद्रित किया, जो इस वास्तविकता को पकड़ने का प्रयास करता है कि परिसंपत्ति की कीमतें दो अलग-अलग, परस्पर क्रिया करने वाले अस्थिरता स्रोतों से प्रभावित होती हैं, और कुछ मामलों में, समय के साथ बदलने वाली ब्याज दरों से भी। पारंपरिक ग्रिड-आधारित विधियों के साथ सीधे समीकरणों को हल करने के बजाय, जो कठोर होते हैं और तीव्र परिवर्तनों के मामले में त्रुटियों के प्रति संवेदनशील होते हैं, शोधकर्ताओं ने एक न्यूरल नेटवर्क को प्रशिक्षित किया। यह एक प्रकार का कंप्यूटर प्रोग्राम है जो मानव मस्तिष्क से प्रेरित है और डेटा से पैटर्न सीखने में सक्षम है। उनका लक्ष्य इस नेटवर्क को एक साथ तीन महत्वपूर्ण चीजों की भविष्यवाणी करना सिखाना था: विकल्प का मूल्य, वह सटीक क्षण और मूल्य जिस पर इसे प्रयोग किया जाना चाहिए, और "ग्रीक्स" (Greeks), जो वे संवेदनशील माप हैं कि विकल्प की कीमत बाजार में छोटे बदलावों के प्रति कैसे प्रतिक्रिया करेगी।
शोधकर्ताओं ने अपने न्यूरल नेटवर्क के लिए एक अनूठा आर्किटेक्चर डिज़ाइन किया, जिसे वे "मिक्सचर ऑफ सॉल्यूशंस" (mixture of solutions) कहते हैं। एक एकल, अखंड कार्यक्रम पर निर्भर रहने के बजाय, उन्होंने तीन छोटे, विशिष्ट नेटवर्क से बना एक सिस्टम बनाया जो एक साथ काम करते हैं। सिस्टम का एक हिस्सा समय के बीतने पर ध्यान केंद्रित करता है, दूसरा परिसंपत्ति और उसकी अस्थिरता की वर्तमान स्थिति पर, और तीसरा विभिन्न अस्थिरता कारकों के बीच की परस्पर क्रिया पर। इन घटकों को एक विशिष्ट तरीके से संयोजित किया जाता है जो नेटवर्क को उन तीव्र, अचानक होने वाले परिवर्तनों को संभालने की अनुमति देता है जो एक विकल्प के प्रयोग के क्षण में होते हैं। उनकी विधि में एक प्रमुख नवाचार यह है कि वे समस्या की सीमाओं (boundaries) को कैसे संभालते हैं। पारंपरिक विधियाँ अक्सर समाधान को गणना के किनारों पर सख्त नियमों में फिट करने के लिए मजबूर करती हैं, जो त्रुटियां पैदा कर सकता है। इसके बजाय, यह नई विधि नेटवर्क को प्रशिक्षण प्रक्रिया के दौरान अंतर्निहित गणितीय नियमों से सीधे इन दूरस्थ सीमाओं के व्यवहार को सीखने की अनुमति देती है। यह लचीलापन कृत्रिम बाधाओं की आवश्यकता को समाप्त करता है और मॉडल को स्वयं सबसे सटीक व्यवहार खोजने देता है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि नेटवर्क प्रभावी ढंग से सीख सके, शोधकर्ताओं ने "ग्रिड स्ट्रेचिंग" (grid stretching) नामक रणनीति का उपयोग किया। कल्पना कीजिए कि आप एक तटरेखा का मानचित्र बना रहे हैं जहाँ कुछ क्षेत्रों में विवरण अत्यंत सूक्ष्म हैं और अन्य में व्यापक; एक मानक मानचित्र कुछ छोटी खाड़ियों को छोड़ सकता है। इसी तरह, एक विकल्प का मूल्य उस बिंदु के पास बहुत तेजी से बदलता है जहाँ उसे प्रयोग किया जाता है, लेकिन अन्य स्थानों पर धीरे-धीरे बदलता है। शोधकर्ताओं ने इन महत्वपूर्ण, तेजी से बदलते क्षेत्रों पर अधिक तीव्रता से ध्यान केंद्रित करने के लिए अपने डेटा सैंपलिंग को समायोजित किया, जबकि व्यापक संभावनाओं को भी कवर किया। उन्होंने एक आधुनिक प्रोसेसर के साथ एक मानक कंप्यूटर पर अपने तरीके का परीक्षण किया, जिसमें डेटासेट आश्चर्यजनक रूप से छोटा था जिसकी तुलना आमतौर पर इतनी जटिल समस्याओं के लिए आवश्यक डेटा से की जाती है। परिणामों ने दिखाया कि उनका न्यूरल नेटवर्क उच्च सटीकता के साथ विकल्प के मूल्य और अर्ली एक्सरसाइज बाउंड्री की भविष्यवाणी कर सकता है, जो क्षेत्र के अन्य विशेषज्ञों द्वारा उपयोग की जाने वाली स्थापित विधियों के बराबर या उससे थोड़ा बेहतर है।
