The Ranking-Selberg integral on ${\bf GSp(2)}$ for square free levels

1. Enunciato del Problema e Contesto

Il lavoro affronta il calcolo esplicito di un integrale di tipo Rankin-Selberg introdotto da Piatetski-Shapiro per forme cuspidali di Siegel a valori vettoriali di livello senza fattori quadrati $\Gamma_0(N)$ sul gruppo delle similitudini simplettiche $G = GSp(2)$.

• Motivazione: I periodi di Bessel su $GSp(2)$ sono centrali nell'aritmetica delle forme modulari di Siegel, in particolare nel contesto della congettura di Böcherer (rifinita da Liu e risolta da Furusawa-Morimoto). Questa congettura mette in relazione i periodi di Bessel con i valori speciali delle funzioni $L$.
• Obiettivo Specifico: Gli autori mirano a calcolare la media del prodotto scalare tra una serie di Eisenstein $E(s, \Lambda, \mu)$ e forme cuspidali di Siegel $\phi$, pesata dai loro periodi di Bessel. Nello specifico, investigano il comportamento asintotico di questa media quando il livello $N$ (un intero senza fattori quadrati) tende all'infinito, mentre il peso $l$ rimane fissato.
• Applicazione Target: Questi risultati sono fondamentali per un prossimo articolo [20] in cui gli autori intendono analizzare il lato geometrico di una formula delle tracce relativa. Un requisito critico è dimostrare che le "forme antiche", i "sollevamenti di Yoshida" e i "sollevamenti di Saito-Kurokawa" contribuiscono in modo trascurabile (svaniscono asintoticamente) a questa media, isolando il contributo delle forme di "tipo generale".

2. Metodologia

Gli autori impiegano un metodo locale-globale, combinando la teoria automorfa globale con calcoli locali espliciti.

A. Impostazione Globale

1. Integrale di Rankin-Selberg: Definiscono l'integrale $\langle E(s, \Lambda, \mu), \phi \rangle$ sul quoziente adelico di un sottogruppo $G^\#$ associato a un campo quadratico immaginario $E$.
2. Identità di Base: Utilizzando un lemma di Piatetski-Shapiro, relazionano questo prodotto scalare globale alla trasformata di Mellin della funzione di Bessel globale $B_{T_\theta, \Lambda}(\phi)$.
3. Decomposizione: Il periodo di Bessel globale viene decomposto in un prodotto di Eulero di funzioni di Bessel locali. Ciò si basa sul teorema di molteplicità uno locale per i modelli di Bessel.
4. Nuove Forme: Definiscono una "nuova forma" $\phi_\pi^0$ per ogni rappresentazione automorfa $\pi$ fissando un sistema di dati di Bessel locali $(\ell_p, \xi_p)$, dove $\ell_p$ è un funzionale di Bessel locale e $\xi_p$ è un vettore nuovo locale, normalizzato in modo tale che $\ell_p(\xi_p)=1$.

B. Calcoli Locali (Il Lavoro Tecnico Centrale)

Il lavoro fornisce valutazioni esplicite di integrali zeta locali per vari tipi di rappresentazioni irriducibili ammissibili di $G(\mathbb{Q}_p)$.

• Rappresentazioni: Si concentrano su rappresentazioni di Tipo I, IIb, IIIa e VIb (classificazione di Schmidt/Atobe), che corrispondono alle componenti locali di forme globali con livello senza fattori quadrati.
• Funzioni di Test: Utilizzano specifiche funzioni di Schwartz-Bruhat e vettori di Bessel (spesso vettori nuovi o vettori fissi sotto sottogruppi di congruenza $K_0(p)$).
• Casi Coperti:
  • Casi non ramificati: Calcoli standard.
  • Casi ramificati: Calcoli espliciti per rappresentazioni con conduttore non banale, inclusi casi in cui il carattere $\Lambda$ o il livello $N$ introducono ramificazione.
  • Forme antiche: Calcoli per rappresentazioni che non sono nuove in un primo $p$ (Tipo I e IIb con carattere centrale banale).
  • Nuove forme: Calcoli per nuove forme di Tipo IIIa e VIb.
• Periodi di Gross-Prasad: Nella Sezione 7, calcolano un periodo locale specifico per caratteri ramificati, estendendo risultati precedenti di Dickson et al. al contesto ramificato.

