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Seemingly Unrelated Cointegrating Regressions with Autoregressive Distributed Lag Dynamics: Estimation, Bounds Testing, and Cross-Equation Inference

यह शोध पत्र एक सीमिंगली अनरिलेटेड ऑटोरेग्रेसिव डिलेड लैग (SUR-ARDL) ढांचे का प्रस्ताव करता है जो छोटे-N पैनलों के लिए, क्रॉस-इक्वेशन त्रुटि सहसंबंधों का लाभ उठाकर अनुमान दक्षता और कोइंटीग्रेशन परीक्षण शक्ति को बढ़ाता है, साथ ही दीर्घकालिक सहप्रसरण मैट्रिक्स अनुमानकों के परिमित-नमूना विरूपणों से बचता है, जैसा कि सैद्धांतिक प्रमाणों, मोंटे कार्लो सिमुलेशन और आसियान देशों में नवीकरणीय ऊर्जा-विकास संबंध के अनुप्रयोग के माध्यम से प्रदर्शित किया गया है।

मूल लेखक: Muhammad Afnan Arif, Fumitaka Furuoka

प्रकाशित 2026-08-18

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Muhammad Afnan Arif, Fumitaka Furuoka

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अर्थशास्त्र अक्सर अलग-थलग द्वीपों के अध्ययन जैसा महसूस होता है। जब शोधकर्ता यह देखते हैं कि किसी देश की अर्थव्यवस्था कैसे बढ़ती है, तो वे आमतौर पर उस एकल राष्ट्र के लिए एक मॉडल बनाते हैं, और उसके इतिहास को एक ऐसी कहानी के रूप में देखते हैं जो एक शून्य (वैक्यूम) में विकसित होती है। वे पूछते हैं: क्या अधिक ऊर्जा से अधिक धन आता है? क्या व्यापार समृद्धि का द्वार खोलता है? लेकिन वास्तविक दुनिया में, राष्ट्र द्वीप नहीं हैं। वे एक विशाल, परस्पर जुड़े हुए द्वीपसमूह का हिस्सा हैं। मध्य पूर्व में तेल की कीमतों में आया एक झटका एशिया में लहरें पैदा करता है; एक राजधानी में आया वित्तीय संकट उसके पड़ोसियों तक कंपन भेजता है; साझा मौसम पैटर्न और व्यापार मार्ग उनके भाग्य को एक साथ बांधते हैं। दशकों से, सांख्यिकीविद् प्रत्येक देश के अनूठे चरित्र को खोए बिना इन संबंधों के जाल को पकड़ने के लिए संघर्ष कर रहे हैं। मानक उपकरण अक्सर शोधकर्ताओं को या तो देशों के बीच के संबंधों को अनदेखा करने के लिए मजबूर करते हैं या ऐसे मॉडल बनाने के लिए जो इतने जटिल होते हैं कि देशों के एक छोटे समूह पर लागू होने पर वे अपने ही भार से ढह जाते हैं।

यही वह समस्या है जिसे यूनिवर्सिटी ऑफ मलाया के मोहम्मद अफ़नान आरिफ और फुमितका फुरोका द्वारा विकसित एक नए सांख्यिकीय ढांचे द्वारा हल किया गया है। उनका काम आर्थिक संबंधों के एक विशिष्ट प्रकार पर केंद्रित है जिसे 'कोइंटीग्रेशन' (cointegration) कहा जाता है। सरल शब्दों में, कोइंटीग्रेशन दो या अधिक आर्थिक चरों के बीच एक दीर्घकालिक बंधन का वर्णन करता है जो समय के साथ एक साथ चलते हैं, भले ही वे अल्पकाल में एक-दूसरे से दूर चले जाएं। इसे एक मालिक के साथ पट्टे (लीश) पर टहलते कुत्ते के रूप में सोचें। कुत्ता आगे निकल सकता है, पीछे छूट सकता है, या चक्कर लगा सकता है, लेकिन वह बहुत दूर नहीं भटकता क्योंकि पट्टा उसे मालिक से बांधे रखता है। अर्थशास्त्र में, ऊर्जा खपत और सकल घरेलू उत्पाद जैसे चर अक्सर इसी तरह व्यवहार करते हैं, दैनिक उतार-चढ़ाव के बावजूद दशकों तक एक साथ चलते रहते हैं। चुनौती विशेष रूप से तब आती है जब देशों के एक समूह को एक साथ देखते समय इस "पट्टे" का परीक्षण करना हो, खासकर जब डेटा अव्यवस्थित हो और देशों के बीच संबंध मजबूत हों।

