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Spectral bias mitigation in physics-informed neural surrogates for nonlinear structural dynamics: Fourier feature encoding versus Kolmogorov-Arnold representations

यह अध्ययन प्रदर्शित करता है कि जबकि कोल्मोगोरोव-आर्नोल्ड नेटवर्क (KANs) गैररेखीय संरचनात्मक गतिशीलता में मानक MLPs की तुलना में स्वाभाविक रूप से स्पेक्ट्रल बायस को बेहतर ढंग से कम करते हैं, फूरियर फीचर एनकोडिंग का अनुप्रयोग सटीकता के लिए प्रमुख कारक है, जिससे फूरियर-उन्नत MLPs, प्लेन KANs और फूरियर-उन्नत KANs दोनों से श्रेष्ठ हो जाते हैं, जो ग्रेडिएंट ऑसिलेशन के कारण प्रदर्शन में गिरावट का शिकार होते हैं जो भौतिकी-सूचित अनुकूलन (physics-informed optimization) के साथ असंगत है।

मूल लेखक: Salih Berkan Aydemir

प्रकाशित 2026-07-15

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Salih Berkan Aydemir

मूल पेपर CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रोबोट को यह भविष्यवाणी करना सिखाने की कोशिश कर रहे हैं कि भूकंप के दौरान एक इमारत कैसे डगमगाती है। इमारत केवल एक धीमी, सरल लय में आगे-पीछे नहीं डगमगाती; यह धीमी, भारी लहरों और तेज़, झटकेदार कंपन के एक जटिल मिश्रण के साथ कंपन करती है। यह नॉनलीन स्ट्रक्चरल डायनेमिक्स (nonlinear structural dynamics) की दुनिया है, और लंबे समय तक, इन समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले मानक रोबोट दिमागों (जिन्हें MLPs या मल्टीलेयर पर्सेप्ट्रॉन्स कहा जाता है) में एक बड़ी खामी थी।

समस्या: "स्पेक्ट्रल बायस" (Spectral Bias) की अंधापन

इन मानक रोबोट दिमागों को एक ऐसे रेडियो की तरह समझें जो केवल 'बेस' (bass) पकड़ सकता है। वे धीमी, कम-आवृत्ति (low-frequency) वाली गतिविधियों (भूकंप की गहरी गूँज) को सीखने में माहिर हैं, लेकिन वे उच्च-पिच वाली, तेज़ कंपनों (तेज़ थरथराहट) को पूरी तरह से अनदेखा कर देते हैं। वैज्ञानिक दुनिया में, इसे स्पेक्ट्रल बायस (spectral bias) कहा जाता है। चाहे आप उन्हें कितना भी लंबे समय तक प्रशिक्षित करें, वे उच्च स्वरों को नहीं सुन पाते, जिससे उनकी भविष्यवाणियाँ एक सपाट रेखा की तरह दिखती हैं, जबकि वास्तव में इमारत हिंसक रूप से हिल रही होती है।

दावेदार: रेडियो को ठीक करने के दो नए तरीके

शोधकर्ताओं ने यह देखने के लिए एक दौड़ आयोजित की कि इसे कैसे ठीक किया जाए। उन्होंने चार अलग-अलग रोबोट मस्तिष्क डिजाइनों का परीक्षण किया, लेकिन एक सख्त नियम के साथ: प्रत्येक मस्तिष्क में ठीक समान संख्या में "न्यूरॉन्स" (लगभग 16,400 पैरामीटर) होने चाहिए। यह सुनिश्चित करने के लिए कि दौड़ निष्पक्ष हो।

उन्होंने दो मुख्य विचारों का परीक्षण किया:

"फूरियर फीचर" (Fourier Feature) अपग्रेड: यह ऐसा है जैसे रोबोट को एक विशेष चश्मा देना जो इनपुट समय को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) तरंगों के उच्च-आयामी मानचित्र में बदल देता है। यह रोबोट को शुरुआत से ही उच्च आवृत्तियों को देखने के लिए मजबूर करता है।
"KAN" मस्तिष्क: यह एक नया प्रकार का मस्तिष्क (कोलमोगोरोव-आर्नोल्ड नेटवर्क) है जहाँ न्यूरॉन्स के बीच के संबंध स्थिर नहीं होते; वे सीखने योग्य, लचीली वक्र रेखाएं (विशेष रूप से चेबिशेव पॉलिनोमियल का उपयोग करके) हैं। यह ऐसा है जैसे रोबोट को अपने स्वयं के आंतरिक वायरिंग को डेटा के आकार के अनुसार ढालने की क्षमता देना।

