Chaotic attractors and Lyapunov exponents of fractional-order systems: a tutorial on the augmented-system algorithm, with a complete Python program
यह ट्यूटोरियल डिफ्यूसिव रिप्रेजेंटेशन पर आधारित ऑगमेंटेड-सिस्टम एल्गोरिदम का एक पूर्ण पायथन कार्यान्वयन प्रस्तुत करता है ताकि अराजक भिन्नात्मक-क्रम प्रणालियों (chaotic fractional-order systems) का अनुकरण किया जा सके और उनके लयानोव एक्सपोनेंट्स (Lyapunov exponents) की गणना की जा सके, जो रैखिक, लोरेंज़ और चेन प्रणालियों पर इस विधि को मान्य करते हुए इसके अंतर्निहित गणितीय सिद्धांतों की व्याख्या करता है।
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जटिल प्रणालियों के अध्ययन में, वैज्ञानिक अक्सर अराजकता (chaos) में पैटर्न की तलाश करते हैं। वे इस बात की जांच करते हैं कि कैसे एक शुरुआती बिंदु में सूक्ष्म अंतर बहुत अलग परिणामों में बदल सकते हैं, जिसे 'बटरफ्लाई इफेक्ट' के रूप में जाना जाता है। इस संवेदनशीलता को मापने के लिए, शोधकर्ता 'लयापुनोव एक्सपोनेंट' (Lyapunov exponent) नामक उपकरण का उपयोग करते हैं। सरल शब्दों में, यह संख्या हमें बताती है कि दो लगभग समान पथ एक-दूसरे से कितनी तेजी से अलग होते हैं। यदि यह संख्या धनात्मक (positive) है, तो प्रणाली अराजक है और लंबे समय में अप्रत्याशित है। यदि यह ऋणात्मक (negative) है, तो प्रणाली एक स्थिर अवस्था में बस जाती है। दशकों तक, यह विधि उन प्रणालियों के लिए पूरी तरह से काम करती रही जो केवल अपनी वर्तमान स्थिति के आधार पर बदलती हैं, जैसे कि झूलता हुआ पेंडुलम या बहती हुई नदी।
हालाँकि, कई वास्तविक दुनिया की प्रक्रियाएं इस तरह काम नहीं करती हैं। रबर या जैविक ऊतकों (biological tissues) जैसी सामग्रियां अक्सर अपना अतीत याद रखती हैं। उनका वर्तमान व्यवहार न केवल इस पर निर्भर करता है कि वे अभी कहाँ हैं, बल्कि इस पर भी कि उनके साथ पहले क्या हुआ है, जहाँ पुरानी घटनाएं समय के साथ धीरे-धीरे धुंधली होती जाती हैं। वैज्ञानिक इसे 'फ्रैक्शनल-ऑर्डर सिस्टम' (fractional-order systems) का उपयोग करके समझाते हैं, जहाँ परिवर्तन की दर एक लंबे इतिहास द्वारा भारित (weighted) होती है। समस्या यह है कि अराजकता को मापने के मानक उपकरण यहाँ विफल हो जाते हैं। क्योंकि इन प्रणालियों में अपने अतीत से स्वतंत्र कोई वास्तविक "वर्तमान स्थिति" नहीं होती है, इसलिए पथों के अलग होने की गति की गणना करने का सामान्य तरीका अपरिभाषित हो जाता है। बीस वर्षों तक, शोधकर्ताओं ने इन प्रणालियों का अनुकरण (simulation) किया है, लेकिन वे उनकी अराजकता को सटीक रूप से मापने के लिए संघर्ष करते रहे हैं, और अक्सर ऐसी शॉर्टकट विधियों पर निर्भर रहे हैं जो शायद पूरी तरह से गलत चीज़ को माप रही हों।
स्टेफानो फाज़िनो का एक नया ट्यूटोरियल एक स्पष्ट मार्ग प्रदान करता है, जो इस समस्या को हल करने के लिए एक सैद्धांतिक स्पष्टीकरण और एक पूर्ण, उपयोग के लिए तैयार कंप्यूटर प्रोग्राम दोनों देता है। मुख्य विचार यह है कि एक फ्रैक्शनल सिस्टम को मानक ढांचे में जबरदस्ती फिट करने के बजाय, सिस्टम की स्मृति (memory) को ही उसकी वास्तविक स्थिति मानना। लेखक दिखाते हैं कि इन प्रणालियों की जटिल, लुप्त होती स्मृति को सरल, क्षयकारी संकेतों (decaying signals) के एक संग्रह में तोड़ा जा सकता है। इन संकेतों को समीकरणों में अतिरिक्त चरों (variables) के रूप में जोड़कर, कठिन फ्रैक्शनल सिस्टम एक मानक, साधारण प्रणाली में बदल जाता है जिसे कंप्यूटर आसानी से संभाल सकते हैं। यह नया दृष्टिकोण, जिसे 'अगमेंटेड-सिस्टम एल्गोरिदम' कहा जाता है, शोधकर्ताओं को सिस्टम के विकास को ट्रैक करने और इसके लयापुनोव एक्सपोनेंट्स को पहली बार सही ढंग से कैलकुलेट करने की अनुमति देता है।