लेखक इस डेटा को देखने का एक नया तरीका प्रस्तावित करते हैं, जिसे वे "सीमिंगली अनरिलेटेड ऑटोरेग्रेसिव डिस्ट्रीब्यूटेड लैग" (Seemingly Unrelated Autoregressive Distributed Lag) सिस्टम कहते हैं। यह नाम बोलने में कठिन है, लेकिन अवधारणा सीधी है। वे किसी एक देश के आर्थिक इतिहास का विश्लेषण करने के लिए एक सिद्ध विधि लेते हैं और इसे एक साथ कई देशों के समूह को संभालने के लिए विस्तारित करते हैं। मुख्य नवाचार यह है कि वे डेटा में मौजूद "शोर" (noise) को कैसे संभालते हैं। पिछले तरीकों में, कई देशों के बीच के कनेक्शनों को ध्यान में रखने के लिए हर संभावित संबंध का एक विशाल, बोझिल मानचित्र तैयार करना आवश्यक था, जो अक्सर गणितीय त्रुटियों या अविश्वसनीय परिणामों का कारण बनता था, विशेष रूप से तब जब डेटा के वर्षों की संख्या देशों की संख्या की तुलना में बहुत अधिक नहीं होती थी। नया दृष्टिकोण केवल देशों के आर्थिक त्रुटियों (economic errors) के बीच के तत्काल, दिन-प्रतिदिन के संबंधों पर ध्यान केंद्रित करके इस जटिलता को सरल बनाता है, न कि हर संभावित दीर्घकालिक प्रभाव का मानचित्र बनाने की कोशिश करता है। जटिलता में यह कमी मॉडल को स्थिर और सटीक रहने की अनुमति देती है, भले ही डेटासेट छोटा हो, जो आर्थिक अनुसंधान में एक सामान्य वास्तविकता है जहाँ दशकों का डेटा अत्यंत बहुमूल्य होता है।

यह नया उपकरण वास्तव में कैसे काम करता है, यह देखने के लिए शोधकर्ताओं ने कंप्यूटर सिमुलेशन का उपयोग करके कठोर परीक्षण किए। उन्होंने देशों के समूहों के लिए हजारों नकली आर्थिक इतिहास बनाए, यह जानते हुए कि वास्तविक संबंध क्या थे, और फिर अपने नए मॉडल से उन्हें खोजने के लिए कहा। उन्होंने पुराने, मानक तरीकों के विरुद्ध परिणामों की तुलना की। निष्कर्ष स्पष्ट थे: नया सिस्टम काफी अधिक सटीक था। जब समूह के देश आपस में निकटता से जुड़े हुए थे, तो नई विधि ने पुराने तरीके की तुलना में अपने अनुमानों में त्रुटि की सीमा को अस्सी प्रतिशत तक कम कर दिया। यह कोइंटीग्रेशन के "पट्टे" का पता लगाने में भी बहुत बेहतर साबित हुआ। कई सिम्युलेटेड परिदृश्यों में जहाँ पुराना तरीका दीर्घकालिक संबंध देखने में विफल रहा, नए सिस्टम ने इसे तुरंत पहचान लिया। यह एक महत्वपूर्ण लाभ है क्योंकि इसका अर्थ है कि शोधकर्ता केवल इसलिए महत्वपूर्ण आर्थिक संबंधों को मिस नहीं करेंगे क्योंकि वे एक समय में एक देश के डेटा को देख रहे थे।