दौड़: चार अलग-अलग भूकंप परिदृश्य

रोबोटों का परीक्षण चार बहुत अलग चुनौतियों पर किया गया:

बौक-वेन (Bouc–Wen): एक प्रणाली जो एक चिपचिपे, प्लास्टिक जैसे पदार्थ की तरह व्यवहार करती है जो मुड़ जाती है और पूरी तरह से वापस नहीं आती (हिस्टेरेटिक व्यवहार)।
डफिंग (Duffing): एक प्रणाली जिसमें "डबल-वेल" ऊर्जा का आकार होता है, जैसे दो पहाड़ियों के बीच लुढ़कती हुई गेंद।
वैन डेर पोल (Van der Pol): एक प्रणाली जो अपनी खुद की लय बनाती है, जैसे दिल की धड़कन या पंख का फड़फड़ाना।
3-DOF बिल्डिंग: एक तीन मंजिला इमारत जो एक साथ कई मोड में डगमगा रही है।

परिणाम: कौन जीता?

परिणाम आश्चर्यजनक और बहुत स्पष्ट थे।

1. चश्मे की जीत हुई
सबसे बड़ी खोज यह थी कि फूरियर फीचर एनकोडिंग (विशेष चश्मा) सबसे महत्वपूर्ण कारक था। जब शोधकर्ताओं ने इन चश्मों को मानक MLP मस्तिष्क पर लगाया, तो वह एक सुपरस्टार बन गया।

डफिंग और वैन डेर पोल परीक्षणों में, "फूरियर-MLP" ने अपनी त्रुटि (error) को अत्यंत निम्न स्तर तक कम कर दिया, जिससे L2 एरर 0.001 से नीचे (इन बेंचमार्क के लिए लगभग पूर्ण सटीकता) प्राप्त हुई।
बौक-वेन और 3-DOF बिल्डिंग परीक्षणों में, इसने त्रुटियों को 98.6% से 99.7% तक कम कर दिया।
इन चश्मों के बिना, मानक MLP पूरी तरह विफल रहा, जिसने लगभग शून्य गति की भविष्यवाणी की (त्रुटि लगभग 1.0 के करीब)।

2. KAN मस्तिष्क: अच्छा, लेकिन केवल बिना चश्मे के
KAN-ओनली मस्तिष्क (बिना फूरियर चश्मे के) वास्तव में काफी चतुर था। वैन डेर पोल परीक्षण में, यह साधारण MLP की तुलना में 3.5 गुना बेहतर था क्योंकि इसके लचीले आंतरिक वक्र एक अंतर्निहित फ्रीक्वेंसी डिकोडर की तरह काम करते थे। हालांकि, यह फूरियर-MLP का मुकाबला नहीं कर सका।

3. विरोधाभास: मिलाने से चीजें खराब हो गईं
यहाँ एक मोड़ है जो शोधकर्ताओं ने पाया बहुत दिलचस्प था। जब उन्होंने फूरियर चश्मे को KAN मस्तिष्क के साथ मिलाने की कोशिश की (एक "FPIKAN" बनाने के लिए), तो प्रदर्शन बिगड़ गया।

डफिंग परीक्षण में, KAN मस्तिष्क में चश्मा जोड़ने से वास्तव में त्रुटि 201.7% बढ़ गई (यह KAN मस्तिष्क अकेले की तुलना में तीन गुना बदतर हो गया)।
वैन डेर पोल परीक्षण में, इससे त्रुटि 9.0% बढ़ गई।

मिश्रण क्यों विफल हुआ?

