A canonical generator for congruence ideals of Hida families

Dichiarazione del Problema
Il documento affronta la costruzione e lo studio aritmetico delle funzioni $L$ $p$-adiche canoniche dell'aggiunto associate a famiglie di Hida di forme modulari. Sebbene le funzioni $L$ $p$-adiche per il sollevamento dell'aggiunto di una forma modulare fossero state precedentemente costruite da Schmidt e Hida, tali costruzioni non si allineavano pienamente al quadro di Coates-Perrin-Riou per i motivi. Nello specifico, la normalizzazione dei periodi nelle costruzioni esistenti si basava sulla norma di Petersson $\langle f, f \rangle$, mentre le considerazioni motiviche suggeriscono che il periodo corretto debba coinvolgere il prodotto dei periodi di Shimura $p$-normalizzati $\Omega^+_f \Omega^-_f$. La discrepanza implica che le funzioni $L$ $p$-adiche esistenti siano rapporti di funzioni $L$ $p$-adiche motiviche "genuine". Il problema centrale è costruire un generatore canonico per l'ideale di congruenza di una famiglia di Hida, denotato con $L_p(\text{ad } F)$, che interpoli il rapporto tra il valore $L$ dell'aggiunto e il prodotto dei periodi di Shimura, e relazionare questo generatore all'ideale caratteristico del gruppo di Selmer dell'aggiunto.

Metodologia
L'autore impiega un approccio coomologico radicato nella teoria delle famiglie di Hida e nella accoppiata di Ohta. La metodologia procede attraverso diverse fasi chiave:

1. Setup Coomologico e Accoppiata di Ohta: La costruzione utilizza la coomologia anti-ordinaria della torre di curve modulari, $e^*H^1(Np^\infty)$. L'autore utilizza una accoppiata $\Lambda$-adica perfetta costruita da Ohta su questo spazio, che interpola le norme di Petersson di forme proprie anti-ordinarie. Poiché le famiglie di Hida contribuiscono alla coomologia ordinaria, l'inviluppo di Atkin-Lehner viene utilizzato per trasportare strutture integrali tra la coomologia ordinaria e quella anti-ordinaria, permettendo l'applicazione della accoppiata di Ohta al contesto ordinario.
2. Periodi Canonici e Definizione della Funzione $L$: Fissando una base per i moduli coomologici rilevanti (che sono liberi di rango 1 sul algebra di Hecke locale sotto specifiche condizioni di irriducibilità), l'autore definisce la funzione $L$ $p$-adica dell'aggiunto $L_p(\text{ad } F)$ come il valore della accoppiata di Ohta su questi elementi di base. Questa definizione assicura che la funzione $L$ sia un generatore canonico dell'ideale di congruenza.
3. Interpolazione e Fattori di Euler: Il documento analizza la specializzazione di questa funzione $L$ in punti aritmetici (forme modulari classiche). Dimostra che queste specializzazioni interpolano il rapporto tra il valore $L$ dell'aggiunto e il prodotto dei periodi di Shimura, al netto di espliciti fattori di Euler e potenze di $p$. L'autore costruisce inoltre un elemento universale $L_\Sigma(\text{ad } \rho)$ in una grande algebra di Hecke che si specializza nelle funzioni $L$ di varie famiglie di Hida che condividono la stessa rappresentazione galoisiana residua, tenendo conto dei cambiamenti nel livello tame tramite i fattori di Euler.
4. Relazione con i Gruppi di Selmer: Il documento relaziona l'oggetto analitico ($L_p(\text{ad } F)$) con l'oggetto algebrico (il gruppo di Selmer dell'aggiunto $\text{Sel}(\text{ad } F)$). Utilizza la teoria delle deformazioni di Galois (specificamente l'isomorfismo tra l'anello di deformazione universale e l'anello di Hecke stabilito da Wiles, Taylor-Wiles e Diamond) e il modulo dei differenziali di Kähler continui. Analizzando le condizioni locali nei primi di un insieme finito $\Sigma$, l'autore stabilisce una connessione tra l'ideale caratteristico del gruppo di Selmer e la funzione $L$ $p$-adica, correggendo per i primi eccezionali dove la rappresentazione automorfica locale è supercuspidale.

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema A (Costruzione di $L_p(\text{ad } F)$): Assumendo che la rappresentazione galoisiana residua $\rho_F$ sia assolutamente irriducibile e $p$-distinta, l'autore costruisce un generatore $L_p(\text{ad } F)$ dell'ideale di congruenza della famiglia di Hida $F$. La specializzazione di questo elemento in una nuova forma classica $f$ è data esplicitamente da:
  $$L_p(\text{ad } f) = p^{r-1}\alpha^r w(f^\circ) E_p(\text{ad } f^\circ) \cdot \frac{(-2i)^k \langle f^\circ, f^\circ \rangle}{\Omega^+_{f^\circ} \Omega^-_{f^\circ}}$$
  Ciò conferma che la funzione $L$ costruita genera l'ideale di congruenza e interpola il corretto rapporto di periodi motivici.

• Teorema B (Elemento Universale nell'Algebra di Hecke Grande): Il documento costruisce un elemento regolare $L_\Sigma(\text{ad } \rho)$ nel prodotto tensoriale dell'algebra di Hecke ordinaria universale e l'anello dei coefficienti. Questo elemento si specializza nella funzione $L$ $p$-adica dell'aggiunto di qualsiasi famiglia di Hida primitiva con rappresentazione residua $\rho$, al netto dei fattori di Euler associati ai primi in un insieme finito $\Sigma$. Questo risultato interpreta l'esistenza di congruenze tra le norme di Petersson di diverse nuove forme $p$-ordinarie che condividono la stessa rappresentazione residua.

• Teorema C (Congettura Principale per i Gruppi di Selmer dell'Aggiunto): Sotto l'assunzione più forte che la rappresentazione residua sia assolutamente irriducibile su $\mathbb{Q}(\mu_p)$, il documento dimostra che il duale di Pontryagin del gruppo di Selmer dell'aggiunto primitivo è un modulo torzione. Per una famiglia di Hida twist-minimal $F$, l'ideale caratteristico di questo gruppo di Selmer è uguale all'ideale generato dalla funzione $L$ $p$-adica, aggiustato da un prodotto di fattori locali nei primi $\Sigma_e$:
  $$\text{char}_I \text{Sel}(\text{ad } F)^\vee = \left( \prod_{\ell \in \Sigma_e} (1 + \ell^{-1})^{-1} \right) L_p(\text{ad } F) \cdot I$$

Significatività
Il documento sostiene di fornire una costruzione rigorosa di funzioni $L$ $p$-adiche dell'aggiunto motiviche "genuine" che si inseriscono naturalmente nel quadro degli ideali di congruenza e dei gruppi di Selmer. Utilizzando la accoppiata di Ohta e l'involuzione di Atkin-Lehner, l'autore risolve i problemi di normalizzazione presenti nelle costruzioni precedenti (Schmidt-Hida), assicurando che le funzioni $L$ catturino invarianti algebrici profondi come la dimensione dei gruppi di Selmer di Bloch-Kato. I risultati stabiliscono un'uguaglianza precisa tra la funzione $L$ $p$-adica analitica e l'ideale caratteristico algebrico del gruppo di Selmer dell'aggiunto, generalizzando i precedenti risultati di Hida che erano limitati ai casi minimamente ramificati. Il lavoro chiarisce inoltre il comportamento di queste funzioni $L$ sotto twisting e cambiamenti nel livello tame, fornendo un quadro unificato per lo studio delle congruenze tra norme di Petersson.