Locally imprimitive points on elliptic curves

1. Il Problema

Il lavoro si colloca nel contesto della generalizzazione della Congettura di Artin sui radici primitive ai campi numerici e alle curve ellittiche.
Il problema principale è determinare la densità (o l'infinità) dell'insieme di primi $p$ di un campo numerico $K$ per i quali un elemento globale soddisfa una proprietà di "primitività locale".

L'articolo analizza tre casi:

1. Caso Moltiplicativo (I): Un elemento $x \in K^*$ è una radice primitiva modulo $p$ (cioè genera $k_p^*$).
2. Riduzione Ciclica (II): Una curva ellittica $E/K$ ha riduzione ciclica modulo $p$ (cioè il gruppo $E(k_p)$ è ciclico).
3. Radice Primitiva Ellittica (III - Caso Lang-Trotter): Un punto $P \in E(K)$ di ordine infinito genera il gruppo $E(k_p)$ modulo $p$.

Mentre i casi I e II sono ben compresi (sotto l'ipotesi di Riemann Generalizzata, GRH, la densità è positiva se non ci sono ostacoli banali), il caso III presenta un fenomeno nuovo e sottile: esistono punti globali $P$ che sono globalmente primitivi (non sono multipli di altri punti in $E(K)$) ma localmente imprimitivi, ovvero non generano $E(k_p)$ per nessun primo $p$ (o per un insieme di primi di densità zero), nonostante la curva abbia una riduzione ciclica per una densità positiva di primi.

2. Metodologia

Gli autori utilizzano una combinazione di teoria dei numeri algebrica, teoria delle rappresentazioni di Galois e geometria aritmetica.

• Rappresentazioni di Galois: Il cuore dell'analisi è la rappresentazione di Galois associata al punto $P$. Per un punto $P \in E(K)$, si considera il campo di divisione $K_m = K(m^{-1}P)$ generato dai punti $Q$ tali che $mQ \in \langle P \rangle$. Questo definisce una rappresentazione:
  $$\rho_{E/K, P}: G_K \to \text{GL}_3(\hat{\mathbb{Z}})$$
  dove $G_K = \text{Gal}(\bar{K}/K)$. La rappresentazione agisce sul modulo $V_m = \langle m^{-1}P \rangle / \langle P \rangle$, che è un modulo libero di rango 3 su $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.
• Condizioni di Scissione: La primitività locale è caratterizzata dal comportamento di scissione dei primi $p$ in questi campi di divisione. Un primo $p$ è "buono" (cioè $P$ genera $E(k_p)$) se l'elemento di Frobenius $\text{Frob}_p$ non fissa troppo grandi sottospazi nello spazio vettoriale $V_\ell$.
• Analisi degli Ostacoli: Si studiano le condizioni sotto le quali la densità prevista $\delta_{E/K, P}$ si annulla. Questo accade se il gruppo di Galois $G_\ell = \text{Gal}(K_\ell/K)$ non contiene elementi che agiscono "genericamente" (cioè con rango $\ge 2$ su $V_\ell - \text{id}$).
• Costruzione di Esempi: Si utilizzano isogenie, forme normali di Tate e curve con punti di torsione razionali per costruire famiglie esplicite di curve e punti che soddisfano le condizioni di imprimitività locale non banale.

3. Contributi Chiave e Risultati Principali

A. Teorema 1.1 (Caso Moltiplicativo)

Gli autori forniscono una dimostrazione sotto GRH che se $x \in K^*$ è globalmente primitivo (non è una potenza $\ell$-esima in $K^*$ per nessun primo $\ell$), allora $x$ è una radice primitiva modulo un insieme di primi di densità positiva. Questo conferma che non ci sono ostacoli "non banali" nel caso moltiplicativo se l'elemento è globalmente primitivo.