लेखक इसे "ग्रेडिएंट फ्लो" (gradient flow) की अवधारणा का उपयोग करके समझाते हैं, जो यह तय करता है कि रोबोट अपनी गलतियों से कैसे सीखता है।

फूरियर चश्मे एक बहुत ही सुचारू, आसान रास्ता बनाते हैं जिससे रोबोट सीख सके।
KAN मस्तिष्क के आंतरिक वक्र (चेबिशेव पॉलिनोमियल) बहुत ही टेढ़े-मेढ़े और जटिल होते हैं। जब आप KAN मस्तिष्क को फूरियर चश्मे के माध्यम से देखने के लिए मजबूर करते हैं, तो "सीखने के संकेत" (ग्रेडिएंट्स) बेतहाशा दोलन करने लगते हैं। यह एक उच्च-प्रदर्शन वाली रेस कार (KAN) को एक बिल्कुल चिकने ट्रैक (Fourier) पर चलानेने जैसा है, लेकिन कार का सस्पेंशन इतना संवेदनशील है कि चिकनाई के कारण वह खुद को हिलाकर तोड़ देती है। गणित बहुत जटिल हो जाता है जिससे रोबोट के लिए सटीक समाधान ढूंढना मुश्किल हो जाता है।

अंतिम निर्णय

अध्ययन यह निष्कर्ष निकालता है कि संरचनाओं की गति की भविष्यवाणी करने के लिए, इनपुट प्रतिनिधित्व (चश्मा) मस्तिष्क की वास्तुकला (architecture) से अधिक महत्वपूर्ण है।

विजेता: फूरियर-MLP (मानक मस्तिष्क + फूरियर चश्मा)। यह सबसे सटीक, प्रशिक्षित करने में सबसे तेज़ और उपयोग करने में सबसे सरल था।
उपविजेता: KAN-ओनली मस्तिष्क। यदि आप पहले से फ्रीक्वेंसी रेंज नहीं जानते हैं, तो यह दूसरा सबसे अच्छा विकल्प है, लेकिन यह फूरियर-MLP जितना अच्छा नहीं है।
हारने वाला: FPIKAN (KAN + फूरियर)। पेपर स्पष्ट रूप से तर्क देता है कि इन दोनों विशिष्ट तकनीकों को मिलाना उल्टा असर डालता है और वर्तमान रूप में इससे बचना चाहिए।

संक्षेप में, यदि आप चाहते हैं कि आपका रोबोट इमारतों के कंपन की भविष्यवाणी करे, तो केवल एक शानदार मस्तिष्क न बनाएं; उसे सही चश्मा दें ताकि वह उच्च-आवृत्ति विवरण देख सके। और इन शानदार मस्तिष्क को चश्मे के साथ मिलाने की कोशिश न करें, अन्यथा आप पूरे सिस्टम को खराब कर सकते हैं।

तकनीकी सारांश: नॉनलीनर स्ट्रक्चरल डायनेमिक्स के लिए फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल सरोगेट्स में स्पेक्ट्रल बायस मिटिगेशन

1. समस्या विवरण

फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क्स (PINNs) में उपयोग किए जाने वाले मानक मल्टीलेयर परसेप्ट्रॉन्स (MLPs) स्पेक्ट्रल बायस (spectral bias) से ग्रस्त होते हैं: एक व्यवस्थित प्रवृत्ति जिसमें वे सिग्नल के लो-फ्रीक्वेंसी कंपोनेंट्स को तो सीख लेते हैं, लेकिन हाई-फ्रीक्वेंसी मोड्स को पकड़ने में विफल रहते हैं। यह सीमा नॉनलीनर स्ट्रक्चरल डायनेमिक्स में अत्यंत महत्वपूर्ण है, जहाँ सिस्टम रिस्पॉन्स स्वाभाविक रूप से मल्टी-फ्रीक्वेंसी कंपोनेंट्स (जैसे कि मोडल इंटरैक्शन, हिस्टेरेटिक व्यवहार और नॉनलीनर स्टिफनेस से उत्पन्न होने वाले फंडामेंटल मोड्स और हायर हार्मोनिक्स) को समाहित करता है।

जबकि हाल ही में कोलमोगोरोव-आर्नोल्ड नेटवर्क्स (KANs) जैसे विकल्पों का प्रस्ताव दिया गया है ताकि लर्नबल एज एक्टिवेशंस के माध्यम से इसे कम किया जा सके, KANs और MLPs के बीच मौजूदा तुलनाएँ अक्सर त्रुटिपूर्ण होती हैं। पूर्व अध्ययनों में अक्सर निम्नलिखित कमियाँ देखी जाती हैं:

असमान पैरामीटर काउंट।
अनुचित इनपुट नॉर्मलाइजेशन (जिससे एक्टिवेशन सैचुरेशन होता है)।
गैर-शून्य अवस्थाओं (non-zero states) के लिए भी हार्डकोडेड जीरो इनिशियल कंडीशंस (ICs) का उपयोग।
फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड बाधाओं (constraints) का असंगत अनुप्रयोग।

ये पद्धतिगत विसंगतियाँ आर्किटेक्चरल चॉइस बनाम इनपुट रिप्रेजेंटेशन की प्रभावकारिता के संबंध में भ्रामक निष्कर्षों की ओर ले जाती हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

यह अध्ययन इनपुट रिप्रेजेंटेशन और बैकबोन आर्किटेक्चर के प्रभावों को अलग करने के लिए एक कठोर, पैरामीटर-मैच्ड एक्सपेरिमेंटल फ्रेमवर्क स्थापित करता है।

2.1 बेंचमार्क समस्याएं

चार कैनोनिकल नॉनलीनर डायनेमिक्स समस्याओं को चुना गया, जिनमें से प्रत्येक एक विशिष्ट डायनेमिक क्लास का प्रतिनिधित्व करती है:

बौक-वेन हिस्टेरेटिक ऑसिलेटर (Bouc–Wen Hysteresis Oscillator): रेट-इंडिपेंडेंट हिस्टेरेसिस (डेटा-ड्रिवन ट्रेनिंग)।
डफिंग ऑसिलेटर (Duffing Oscillator): क्वैसी-पीरियडिक व्यवहार के साथ क्यूबिक ज्योमेट्रिक स्टिफनेस (फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड)।
फोर्स्ड वैन डेर पोल ऑसिलेटर (Forced Van der Pol Oscillator): सेल्फ-एक्साइटेड लिमिट-साइकिल ऑसिलेशन (फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड)।
थ्री-DOF शेअर बिल्डिंग (Three-DOF Shear Building): लीनियर मल्टी-फ्रीक्वेंसी मोडल सुपरपोजिशन (डेटा-ड्रिवन)।

2.2 आर्किटेक्चरल डिज़ाइन (2 × 2 फैक्टोरियल)

निष्पक्षता सुनिश्चित करने के लिए सभी चार मॉडलों को ~16,400 ट्रेन करने योग्य पैरामीटर्स तक सीमित रखा गया था:

प्लेन MLP: नॉर्मलाइज्ड टाइम इनपुट ( $t/t_{max}$ ) के साथ मानक MLP।
फूरियर-MLP: फूरियर फीचर एनकोडिंग ( $\Phi(t)$ ) के साथ MLP।
KAN-only: लर्नबल चेबिशेव (Chebyshev) पॉलीनोमियल एक्टिवेशंस और नॉर्मलाइज्ड टाइम इनपुट के साथ KAN।
FPIKAN (फूरियर-एनहैंस्ड KAN): फूरियर फीचर एनकोडिंग के साथ KAN।

प्रमुख पद्धतिगत नियंत्रण (Key Methodological Controls):

इनपुट नॉर्मलाइजेशन: $\tanh$ सैचुरेशन को रोकने के लिए प्लेन MLP और KAN-only इनपुट्स को $[0, 1]$ तक नॉर्मलाइज किया गया; फूरियर मॉडल इस कारण इम्यून थे क्योंकि वे बाउंडेड साइन/कोसाइन का उपयोग करते हैं।
इनिशियल कंडीशंस (ICs): वास्तविक भौतिक ICs ( $u(0), \dot{u}(0)$ ) का स्पष्ट प्रवर्तन, न कि हार्डकोडेड ज़ीरो।
लॉस फंक्शन: एक एकीकृत लॉस जिसमें डेटा फिडेलिटी ( $L_{data}$ ), इनिशियल कंडीशन कंस्ट्रेंट्स ( $L_{IC}, L_{vel}$ ), और लागू बेंचमार्क के लिए फिजिक्स रेसिडुअल्स ( $L_{phys}$ ) शामिल हैं।
ट्रेनिंग: 5,000 एपॉक्स के लिए कोसाइन एनीलिंग के साथ एडम (Adam) ऑप्टिमाइज़र।