यह प्रोग्राम, जो पायथन (Python) में लिखा गया है और एक मानक लैपटॉप पर चलने के लिए डिज़ाइन किया गया है, लोरेन्ज़ (Lorenz) और चेन (Chen) मॉडल जैसे प्रसिद्ध अराजक सिस्टम का अनुकरण करता है, लेकिन फ्रैक्शनल-ऑर्डर नियमों के साथ। जब लेखक ने कोड का परीक्षण एक सरल रैखिक प्रणाली (linear system) पर किया जिसका उत्तर पहले से ज्ञात था, तो प्रोग्राम ने सटीक सैद्धांतिक मान से एक प्रतिशत के बहुत छोटे हिस्से के भीतर मिलान किया। इस सत्यापन ने सिद्ध किया कि यह विधि काम करती है। जब इसे अधिक जटिल अराजक प्रणालियों पर लागू किया गया, तो परिणामों ने इन प्रणालियों के व्यवहार के बारे में कुछ आश्चर्यजनक और मौलिक खुलासा किया। साधारण अराजक प्रणालियों में, लयापुनोव एक्सपोनेंट्स आमतौर पर ऋणात्मक संख्याओं को शामिल करते हैं, जो उन दिशाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जहाँ पथ अभिसरित (converge) होते हैं और स्थिर होते हैं। हालाँकि, इन फ्रैक्शनल प्रणालियों में, प्रोग्राम ने कोई ऋणात्मक एक्सपोनेंट नहीं पाया।
ऋणात्मक संख्याओं की ओर अभिसरित होने के बजाय, वे एक्सपोनेंट जो सामान्यतः ऋणात्मक होते हैं, धीरे-धीरे शून्य की ओर बढ़ते गए। यह एक गहरे सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि की पुष्टि करता: एक दीर्घकालिक स्मृति वाली प्रणाली में, व्यवधान (disturbances) मानक प्रणालियों की तरह तेजी से तेजी से (exponentially) समाप्त नहीं होते हैं। इसके बजाय, वे बीजगणितीय (algebraically) रूप से फीके पड़ते हैं, जो एक पावर लॉ (power law) का पालन करते हैं जो बहुत धीमा होता है। प्रोग्राम ने यह भी दिखाया कि यदि कोई शोधकर्ता स्मृति को काटकर दूर के अतीत को अनदेखा करने की कोशिश करता है, तो परिणाम बेहद गलत हो जाते हैं। सिमुलेशन ने प्रदर्शित किया कि स्मृति के सबसे धीमे, सबसे दूर के हिस्सों को हटाने से सिस्टम पूरी तरह से बदल जाता है, जिससे गणना की गई अराजकता या तो बहुत बढ़ जाती है या घट जाती है।
ट्यूटोरियल में एक पूर्ण, एक सौ पचास पंक्तियों का प्रोग्राम शामिल है जिसे कोई भी इन प्रभावों को देखने के लिए चला सकता है। यह उन विचित्र, घुमावदार आकृतियों का दृश्य (visualizations) उत्पन्न करता है जिन्हें ये प्रणालियाँ अंतरिक्ष में ट्रेस करती हैं, जिन्हें अट्रैक्टर्स (attractors) कहा जाता है, और गणना करता है कि वे कितने अराजक हैं। लेखक चेतावनी देते हैं कि परिणामों को पढ़ने के लिए एक नए दृष्टिकोण की आवश्यकता है। क्योंकि इन प्रणालियों में गैर-अराजक दिशाएँ ऋणात्मक संख्याओं में नहीं बसती हैं, इसलिए एक परिणाम जो शून्य जैसा दिखता है, उसका मतलब यह नहीं है कि सिस्टम स्थिर है; इसका मतलब यह हो सकता है कि सिस्टम एक अस्थायी, आवधिक चरण (periodic phase) में है। प्रोग्राम पूर्ण प्रक्षेपवक्र (trajectory) डेटा प्रदान करता है ताकि उपयोगकर्ता वास्तविक पथ को देख सकें और एक वास्तविक संतुलन और एक धीमी, दोहराव वाली चक्र के बीच अंतर कर सकें।
यह कार्य केवल एक कैलकुलेटर प्रदान करने से कहीं अधिक है; यह स्मृति-निर्भर प्रणालियों में अराजकता की प्रकृति के बारे में हमारी समझ को बदल देता है। यह सिद्ध करता है कि ऐसी प्रणाली की स्थिति समय का एक एकल बिंदु नहीं है, बल्कि उसके आंदोलनों का संपूर्ण इतिहास है। इस अनंत इतिहास को प्रबंधनीय चरों के एक सेट में बदलकर, लेखक ने वैज्ञानिकों को विस्कोइलास्टिक सामग्रियों से लेकर न्यूरॉन्स के अनुकूलन तक की प्रक्रियाओं की अप्रत्याशितता को मापने का एक विश्वसनीय तरीका दिया है। निष्कर्ष बताते हैं कि अराजकता के नियम तब अलग होते हैं जब अतीत को वास्तव में कभी भुलाया नहीं जाता है, और उन्हें मापने के उपकरण उस स्मृति का सम्मान करने के लिए बनाए जाने चाहिए।
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