Linearization-based direct reconstruction for EIT using triangular Zernike decompositions

Titolo

Ricostruzione Diretta Basata sulla Linearizzazione per la Tomografia di Impedenza Elettrica (EIT) mediante Decomposizioni Triangolari di Zernike

1. Il Problema

La Tomografia di Impedenza Elettrica (EIT) è una tecnica di imaging non invasiva che mira a ricostruire la distribuzione della conducibilità elettrica all'interno di un corpo fisico basandosi su misurazioni di corrente e potenziale effettuate sul suo bordo.
Il problema matematico alla base dell'EIT è un'equazione inversa mal posta (ill-posed) e non lineare: si tratta di invertire un operatore non lineare che mappa la conducibilità interna alle misurazioni al bordo.
L'obiettivo specifico di questo lavoro è implementare e testare numericamente un algoritmo di ricostruzione diretta introdotto in un lavoro precedente (Garde & Hyvönen, 2024) per l'EIT bidimensionale linearizzata. La sfida principale affrontata è dimostrare che un algoritmo basato su una linearizzazione del problema può produrre ricostruzioni di alta qualità anche quando i dati di input provengono dal modello completo non lineare (sia il modello continuo ideale che il modello completo degli elettrodi - CEM) e non solo dalla derivata di Fréchet esatta.

2. Metodologia

L'approccio proposto si basa su una serie di passaggi matematici e numerici chiave:

• Linearizzazione e Modello Continuo (CM): Il metodo assume un modello linearizzato attorno a una conducibilità di fondo omogenea (unitaria). L'operatore di interesse è la derivata di Fréchet della mappa di Neumann-to-Dirichlet (ND), che mappa le correnti di ingresso ai potenziali di bordo.
• Base di Zernike e Scomposizione Angolare:
  • La perturbazione della conducibilità $\eta$ viene espansa in una base di polinomi di Zernike ($\psi_{j,k}$), dove $j$ è l'indice angolare (frequenza) e $k$ è l'indice radiale.
  • Un'osservazione fondamentale è che la mappa linearizzata disaccoppia le frequenze angolari. Ciascuna frequenza angolare $j$ nella perturbazione della conducibilità influenza solo la $j$-esima diagonale della matrice che rappresenta l'operatore ND linearizzato.
• Struttura Triangolare:
  • Per ogni indice angolare fissato $j$, la relazione tra i coefficienti di Zernike da ricostruire ($c_{j,k}$) e i dati misurati sulla diagonale $j$ è descritta da un sistema lineare infinito triangolare inferiore.
  • La ricostruzione diretta consiste nell'invertire esplicitamente queste matrici triangolari tramite sostituzione in avanti (forward substitution).
• Regolarizzazione:
  Poiché il problema inverso è mal posto e i dati sono rumorosi, l'inversione diretta è instabile. Il paper propone due strategie di regolarizzazione per i sistemi triangolari troncati:
  1. SVD Troncata (Truncated SVD): Calcolo della decomposizione ai valori singolari delle matrici triangolari per ciascun $j$, troncando i valori singolari più piccoli in accordo con il principio di discrepanza di Morozov.
  2. Troncamento dei Sistemi Triangolari: Una strategia euristica che tronca l'indice radiale $k$ in base alla stabilità dei coefficienti diagonali, massimizzando il valore assoluto minimo dei coefficienti diagonali coinvolti nella sostituzione in avanti.
• Gestione dei Dati Non Ideali:
  • Il metodo è testato su domini poligonali convessi e su dati reali, utilizzando il Teorema di Mappatura di Riemann per mappare i domini complessi sul disco unitario.
  • Vengono utilizzati dati simulati dal Complete Electrode Model (CEM) e dati reali da un serbatoio d'acqua, nonostante l'algoritmo sia teorizzato per il modello continuo linearizzato.

3. Contributi Chiave

• Implementazione e Validazione Numerica: Il lavoro fornisce la prima implementazione completa e il test numerico dell'algoritmo di Garde & Hyvönen (2024).
• Robustezza alla Non Linearità: Dimostra sperimentalmente che un algoritmo derivato da una linearizzazione può ricostruire con successo perturbazioni di conducibilità quando alimentato con dati provenienti da modelli non lineari (CM e CEM), ignorando l'errore di linearizzazione senza compromettere significativamente la qualità della ricostruzione.
• Sfruttamento della Struttura Triangolare: Sottolinea l'importanza della struttura triangolare dei sistemi decoupled, che permette una regolarizzazione indipendente per ciascuna frequenza angolare $j$.
• Confronto tra Strategie di Regolarizzazione: Confronta l'approccio basato sulla SVD (più giustificato teoricamente) con l'approccio euristico basato sul troncamento diretto, mostrando che la SVD è generalmente più stabile e produce ricostruzioni di qualità superiore, specialmente in presenza di rumore.
• Validazione su Dati Reali: Il successo dell'algoritmo è dimostrato su dati reali provenienti da un esperimento con un serbatoio d'acqua, confermando la sua applicabilità pratica.

4. Risultati Sperimentali

Gli esperimenti numerici sono stati condotti su diversi scenari:

• Dati Ideali (Senza Rumore): Su un disco unitario con inclusioni circolari, l'algoritmo con regolarizzazione SVD minima ha ricostruito fedelmente il supporto e il livello di conducibilità dell'inclusione, nonostante l'uso di un modello linearizzato.
• Dati con Rumore (1% e 10%):
  • Su domini circolari e poligonali (quadrati, poligoni convessi), l'algoritmo SVD ha prodotto ricostruzioni qualitative buone, catturando la struttura della perturbazione anche con il 10% di rumore.
  • L'approccio euristico (troncamento triangolare) ha richiesto una sintonizzazione manuale del fattore di "fudge" ($\omega$) nel principio di Morozov per ottenere risultati accettabili ed è risultato meno stabile.
• Modello CEM e Dati Reali:
  • Simulazioni basate sul CEM con elettrodi reali hanno mostrato che l'errore di approssimazione tra CEM e CM non impedisce una ricostruzione ragionevole.
  • I dati reali da un serbatoio d'acqua (16 elettrodi) hanno permesso di ricostruire inclusioni isolanti e conduttive, dimostrando la fattibilità del metodo in contesti pratici.

5. Significato e Conclusioni

Questo lavoro è significativo perché colma il divario tra la teoria della ricostruzione diretta basata sulla linearizzazione e la pratica dell'EIT.

• Efficienza Computazionale: La natura "diretta" dell'algoritmo (senza iterazioni non lineari) lo rende estremamente veloce.
• Semplicità di Implementazione: La decoupling delle frequenze angolari e la struttura triangolare semplificano notevolmente il processo di inversione e regolarizzazione.
• Versatilità: Il metodo funziona su domini generici (tramite mappatura conforme) e gestisce efficacemente il rumore e le discrepanze tra modello lineare e dati reali non lineari.

In conclusione, il paper dimostra che la linearizzazione, spesso considerata una limitazione per problemi EIT con forti contrasti di conducibilità, può essere sfruttata in modo sistematico per ottenere ricostruzioni di alta qualità, rendendo questo approccio un candidato promettente per applicazioni di imaging in tempo reale.