शोधकर्ताओं ने वास्तविक दुनिया के डेटा पर भी इस नई पद्धति का परीक्षण किया, जिसे उन्होंने छह दक्षिण पूर्व एशियाई देशों: इंडोनेशिया, मलेशिया, फिलीपींस, सिंगापुर, थाईलैंड और वियतनाम पर लागू किया। उन्होंने 1990 से 2024 तक नवीकरणीय ऊर्जा खपत और आर्थिक विकास के बीच के संबंध की जांच की। परिणामों ने इस पद्धति की शक्ति का एक शानदार उदाहरण पेश किया। पारंपरिक दृष्टिकोण का उपयोग करते समय, वियतनाम के डेटा ने सुझाव दिया कि नवीकरणीय ऊर्जा के उपयोग और आर्थिक विकास के बीच कोई दीर्घकालिक संबंध नहीं है। हालांकि, जब नए सिस्टम ने सभी छह देशों का एक साथ विश्लेषण किया, जिसमें यह भी देखा गया कि उनकी अर्थव्यवस्थाएं एक-दूसरे को कैसे प्रभावित करती हैं, तो इसने वियतनाम के लिए एक मजबूत, महत्वपूर्ण संबंध पाया जिसे पुराने तरीके ने मिस कर दिया था। इसी तरह, मलेशिया के लिए, नए तरीके ने खुलासा किया कि अर्थव्यवस्था के परिवर्तन के प्रति समायोजन की गति सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण थी, जबकि पुराने तरीके ने परिणाम को अनिश्चित छोड़ दिया था।

केवल नए कनेक्शन खोजने के अलावा, यह प्रणाली शोधकर्ताओं को ऐसे प्रश्न पूछने की अनुमति देती है जिनका उत्तर देना पहले असंभव था। वे अब यह परीक्षण कर सकते थे कि क्या आर्थिक समायोजन की गति विभिन्न देशों में एक समान है। विश्लेषण ने एक स्पष्ट पैटर्न का खुलासा किया: देश दो समूहों में विभाजित हो गए। जीवाश्म ईंधन उत्पादक देशों ने अपनी अर्थव्यवस्थाओं को धीरे-धीरे समायोजित किया, जबकि ऊर्जा आयातक देशों ने तेजी से समायोजन किया। इस तरह का अंतर्दृष्टि, जो विभिन्न राष्ट्रों के आंतरिक कामकाज की तुलना करने पर निर्भर करता है, पुराने, एकल-देश उपकरणों का उपयोग करने वाले शोधकर्ताओं के लिए अदृश्य था। अध्ययन निष्कर्ष निकालता है कि इन राष्ट्रों को एक जुड़े हुए तंत्र के रूप में, न कि अलग-थलग मामलों के रूप में मानकर, अर्थशास्त्री इस बात की अधिक स्पष्ट और सटीक तस्वीर बना सकते हैं कि दुनिया में ऊर्जा और धन कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। यह पद्धति केवल एक मामूली सुधार नहीं है; यह उन आर्थिक गतिकी को देखने का द्वार खोलती है जो पहले अलग-थलग विश्लेषण के शोर में छिपी हुई थीं।

तकनीकी सारांश: ऑटोरेग्रेसिव डिस्ट्रीब्यूटेड लैग डायनेमिक्स के साथ प्रतीत होने वाले असंबंधित कोइंटीग्रेटिंग रिग्रेशन (Seemingly Unrelated Cointegrating Regressions with Autoregressive Distributed Lag Dynamics)