2.3 सैद्धांतिक विश्लेषण

अध्ययन में KAN लेयर्स का ग्रेडिएंट फ्लो विश्लेषण शामिल है। यह प्रस्तावित करता है कि जबकि चेबिशेव पॉलीनोमियल्स 'इम्प्लिसिट स्पेक्ट्रल डिकंपोजर्स' के रूप में कार्य करते हैं, उनके सेकंड-ऑर्डर डेरिवेटिव्स (जो सेकंड-ऑर्डर ODEs के लिए फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड लॉस के लिए आवश्यक हैं) ऑसिलेटरी ग्रेडिएंट मैग्नीट्यूड्स उत्पन्न करते हैं। ये ऑसिलेशन फूरियर-एनकोडेड इनपुट्स के साथ मिलकर एक असंगत ऑप्टिमाइजेशन लैंडस्केप बनाते हैं, जो ट्रेनिंग को अस्थिर कर सकता है।

3. मुख्य योगदान

पैरामीटर-मैच्ड तुलना: चार नॉनलीनर बेंचमार्क में सख्ती से समान मॉडल क्षमता (~16.4k पैरामीटर्स) के साथ KAN और MLP आर्किटेक्चर की पहली कठोर तुलना।
फैक्टोरियल एब्लेशन स्टडी: फूरियर फीचर एनकोडिंग और बैकबोन आर्किटेक्चर (MLP बनाम KAN) के व्यक्तिगत योगदान को अलग करने वाला एक व्यवस्थित $2 \times 2$ डिज़ाइन।
पद्धतिगत सुधार: सात सामान्य कार्यान्वयन "बग्स" (जैसे मिसिंग वेलोसिटी ICs, अननॉर्मलाइज्ड टाइम, मिसमैच्ड पैरामीटर्स) की पहचान और सुधार, जिन्होंने पहले परिणामों को प्रभावित किया था।
ग्रेडिएंट इनकम्पैटिबिलिटी विश्लेषण: गणितीय प्रदर्शन कि कैसे फूरियर एनकोडिंग के साथ चेबिशेव-आधारित KANs को मिलाने से ग्रेडिएंट डायनेमिक्स के संघर्ष के कारण प्रदर्शन घट सकता है।
स्पेक्ट्रल फिडेलिटी मूल्यांकन: फ्रीक्वेंसी-डोमेन विश्लेषण जो दर्शाता है कि टाइम-डोमेन एरर मेट्रिक्स अकेले स्पेक्ट्रल बायस को निदान करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं।

4. परिणाम

4.1 फूरियर फीचर एनकोडिंग का प्रभुत्व

सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष यह है कि फूरियर फीचर एनकोडिंग स्पेक्ट्रल बायस को कम करने में प्रमुख कारक है।

प्लेन MLP में फूरियर एनकोडिंग जोड़ने से सभी बेंचमार्क में रिलेटिव $L_2$ एरर में 98.6% से 100% की कमी आई।
Fourier-MLP ने सभी चार बेंचमार्क में सबसे कम एरर प्राप्त किया ( $L_2 \le 0.014$ , डफिंग और वैन डेर पोल के लिए $L_2 < 10^{-3}$ के साथ)।
फूरियर एनकोडिंग के बिना, प्लेन MLP और KAN-only दोनों ही बौक-वेन और 3-DOF बिल्डिंग बेंचमार्क में हाई-फ्रीक्वेंसी डायनेमिक्स को पकड़ने में विफल रहे, जिससे $L_2 \approx 1.0$ (लगभग-शून्य प्रेडिक्शन) प्राप्त हुआ।

4.2 फूरियर एनकोडिंग के बिना KAN का प्रदर्शन

फूरियर एनकोडिंग की अनुपस्थिति में, KAN-only ने नॉनलीनर ऑसिलेटरी सिस्टम में प्लेन MLP से बेहतर प्रदर्शन किया:

Duffing: KAN ने एरर को 1.9× कम किया ($0.074 $बनाम$ 0.139$)।
Van der Pol: KAN ने एरर को 3.5× कम किया ($0.164 $बनाम$ 0.574$)।
यह पुष्टि करता है कि लर्नबल चेबिशेव एक्टिवेशंस इम्प्लिसिट स्पेक्ट्रल डिकंपोजर्स के रूप में कार्य करते हैं, जो सरल फ्रीक्वेंसी रेजीम्स में बायस को आंशिक रूप से कम करते हैं।