3. Contributi Chiave e Risultati

A. Formula Esplicita per la Media (Teorema 5.2 e 5.3)

Gli autori derivano una formula completamente esplicita per la media spettrale $I(s)(\lambda, N, f_S)$. Il risultato esprime la media in termini di:

1. Funzioni L spinor: $L(s, \pi, \mu)$ twistate da un carattere $\mu$.
2. Coefficienti di Fourier: Una quantità $R(\phi_\pi^0, E, \Lambda)$, che è una media dei coefficienti di Fourier della nuova forma sul gruppo delle classi di raggi di $E$.
3. Periodi Locali: Fattori espliciti $t(\pi_p, \mu_p)$ derivanti dagli integrali zeta locali.

Raffinano questa formula separando la somma sulle rappresentazioni automorfe in sottoinsiemi disgiunti:

• Tipo Generale ($G$): Forme non derivanti da sollevamenti.
• Sollevamenti di Yoshida ($Y$): Sollevamenti da coppie di forme $GL(2)$.
• Sollevamenti di Saito-Kurokawa ($SK$): Sollevamenti da forme $PGL(2)$.
• Forme Antiche: Forme indotte da livelli inferiori.

B. Risultati di Svanimento Asintotico (Teorema 5.4)

Un contributo maggiore è la dimostrazione che, al tendere di $N \to \infty$ (con $N$ primo e inerte in $E$):

• Il contributo delle forme antiche decade come $O(N^{-8})$.
• Il contributo dei sollevamenti di Yoshida decade come $O(N^{-3/2})$.
• Il contributo dei sollevamenti di Saito-Kurokawa svanisce (o decade come $O(N^{-3/2})$ a seconda di $\mu$).
• Di conseguenza, la media è dominata dalle forme di tipo generale.

C. Equazioni Funzionali e Fattori Locali

• Derivano l'equazione funzionale per la funzione L spinor twistata $L(s, \pi, \mu)$ direttamente dall'integrale di Rankin-Selberg, confermando che i fattori locali definiti da Piatetski-Shapiro coincidono con quelli presenti in letteratura (es. [38]).
• Forniscono formule esplicite per i fattori $\epsilon$ locali e i periodi locali per tutti i tipi rilevanti di rappresentazioni, inclusi i difficili casi ramificati.

4. Significato

1. Risoluzione di Ostacoli Tecnici: Il lavoro colma una lacuna critica nella letteratura fornendo calcoli locali espliciti per forme a valori vettoriali e caratteri ramificati. Lavori precedenti (es. [7]) gestivano prevalentemente forme a valori scalari o casi non ramificati.
2. Fondamento per le Formule delle Tracce: I risultati sono essenziali per il prossimo lavoro degli autori sulla formula delle tracce relativa. Dimostrando che i contributi "cattivi" (forme antiche, sollevamenti) svaniscono asintoticamente, validano l'uso di questa specifica media per isolare il contributo spettrale delle forme di tipo generale, necessario per dimostrare limiti di subconvessità o risultati di non annullamento per i valori $L$.
3. Verifica di Congetture: Le formule esplicite servono come verifica rigorosa della congettura raffinata di Gan-Gross-Prasad nel contesto delle forme modulari di Siegel, estendendo la portata ai livelli senza fattori quadrati e alle forme a valori vettoriali.
4. Kit di Strumenti Computazionali: Le tabelle dettagliate e le formule per gli integrali zeta locali (Sezioni 6 e 7) forniscono un prezioso riferimento per i futuri ricercatori che lavorano su forme automorfe su $GSp(2)$ e gruppi correlati.

In sintesi, Kuga e Tsuzuki forniscono un'analisi rigorosa, esplicita e asintotica degli integrali di Rankin-Selberg per forme cuspidali di Siegel, colmando il divario tra la teoria astratta delle rappresentazioni automorfe e le concrete applicazioni aritmetiche che coinvolgono funzioni $L$ e periodi di Bessel.