B. Teorema 1.2 (Caratterizzazione dell'Imprimitività Locale)

Questo è il risultato centrale. Classifica quando un punto non di torsione $P \in E(K)$ è localmente $\ell$-imprimitivo (cioè $\ell$ divide l'indice $[E(k_p) : \langle P \rangle]$ per quasi tutti i primi $p$).
La condizione è soddisfatta se e solo se vale almeno una delle seguenti:

1. Condizione A (Banale): $E(K)$ contiene un punto di torsione di ordine $\ell$ e $P \in \ell E(K)$.
2. Condizione B (Banale): $E$ ha tutta la torsione $\ell$-esima razionale su $K$ (il gruppo $E(k_p)$ non è mai ciclico per la parte $\ell$).
3. Condizione C (Non Banale): Esiste un'isogenia $\phi: E' \to E$ definita su $K$ con nucleo generato da un punto di torsione di ordine $\ell$ su $E'$, tale che $P$ appartiene all'immagine di $\phi$.
   • Significato: Questo caso è nuovo rispetto ai casi I e II. Anche se $P$ non è un multiplo di $\ell$ e $E$ non ha torsione $\ell$-esima razionale, $P$ può fallire nel generare il gruppo locale perché è l'immagine di un punto su una curva isogena.

C. Teorema 1.3 (Esistenza di Punti Localmente 2-Imprimitivi)

Gli autori dimostrano che per ogni curva ellittica $E/K$ con esattamente un punto di torsione di ordine 2 (sottogruppo di torsione di ordine 2), esistono infinitamente delle sue twist quadratiche che ammettono un punto non di torsione che è localmente 2-imprimitivo in modo non banale (soddisfa la Condizione C ma non A o B).
La costruzione si basa sulla parametrizzazione esplicita delle isogenie di grado 2 e sulla scelta di punti razionali su coniche.

D. Casi per $\ell > 2$ (Sezioni 6 e 7)

Vengono costruiti esempi espliciti per $\ell = 3, 5, 7$.

• Per $\ell=3$, si usa la forma normale di Deuring e isogenie di grado 3 per generare una famiglia infinita di curve con punti localmente 3-imprimitivi.
• Per $\ell=5$ e $7$, si utilizzano le forme normali di Tate e formule di Vélu per ottenere curve e punti specifici (es. curve con etichetta LMFDB come 5835.c2 e 20622.j1).
• Si nota che per $\ell > 7$ su $\mathbb{Q}$ non esistono tali punti non banali (a causa di vincoli sulla torsione).

E. Ostacoli a Livello Composto (Sezione 8)

Il lavoro identifica un nuovo tipo di ostacolo che non dipende da un singolo primo $\ell$, ma dall'entanglement (intreccio) tra campi di divisione di primi diversi (es. livelli 2 e 3).

• Viene costruito un esempio su $\mathbb{Q}$ (curva 12100.j1) dove un punto $P$ è localmente imprimitivo perché l'indice è sempre divisibile per 2 o 3, a causa di una struttura di Galois a livello composto (livello 6) che impedisce la primitività, anche se non ci sono ostacoli a livello 2 o 3 singolarmente. Questo fenomeno non si verifica nei casi moltiplicativi o di riduzione ciclica su $\mathbb{Q}$.

4. Significato e Impatto

• Nuova Fenomenologia: Il lavoro rivela che la primitività locale per i punti sulle curve ellittiche è molto più complessa rispetto al caso moltiplicativo. Esistono ostacoli "non banali" (Condizione C) che non hanno analogo nella teoria delle radici primitive classiche.
• Strumenti Teorici: L'uso della rappresentazione di Galois in dimensione 3 ($\text{GL}_3$) e l'analisi delle condizioni di rango del Frobenius forniscono un quadro teorico solido per studiare la generazione dei gruppi di punti ridotti.
• Controesempi alla Congettura Diretta: Dimostrano che l'analogia diretta con la congettura di Artin fallisce per i punti sulle curve ellittiche: un punto globalmente primitivo può non generare mai il gruppo locale, a differenza degli elementi globalmente primitivi nei campi numerici (sotto GRH).
• Costruttività: Fornisce metodi algoritmici e formule esplicite per generare infinite famiglie di tali controesempi, rendendo il fenomeno accessibile a calcoli numerici e verifiche sperimentali.

In sintesi, l'articolo risolve una questione aperta sulla densità dei primi per cui un punto genera il gruppo locale, identificando e classificando completamente le cause della loro assenza (imprimitività locale), sia attraverso isogenie che attraverso intrecci di campi di divisione.