4.3 "पैराडॉक्स" ऑफ FPIKAN

इस उम्मीद के विपरीत कि दो मिटिगेशन रणनीतियों को मिलाने से बेहतर परिणाम मिलेंगे, FPIKAN लगातार Fourier-MLP से खराब प्रदर्शन करता रहा।

डफिंग बेंचमार्क में, KAN में फूरियर एनकोडिंग जोड़ने से एरर 201.7% बढ़ गया ($0.074 $से$ 0.224$)।
वैन डेर पोल बेंचमार्क में, एरर 9.0% बढ़ गया।
कारण: हाई-डिग्री चेबिशेव पॉलीनोमियल्स में निहित ऑसिलेटरी ग्रेडिएंट मैग्नीट्यूड्स, सेकंड-ऑर्डर फिजिक्स रेसिडुअल्स के लिए आवश्यक स्मूथ ऑप्टिमाइजेशन लैंडस्केप के साथ संघर्ष करते हैं, विशेष रूप से फूरियर इनपुट्स के साथ जुड़ने पर।

4.4 कन्वर्जेंस और स्पेक्ट्रल विश्लेषण

कन्वर्जेंस: Fourier-MLP सुचारू रूप से $MSE < 10^{-7}$ तक कन्वर्ज हुआ। FPIKAN शुरू में कन्वर्ज हुआ लेकिन उच्च एरर स्तरों ( $10^{-3}$ से $10^{-5}$ ) पर स्थिर हो गया, जो ग्रेडिएंट अस्थिरता हाइपोथेसिस के अनुरूप है।
स्पेक्ट्रल फिडेलिटी: Fourier-MLP ने पूरे फ्रीक्वेंसी स्पेक्ट्रम को सटीक रूप से पुनर्गठित किया। नॉन-फूरियर मॉडल उच्च-फ्रीक्वेंसी क्षीणन (attenuation) प्रदर्शित करते हैं, जो प्रभावी रूप से 2–3 Hz से ऊपर के मोड्स को फ़िल्टर कर देते हैं।

5. महत्व और निष्कर्ष

यह पेपर निष्कर्ष निकालता है कि नॉनलीनर स्ट्रक्चरल डायनेमिक्स में फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल सरोगेट्स के लिए:

इनपुट रिप्रेजेंटेशन महत्वपूर्ण है: फूरियर फीचर एनकोडिंग स्पेक्ट्रल बायस को कम करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण डिज़ाइन चॉइस है, जो बैकबोन आर्किटेक्चर के बावजूद प्रभावी रूप से इसे समाप्त कर देती है।
अनुशंसित आर्किटेक्चर: Fourier-MLP अनुशंसित आर्किटेक्चर है, जो सबसे कम एरर, तेज़ ट्रेनिंग (~KAN विकल्पों की तुलना में ~2× तेज़), और सरल कार्यान्वयन प्रदान करता है।
स्टैंडअलोन KAN का मूल्य: KANs तब मूल्य प्रदान करते हैं जब फूरियर एनकोडिंग संभव न हो (जैसे अज्ञात फ्रीक्वेंसी रेंज), क्योंकि वे इम्प्लिसिट स्पेक्ट्रल डिकंपोजिशन के माध्यम से MLPs से 3.5× तक बेहतर प्रदर्शन करते हैं।
हाइब्रिडाइजेशन की प्रति-उत्पादकता: चेबिशेव-आधारित KANs के साथ फूरियर एनकोडिंग को मिलाना (FPIKAN) वर्तमान में प्रति-उत्पादक है क्योंकि इसमें ग्रेडिएंट इनकम्पैटिबिलिटी है। लेखक बाउंडेड डेरिवेटिव्स वाले B-spline या वेवलेट-आधारित KAN वेरिएंट्स के भविष्य के अन्वेषण का सुझाव देते हैं।
पद्धतिगत कठोरता: यह अध्ययन इस बात पर जोर देता है कि पिछले तुलनात्मक साहित्य को कार्यान्वयन दोषों से समझौता किया जा सकता है। इस क्षेत्र में वैध वैज्ञानिक निष्कर्षों के लिए सख्त पैरामीटर मिलान, उचित नॉर्मलाइजेशन और सही इनिशियल कंडीशन प्रवर्तन का पालन करना आवश्यक है।