समस्या विवरण
यह शोध पत्र उन पैनल डेटा सेटिंग्स में कोइंटीग्रेटिंग संबंधों के अनुमान और निष्कर्षों (inference) को संबोधित करता है जहाँ क्रॉस-सेक्शनल आयाम ( $N$ ), टाइम सीरीज़ आयाम ( $T$ ) की तुलना में छोटा होता है। जबकि साहित्य ने कोइंटीग्रेशन के लिए 'सीमिंगली अनरिलेटेड रिग्रेशन' (SUR) ढांचों को विकसित किया है—विशेष रूप से FM-SOLS और FM-SUR (Park & Ogaki, 1991; Wagner et al., 2020) और FM-GLS (Lin & Reuvers, 2025) जैसे फुली मॉडिफाइड (FM) एस्टिमेटर्स—ये दृष्टिकोण एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक सीमा साझा करते हैं: "डायमेंशनलिटी का अभिशाप" (curse of dimensionality)। मौजूदा विधियों को बड़े $2N \times 2N$ लॉन्ग-रन कोवेरिएंस मैट्रिसेस के सुसंगत अनुमान की आवश्यकता होती है। इसके लिए बैंडविड्थ चयन के साथ कर्नल-आधारित विधियों की आवश्यकता होती है, जिससे गंभीर परिमित-नमूना विरूपण (finite-sample distortions), मैट्रिक्स इनवर्टीबिलिटी विफलता की उच्च दर (कुछ सिमुलेशन में 50% से अधिक), और जब $N$ का अनुपात $T$ के सापेक्ष बढ़ता है, तो परिकल्पना परीक्षण में महत्वपूर्ण आकार विरूपण (size distortions) उत्पन्न होते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक एक सीमिंगली अनरिलेटेड ऑटोरेग्रेसिव डिस्ट्रीब्यूटेड लैग (SUR-ARDL) ढांचा प्रस्तावित करते हैं। यह दृष्टिकोण Pesaran et al. (2001) के ARDL एरर-करेक्शन स्पेसिफिकेशन को एक Zellner (1962) SUR सिस्टम के भीतर समाहित करता है।

मॉडल स्पेसिफिकेशन: यह ढांचा $N$ समीकरणों के एक सिस्टम को मॉडल करता है जहाँ प्रत्येक यूनिट $i$ एक ARDL( $p_i, q_{1,i}, \dots, q_{K,i}$ ) प्रक्रिया का पालन करती है। इस मॉडल को एक कंडीशनल एरर-करेक्शन फॉर्म (ECM) में पुनर्गठित किया गया है जो लॉन्ग-रन लेवल पैरामीटर्स को शॉर्ट-रन डायनेमिक एडजस्टमेंट से अलग करता है।
अनुमान रणनीति (Estimation Strategy): FM एस्टिमेटर्स के विपरीत, जो सीरियल कोरिलेशन और एंडोजेनिटी के लिए सेमी-पैरामेट्रिक सुधारों पर निर्भर करते हैं, SUR-ARDL दृष्टिकोण इन मुद्दों को अवशोषित करने के लिए ARDL मॉडल की पैरामेट्रिक लैग संरचना का उपयोग करता है। फलस्वरूप, एस्टिमेटर को केवल $N \times N$ कंटेम्पोरानियस एरर कोवेरिएंस मैट्रिक्स ( $\Omega$ ) की आवश्यकता होती है, न कि $2N \times 2N$ लॉन्ग-रन कोवेरिएंस मैट्रिक्स ( $\Omega_{LR}$ ) की।
फिजिबल जनरलाइज्ड लीस्ट स्क्वायर्स (FGLS): अनुमान दो चरणों में आगे बढ़ता है:
1. रेसिडुअल्स प्राप्त करने के लिए समीकरण-दर-समीकरण OLS।
2. अनुमानित कंटेम्पोरानियस कोवेरिएंस मैट्रिक्स $\hat{\Omega}$ का निर्माण और स्टैक्ड सिस्टम पर FGLS का अनुप्रयोग।
निष्कर्ष (Inference):
- बाउंड्स टेस्टिंग: यह पेपर SUR-आधारित बाउंड्स $F$ -सांख्यिकी (statistic) के एसिम्प्टोटिक नल वितरण (asymptotic null distribution) को व्युत्पन्न करता है। यह प्रदर्शित करता है कि सांख्यिकी "बाउंड्स प्रॉपर्टी" (शुद्ध $I(0)$ और शुद्ध $I(1)$ मामलों के बीच सीमित क्रिटिकल वैल्यूज) को विरासत में प्राप्त करती है, चाहे रिग्रेसर्स का इंटीग्रेशन ऑर्डर कुछ भी हो।
- क्रॉस-इक्वेशन इन्फरेंस: यह ढांचा क्रॉस-इक्वेशन परिकल्पनाओं के लिए वाल्ड टेस्ट (Wald tests) को सक्षम बनाता है, जिसमें कोएफिशिएंट पूलएबिलिटी, लॉन्ग-रन कोएफिशिएंट समानता, और स्पीड-ऑफ-एडजस्टमेंट होमोजेनिटी शामिल हैं, जो सिस्टम के जॉइंट वेरिएंस-कोवेरिएंस मैट्रिक्स का उपयोग करते हैं।

