Complex Frequency

1. Il Problema

Nell'analisi dei sistemi di potenza, la definizione tradizionale di frequenza di un segnale $x(t) = X_m(t) \cos(\vartheta(t))$ è data dalla derivata temporale della fase rispetto a un riferimento sincrono: $f(t) = \frac{1}{2\pi}\dot{\vartheta}(t)$.
Questa definizione è adeguata quando l'ampiezza del segnale $X_m$ è costante. Tuttavia, nelle condizioni transitorie dei moderni sistemi di potenza (specialmente quelli a bassa inerzia con alta penetrazione di generatori convertitori), l'ampiezza della tensione ($V_m$) varia nel tempo. La definizione classica non riesce a separare in modo significativo gli effetti delle variazioni di fase ($\vartheta$) da quelli delle variazioni di ampiezza ($X_m$). Di conseguenza, la misurazione della frequenza in condizioni transitorie può diventare ambigua o produrre valori non fisici (ad esempio, picchi numerici durante i guasti).

2. Metodologia

L'autore propone un nuovo quadro teorico basato sul concetto di Frequenza Complessa ($\bar{\eta}$).

• Definizione di Frequenza Complessa:
  La frequenza complessa è definita come una grandezza vettoriale con una parte reale e una parte immaginaria:
  $$\bar{\eta} = \varrho + j\omega$$
  Dove:

  • Parte Immaginaria ($\omega$): Rappresenta la variazione della frequenza angolare rispetto a un riferimento sincrono (la frequenza tradizionale).
  • Parte Reale ($\varrho$): È definita come la derivata temporale del logaritmo naturale della magnitudine della tensione ($\varrho = \dot{u} = \dot{v}/v$). Questo termine cattura la dinamica della magnitudine della tensione.

• Derivazione Matematica:
  Partendo dalle equazioni di potenza complessa istantanea $\bar{s} = \bar{v} \circ \bar{i}^*$ (dove $\circ$ è il prodotto di Hadamard) e utilizzando la trasformata di Park per trattare le grandezze come vettori dinamici (non solo fasori stazionari), l'autore deriva un'equazione differenziale che lega le variazioni di potenza complessa alle frequenze complesse:
  $$\dot{\bar{s}} - \bar{s} \circ \bar{\eta} = \bar{S} \bar{\eta}^*$$
  Questa equazione (Eq. 32 nel paper) è esatta (a meno delle approssimazioni standard di stato quasi-stazionario per le dinamiche elettromagnetiche) e descrive come le iniezioni di potenza influenzano la frequenza complessa ai nodi della rete.

• Casi Particolari e Approssimazioni:
  Il paper analizza casi specifici (carichi a potenza costante, impedenza costante, corrente costante) e sviluppa espressioni approssimate per sistemi ad alta tensione (dove $R \ll X$), mostrando come la parte reale e immaginaria della frequenza complessa siano accoppiate con le variazioni di potenza attiva e reattiva.

3. Contributi Chiave

1. Nuova Definizione Fisica: Introduce la frequenza complessa come un'estensione naturale della frequenza classica, capace di descrivere simultaneamente le dinamiche di fase e di magnitudine.
2. Equazione Fondamentale: Fornisce l'equazione differenziale (32) che collega direttamente le derivate delle iniezioni di potenza alle frequenze complesse, senza bisogno di approssimazioni eccessive.
3. Interpretazione Fisica: Dimostra che la parte reale della frequenza complessa ($\varrho$) è cruciale per interpretare correttamente le variazioni di frequenza, specialmente in presenza di forti variazioni di tensione.
4. Generalizzazione: Mostra che la definizione classica di frequenza è un caso particolare della frequenza complessa (quando la tensione è costante, $\varrho = 0$).
5. Strumento di Analisi: Offre un framework sistematico per determinare analiticamente l'impatto di ogni dispositivo (sincrono o convertitore) sulla frequenza locale della rete.

4. Risultati e Applicazioni

Il paper valida la teoria attraverso simulazioni numeriche sul sistema WSCC a 9 bus e confronti con metodi esistenti:

• Confronto con PLL e FDF:
  • Le simulazioni mostrano che la stima della frequenza ottenuta tramite la Frequenza Complessa (CF) è più robusta e priva dei "picchi" (spikes) numerici che spesso affliggono i metodi basati su Phase-Locked Loop (PLL) o sulla Formula del Divisore di Frequenza (FDF) durante guasti o disconnessioni improvvise.
  • La CF fornisce una rappresentazione più "pulita" e fisicamente significativa delle dinamiche transitorie.
• Stima dei Parametri dei Carichi:
  • Viene dimostrato come utilizzare la frequenza complessa per stimare con maggiore precisione i parametri di carichi dipendenti dalla tensione (VDL), superando le limitazioni delle formule empiriche precedenti.
• Controllo dei Convertitori (CIG):
  • L'analisi rivela che, nelle reti con alta penetrazione di generatori convertitori (CIG), esiste un accoppiamento significativo tra la potenza reattiva ($q$) e la frequenza ($\omega$) attraverso le resistenze di rete.
  • Simulazioni mostrano che un controllo che utilizza sia la potenza attiva che quella reattiva per regolare la frequenza (Controllo 2) è più efficace nel mitigare le variazioni di frequenza rispetto al controllo basato solo sulla potenza attiva.

5. Significato e Impatto

L'introduzione della frequenza complessa rappresenta un passo avanti significativo nella modellazione e nell'analisi della stabilità dei sistemi di potenza moderni:

• Robustezza: Risolve il problema delle misurazioni di frequenza non fisiche durante i transitori, offrendo uno strumento più affidabile per il monitoraggio in tempo reale.
• Nuove Strategie di Controllo: Svela relazioni dinamiche precedentemente trascurate (come l'uso della potenza reattiva per il controllo della frequenza in reti resistive o a bassa inerzia), aprendo la strada a nuovi algoritmi di controllo per i convertitori di potenza.
• Fondamento Teorico: Fornisce una base matematica rigorosa per unificare le dinamiche di tensione e angolo, essenziale per la progettazione di sistemi di potenza del futuro caratterizzati da bassa inerzia e alta penetrazione di energie rinnovabili.

In sintesi, il paper non solo ridefinisce un concetto fondamentale come la frequenza, ma fornisce gli strumenti matematici per sfruttare questa nuova definizione per migliorare l'analisi, la stima dello stato e il controllo dei sistemi di potenza.