अध्ययन ने एक अधिक जटिल परिदृश्य का भी अन्वेषण किया जहाँ ब्याज दरें स्थिर नहीं हैं बल्कि यादृच्छिक रूप से उतार-चढ़ाव करती हैं, जो समस्या में एक चौथा आयाम जोड़ती है। इस विस्तारित संस्करण में, शोधकर्ताओं ने दो अलग-अलग स्थितियों के तहत अपने मॉडल का परीक्षण किया: एक जहाँ विभिन्न बाजार कारक एक-दूसरे से काफी हद तक स्वतंत्र थे, और दूसरा जहाँ वे आपस में मजबूती से जुड़े हुए थे। नेटवर्क दोनों मामलों में अच्छा प्रदर्शन करता है, और जटिल और गैर-शून्य संबंधों के बावजूद मूल्य और इष्टतम अभ्यास रणनीति की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी करता है। शोधकर्ताओं ने पाया कि जबकि मॉडल मजबूत बना रहा, सटीकता तब थोड़ी अधिक थी जब बाजार के कारक कम परस्पर जुड़े हुए थे, जिससे पता चलता है कि चरों के बीच संबंधों की जटिलता भविष्यवाणी की शुद्धता को प्रभावित करती है। हालांकि, नेटवर्क की बिना विफल हुए इन घने, परस्पर जुड़े परिदृश्यों को संभालने की क्षमता एक महत्वपूर्ण प्रगति है।
यह कार्य विशेष रूप से इसलिए उल्लेखनीय नहीं है कि यह संख्याओं की सटीकता के बारे में है, बल्कि इस बात के बारे में है कि समाधान को कैसे प्रस्तुत किया गया है। न्यूरल नेटवर्क केवल एक मूल्य आउटपुट नहीं करता है; यह एक पूर्ण सतह (surface) उत्पन्न करता है जो दिखाता है कि समय, परिसंपत्ति मूल्य और अस्थिरता के माध्यम से विकल्प का मूल्य और इष्टतम अभ्यास बिंदु कैसे बदलते हैं। यह वित्तीय परिदृश्य का एक व्यापक दृश्य प्रदान करता है जिसे पुरानी विधियों के साथ प्राप्त करना कठिन है। शोधकर्ताओं ने यह भी प्रदर्शित किया कि उनका दृष्टिकोण "ग्रीक्स" की गणना कर सकता है, जो वे संवेदनशीलता माप हैं जिनका उपयोग व्यापारी जोखिम प्रबंधन के लिए करते हैं। स्थान और समय के कठोर विविक्तीकरण (discretization) से बचकर, और परिवर्तन की दरों को सीधे गणना करने के लिए 'ऑटोमैटिक डिफरेंशिएशन' का उपयोग करके, यह विधि आधुनिक वित्तीय डेरिवेटिव की जटिलताओं को नेविगेट करने के लिए एक सहज और अधिक विश्वसनीय तरीका प्रदान करती है।
इस शोध के निहितार्थ केवल एक वित्तीय मॉडल तक सीमित नहीं हैं। यह प्रदर्शित करता है कि डीप लर्निंग को 'फ्री बाउंड्री प्रॉब्लम्स' (free boundary problems) पर प्रभावी ढंग से लागू किया जा सकता है, जो गणितीय चुनौतियों का एक वर्ग है जहाँ सीमा स्वयं खोजी जाने वाली समस्या का हिस्सा होती है। यह भौतिकी और इंजीनियरिंग में एक सामान्य मुद्दा है, लेकिन वित्त में यह एक निरंतर बाधा रही है। "मिक्सचर-ऑफ-सॉल्यूशंस" ढांचे की सफलता बताती है कि समान दृष्टिकोणों को अन्य जटिल मूल्य निर्धारण मॉडलों के लिए अपनाया जा सकता है जिनमें अनिश्चितता के कई स्रोत शामिल हैं। शोधकर्ता स्वीकार करते हैं कि उनका कार्य एक सिमुलेशन-आधारित 'प्रूफ ऑफ कॉन्सेप्ट' है, और वे भविष्य के अपने अन्वेषणों में पूर्ण रेंज के पैरामीटर और सहसंबंध संरचनाओं को शामिल करने की योजना बना रहे। फिलहाल, उन्होंने अमेरिकन डबल हेस्टन मॉडल को समझने के लिए एक स्पष्ट, लचीला और सटीक उपकरण प्रदान किया है, जो मात्रात्मक वित्त (quantitative finance) की कुछ सबसे जटिल समीकरणों को हल करने का एक नया मार्ग प्रदान करता है।
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