प्रमुख योगदान
यह शोध पत्र SUR कोइंटीग्रेशन साहित्य में पांच विशिष्ट योगदान देता है:

एसिम्प्टोटिक थ्योरी: यह स्थापित करता है कि SUR-ARDL FGLS एस्टिमेटर एक मिश्रित-सामान्य (mixed-normal) लिमिटिंग डिस्ट्रीब्यूशन प्राप्त करता है जो सेकंड-ऑर्डर बायस टर्म्स से मुक्त है, क्योंकि ARDL लैग संरचना बिना सेमी-पैरामेट्रिक सुधारों के बायस को पैरामेट्रिक रूप से हटा देती है।
बाउंड्स टेस्टिंग वैधता: यह सिद्ध करता है कि SUR बाउंड्स $F$ -सांख्यिकी अपनी 'बाउंड्स प्रॉपर्टी' को बनाए रखती है और क्रॉस-इक्वेशन कोरिलेशन में मोनोटोनिक रूप से बढ़ती है, जो सिस्टम-आधारित परीक्षण के पावर लाभों के लिए एक औपचारिक आधार प्रदान करती है।
क्रॉस-इक्वेशन परिकल्पना परीक्षण: यह कोएफिशिएंट पूलएबिलिटी और समीकरणों के बीच कोएफिशिएंट समानता के लिए $\chi^2$ वाल्ड टेस्ट विकसित करता है, जो एकल-समीकरण विधियों में अनुपलब्ध क्षमताएं हैं।
डायमेंशनलिटी रिडक्शन: न्यूसेंस पैरामीटर अनुमान को $O(N^2)$ लॉन्ग-रन कोवेरिएंस से $O(N^2)$ कंटेम्पोरानियस कोवेरिएंस (विशेष रूप से $N \times N$ बनाम $2N \times 2N$ ) में कम करके, यह विधि FM-SUR और FM-GLS दृष्टिकोणों में पाए जाने वाले प्राथमिक स्रोत के कारण होने वाले परिमित-नमूना विरूपण को समाप्त करती है।
व्यापक सिमुलेशन साक्ष्य: एक मोंटे कार्लो अध्ययन (7 प्रयोग, 5,000 पुनरावृत्ति) इसके परिमित-नमूना गुणों को प्रमाणित करता है, जो उन कॉन्फ़िगरेशन में भी शून्य इनवर्टीबिलिटी विफलताओं के साथ विश्वसनीय कोवेरिएंस अनुमान दिखाता है जहाँ FM-SUR विफल हो जाता है।

परिणाम
मोंटे कार्लो सिमुलेशन और एम्पीरिकल एप्लिकेशन निम्नलिखित परिणाम देते हैं:

दक्षता (Efficiency): SUR-ARDL एस्टिमेटर एकल-समीकरण OLS की तुलना में एरर-करेक्शन पैरामीटर ( $\lambda$ ) के लिए रूट मीन स्क्वेयर्ड एरर (RMSE) में 15-80% की कमी लाता है, जिसका लाभ $N$ , $T$ , और क्रॉस-इक्वेशन कोरिलेशन ( $\rho$ ) बढ़ने के साथ बढ़ता है।
साइज और पावर: बाउंड्स टेस्ट बूटस्ट्रैप क्रिटिकल वैल्यूज का उपयोग करते समय अच्छा 'साइज' प्रदर्शित करता है, हालांकि टेबुलेटेड PSS क्रिटिकल वैल्यूज $N \geq 5$ के साथ मजबूत कोरिलेशन होने पर उदार (liberal) हो सकती हैं। यह परीक्षण एकल-समीकरण विधियों की तुलना में पर्याप्त पावर लाभ (30 प्रतिशत अंक तक) प्रदर्शित करता है, विशेष रूप से मध्यम स्पीड-ऑफ-एडजस्टमेंट के दौरान कोइंटीग्रेशन का पता लगाने में।
कोवेरिएंस अनुमान: $N \times N$ कंटेम्पोरानियस कोवेरिएंस मैट्रिक्स सभी कॉन्फ़िगरेशन में शून्य इनवर्टीबिलिटी विफलताओं के साथ विश्वसनीय रूप से अनुमानित है, जो मौजूदा FM-SUR फ्रेमवर्क में उच्च विफलता दरों के बिल्कुल विपरीत है।
एम्पीरिकल एप्लीकेशन: छह आसियान (ASEAN) देशों (1990-2024) में नवीकरणीय ऊर्जा-आर्थिक विकास संबंध पर लागू करने पर, SUR-ARDL दृष्टिकोण:
- OLS की तुलना में स्टैंडर्ड एरर्स को 17-41% तक कम करता है।
- वियतनाम में कोइंटीग्रेशन का पता लगाता है जहाँ एकल-समीकरण विधियाँ विफल रहीं।
- क्रॉस-इक्वेशन परिकल्पना परीक्षणों के माध्यम से एडजस्टमेंट स्पीड के दो-क्लस्टर स्ट्रक्चर (धीमे-एडजस्ट होने वाले जीवाश्म ईंधन उत्पादक बनाम तेज़-एडजस्ट होने वाले ऊर्जा आयातक) को प्रकट करता है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र दावा करता है कि SUR-ARDL ढांचा उन सेटिंग्स में सिस्टम-आधारित कोइंटीग्रेशन विश्लेषण की व्यावहारिक प्रयोज्यता को बढ़ाता है जहाँ $T$ का $N$ के सापेक्ष मध्यम होता है, एक ऐसा क्षेत्र जहाँ मौजूदा FM-SUR विधियाँ अक्सर मैट्रिक्स इनवर्टीबिलिटी समस्याओं के कारण अव्यवहार्य होती हैं। ARDL स्पेसिफिकेशन की पैरामेट्रिक दक्षता का लाभ उठाकर, यह विधि सेमी-पैरामट्रिक लॉन्ग-रन कोवेरिएंस अनुमान की आवश्यकता को समाप्त करती है, जिससे वर्तमान SUR कोइंटीग्रेशन साहित्य में मुख्य स्रोत के विरूपण को हटाया जा सकता है। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि यह दृष्टिकोण छोटे- $N$ पैनलों के लिए एक मजबूत विकल्प प्रदान करता है, जो अनुमान में दक्षता लाभ और क्रॉस-इक्वेशन प्रतिबंधों के परीक्षण की अनूठी क्षमता दोनों प्रदान करता है जो समीकरण-दर-समीकरण विश्लेषणों में परीक्षण योग्य नहीं हैं।

लेखक सीमाओं को नोट करते हैं, विशेष रूप से यह कि लॉन्ग-रन कोएफिशिएंट्स (पैरामीटर्स के अनुपात) के लिए डेल्टा-मेथड स्टैंडर्ड एरर्स छोटे नमूनों में या जब स्पीड-ऑफ-एडजस्टमेंट कमजोर होता है, तो अविश्वसनीय हो सकते हैं, जो भविष्य के कार्य में फिएलर कॉन्फिडेंस सेट्स (Fieller confidence sets) या बूटस्ट्रैपिंग जैसी वैकल्पिक निष्कर्ष प्रक्रियाओं की आवश्यकता का सुझाव देता है। यह यह भी स्वीकार करता है कि जबकि यह विधि छोटे से मध्यम $N$ को संभालती है, बड़े $N$ के लिए श्रिंकेज एस्टिमेटर्स (shrinkage estimators) की आवश्यकता हो सकती है।

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