Size of isogeny classes of abelian varieties of Lubin-Tate type

Sintesi Tecnica: Dimensione delle classi di isogenia di varietà abeliane di tipo Lubin-Tate

Enunciato del Problema
Questo articolo affronta il problema di stimare la dimensione della classe di isogenia $I(A, \mathbb{F}_{q^n})$ di una varietà abeliana semplice principalmente polarizzata $A$ di dimensione $g$ definita su un campo finito $\mathbb{F}_q$. Nello specifico, l'autore si concentra sul caso in cui $A$ appartiene allo strato di Newton di "tipo Lubin-Tate". Questa classificazione richiede che il gruppo $p$-divisibile $A[p^\infty]$ sia una somma diretta di gruppi $p$-divisibili in cui la parte locale-locale di ciascun sommando (o della sua duale) ha dimensione uno. Di conseguenza, il poligono di Newton di $A$ ha pendenze $1/g$ e $(g-1)/g$. L'articolo assume $g > 2$ per escludere il caso supersingolare ($g=2$) e che l'algebra degli endomorfismi $K = \mathbb{Q}(\alpha)$, dove $\alpha$ è il numero di Weil $q$ di $A$, sia un campo CM tale che $K \otimes \mathbb{Q}_p$ si scinda in una somma diretta di due estensioni non ramificate di grado $g$.

La questione centrale è determinare la crescita asintotica di $|I(A, \mathbb{F}_{q^n})|$ al variare di $n$. Sebbene le euristiche basate sulla struttura "quasi-prodotto" degli strati di Newton (foglie centrali e foglie di isogenia) suggeriscano un ordine di grandezza specifico, la determinazione di limiti inferiori rigorosi per i casi non ordinari e non quasi-ordinari è stata difficile da stabilire utilizzando i precedenti metodi di classificazione.

Metodologia
L'autore impiega una strategia distinta rispetto ai lavori precedenti sulle varietà abeliane ordinarie e quasi-ordinate, i quali si basavano sulla classificazione delle varietà tramite sollevamenti CM canonici a caratteristica zero:

1. Iniettività della Riduzione: L'articolo stabilisce innanzitutto che la mappa di riduzione dalla classe di isogenia di un sollevamento $\tilde{A}$ su un'estensione non ramificata di $\mathbb{Q}_p$ (specificamente $L' = W(k)[1/p]$) alla classe di isogenia della sua riduzione $A$ su $\mathbb{F}_q$ è iniettiva, a condizione che i sollevamenti condividano lo stesso tipo CM. Ciò si basa sulla teoria di Grothendieck-Messing e sulla classificazione dei gruppi schemi piatti finiti (sistemi di Honda di Fontaine) per dimostrare che gli ordini degli endomorfismi si preservano sotto riduzione per sollevamenti non ramificati.

2. Condizioni Locali sugli Anelli di Endomorfismi: L'autore definisce un ordine specifico $R_n \subset K$ caratterizzato da condizioni locali:

   • $R_n$ contiene $\mathbb{Z}[\alpha^n, (q/\alpha)^n]$.
   • $R_n$ è massimale in $p$ (specificamente $R_n \otimes \mathbb{Z}_p \cong \mathcal{O}_{K'} \oplus \mathcal{O}_{K'}$).
   • Per i primi $l \neq p$, $R_n$ è il più piccolo possibile, ovvero $R_n \otimes \mathbb{Z}_l \cong \mathbb{Z}_l[\alpha^n]$.
     Si dimostra che le varietà abeliane con questo specifico anello di endomorfismi $R_n$ discendono a $\mathbb{F}_{q^n}$.

3. Conteggio tramite Classi di Ideali: Il problema di contare le classi di isomorfismo di varietà abeliane con anello di endomorfismi $R_n$ viene ridotto al conteggio del gruppo di classi degli ideali $\text{Cl}(R_n)$. Viene costruita un'iniezione da $\text{Cl}(R_n)$ all'insieme delle classi di isogenia su $L'$.

4. Stima Asintotica: La dimensione del gruppo di classi $|\text{Cl}(R_n)|$ viene stimata utilizzando la formula del numero di classe analitico. Ciò comporta il calcolo del discriminante dell'ordine $R_n$ e dell'indice $[\mathbb{Z}[\alpha^n] : R_n]$. L'autore utilizza argomenti di equidistribuzione (criterio di Weyl) per mostrare che, per un insieme di $n$ con densità naturale positiva, i termini trigonometrici nella formula del discriminante sono limitati lontano dallo zero, permettendo una stima asintotica precisa.

5. Polarizzazione: Infine, il conteggio è ristretto alle varietà abeliane principalmente polarizzate. Ciò viene ottenuto analizzando il nucleo della mappa di norma dal gruppo di classi di $R_n$ al gruppo di classi stretto del suo sottordine totalmente reale massimo. L'esistenza di varietà principalmente polarizzate nel nucleo è stabilita usando i duali della traccia e le proprietà del numero di Weil.

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema del Limite Inferiore: L'articolo dimostra un limite inferiore per la dimensione della classe di isogenia per un insieme di interi positivi $n$ con densità naturale positiva:
  $$|I(A, \mathbb{F}_{q^n})| \ge q^{n \left( \frac{(g+1)(g-2)}{4} + 1 + o(1) \right)}$$
  Qui, il termine $1$ tiene conto della dimensione della foglia di isogenia, e $\frac{(g+1)(g-2)}{2}$ corrisponde alla dimensione della foglia centrale (divisa per 2 nell'esponente a causa della natura del conteggio).

• Congettura di Precisione: Basandosi sulla dimensione attesa delle classi di isogenia derivata dalle dimensioni dello strato di Newton e della foglia centrale, l'autore congettura che questo limite inferiore sia preciso, ovvero che la dimensione sia asintoticamente uguale al limite.

• Spostamento Metodologico: L'articolo dimostra che per le varietà di tipo Lubin-Tate, è possibile bypassare la difficoltà di trovare sollevamenti CM canonici contando in caratteristica zero e facendo affidamento sull'iniettività della mappa di riduzione per varietà con specifici ordini di endomorfismi. Questo contrasta con i teoremi di classificazione utilizzati per i casi ordinari.

Significatività e Rivendicazioni
L'autore afferma che questo lavoro estende la comprensione delle dimensioni delle classi di isogenia al caso Lubin-Tate, uno specifico strato di Newton non ordinario dove i precedenti metodi basati sulla classificazione erano insufficienti. Il risultato è in linea con le aspettative euristiche derivate dalla geometria dello strato di Newton (specificamente le dimensioni della foglia centrale e della foglia di isogenia).

L'articolo non pretende di risolvere il problema generale per tutti gli strati di Newton o di fornire un limite superiore per il caso Lubin-Tate (notando che trovare un limite superiore tramite la parametrizzazione del gruppo di classi di ordini non massimali rimane "fuori portata"). Invece, fornisce un limite inferiore rigoroso che corrisponde alla previsione euristica, suggerendo che l'euristica sia probabilmente corretta per questa classe di varietà abeliane. Il lavoro generalizza inoltre la strategia di contare in caratteristica zero ad altri strati non ordinari, a condizione che si possa controllare le foglie centrali.