Embedded Model Form Uncertainty Quantification with Measurement Noise for Bayesian Model Calibration

Titolo

Quantificazione del Bias del Modello Incorporato con Rumore di Misura per la Calibrazione Bayesiana dei Modelli

1. Il Problema

La calibrazione dei modelli computazionali basata su dati reali è fondamentale per garantire l'accuratezza delle simulazioni di sistemi fisici (es. Digital Twins). Tuttavia, due fonti principali di incertezza complicano questo processo:

1. Rumore di misura: Errori casuali nei dati osservati.
2. Inadeguatezza del modello (Model Discrepancy/Bias): La differenza sistematica tra il modello computazionale (basato su semplificazioni) e la realtà fisica.

I metodi bayesiani classici spesso falliscono quando il modello è imperfetto: le distribuzioni posteriori dei parametri tendono a collassare su valori puntuali (distribuzioni Dirac-delta), producendo previsioni "troppo sicure" (overconfident) che non riescono a rappresentare i dati osservati. Inoltre, le tecniche tradizionali di correzione esterna (come il framework di Kennedy e O'Hagan) aggiungono un termine di errore ai risultati del modello, ma questo termine non può essere propagato in modo affidabile ad altre Quantità di Interesse (QoI) calcolate con lo stesso modello, limitando l'analisi di affidabilità.

2. Metodologia

Il paper propone un approccio di calibrazione bayesiana con incorporamento (embedding) dell'incertezza del modello direttamente nei parametri latenti, combinato con una gestione rigorosa del rumore di misura.

A. Incorporamento dell'Inadeguatezza del Modello (Embedded Approach)

Invece di aggiungere un termine di errore all'output del modello, l'approccio proposto tratta i parametri deterministici $\theta$ come variabili aleatorie $\tilde{\theta}$.

• Rappresentazione Esplicita: Si definisce $\tilde{\theta} = \theta_m + \delta(\theta_b)$, dove $\theta_m$ è la parte deterministica e $\delta$ è un vettore aleatorio a media zero (es. distribuzione normale) controllato da parametri $\theta_b$ che ne definiscono la varianza.
• Vantaggio: Questa rappresentazione è più interpretabile rispetto all'uso di Espansioni del Caos Polinomiale (PCE) per i coefficienti, permettendo di identificare quali parametri specifici contribuiscono all'incertezza.
• Propagazione: L'incertezza viene propagata attraverso il modello forward utilizzando PCE per ottenere risposte stocastiche senza campionamento diretto di $\tilde{\theta}$ ad ogni iterazione.

B. Formulazione delle Funzioni di Verosimiglianza (Likelihood)

Poiché l'output del modello è stocastico, le funzioni di verosimiglianza gaussiane classiche non sono direttamente applicabili. Il paper analizza e confronta quattro approcci, adattandoli per includere esplicitamente il rumore di misura ($\epsilon_{noise}$):

1. ABC (Approximate Bayesian Computation) con Rumore: Adatta il metodo ABC per confrontare le statistiche riassuntive (media e varianza) delle previsioni con i dati, includendo esplicitamente il rumore di misura nella funzione di verosimiglianza.
2. IN (Independent Normal) con Rumore: Adatta la likelihood gaussiana classica considerando la varianza predittiva totale (varianza del modello + rumore di misura).
3. GMM (Global Moment-matching) con Rumore: Nuova proposta. Tratta i residui normalizzati come campioni da una miscela gaussiana globale. Confronta i momenti globali (media e varianza dell'insieme dei residui) invece di adattarli punto per punto, riducendo la sensibilità agli outlier.
4. RGMM (Relative Global Moment-matching) con Rumore: Nuova proposta. Simile al GMM, ma normalizza i residui rispetto alla varianza predittiva locale. Questo approccio è particolarmente efficace per gestire l'eteroschedasticità (varianza non costante) e gli outlier.

C. Propagazione alle QoI

Un contributo chiave è la propagazione dell'intera distribuzione posteriore dei parametri (inclusi i parametri di inadeguatezza $\theta_b$) verso le QoI. A differenza degli approcci che usano solo stime puntuali (MAP), questo metodo genera distribuzioni complete per le QoI, permettendo di quantificare l'affidabilità delle previsioni anche per grandezze non direttamente osservate durante la calibrazione.

3. Risultati Sperimentali

L'approccio è stato testato su due casi studio:

Caso 1: Esempio Lineare Semplice

• Obiettivo: Valutare il comportamento delle diverse likelihoods sotto varie condizioni (rumore, offset, outlier).
• Risultati:
  • La likelihood ABC si è rivelata estremamente sensibile alla specificazione errata del rumore di misura e agli outlier, portando a stime distorte.
  • Le likelihoods GMM e RGMM hanno mostrato maggiore robustezza rispetto alla specificazione del rumore.
  • RGMM e IN hanno gestito meglio gli offset globali, mentre ABC ha sofferto di sovrapposizione (overfitting) sui punti specifici.
  • L'analisi della propagazione ha dimostrato che solo l'approccio con incorporamento riesce a generare distribuzioni di QoI che coprono i valori reali, mentre i modelli senza bias producono intervalli di confidenza troppo stretti e inaffidabili.

Caso 2: Simulazione Termica Transitoria in Calcestruzzo Armato

• Scenario: Calibrazione della diffusività termica di un modello isotropo (semplificato) basata su dati generati da un sistema reale con barre di armatura (modello bifasico). L'obiettivo è prevedere il flusso di calore cumulativo (QoI non osservata direttamente).
• Risultati:
  • L'incorporamento ha permesso di quantificare l'incertezza dovuta alla mancata conoscenza della posizione delle barre di armatura.
  • Tutte le likelihoods adattate hanno prodotto distribuzioni posteriori per la temperatura che coprivano i dati di test.
  • Per la QoI (calore cumulativo), le distribuzioni propagate hanno mostrato un'ampia incertezza che includeva il valore reale, a differenza del modello "senza bias" che produceva una previsione puntale errata di oltre 10 kJ con un intervallo di confidenza inesistente.
  • Le differenze tra le likelihoods (ABC, GMM, RGMM, IN) sono state minime in questo caso specifico, poiché il rumore era ben specificato, ma l'approccio di incorporamento si è dimostrato essenziale per la propagazione dell'incertezza.

4. Contributi Chiave

1. Rappresentazione Interpretabile: Sviluppo di un metodo di incorporamento esplicito dell'inadeguatezza del modello nei parametri, che facilita l'identificazione delle fonti di incertezza.
2. Gestione del Rumore di Misura: Analisi critica e correzione delle funzioni di verosimiglianza esistenti (in particolare ABC) per gestire esplicitamente il rumore di misura, evitando la sovrastima dell'incertezza del modello.
3. Nuove Likelihoods: Proposta e validazione di GMM e RGMM, che offrono maggiore robustezza contro la specificazione errata del rumore e la presenza di outlier rispetto ai metodi classici.
4. Propagazione Completa dell'Incertezza: Dimostrazione che propagare l'intera distribuzione posteriore (inclusi i parametri di bias) verso le QoI fornisce un'analisi di affidabilità superiore rispetto all'uso di stime puntuali.

5. Significato e Conclusioni

Il lavoro evidenzia che la scelta della funzione di verosimiglianza è critica quando si utilizzano modelli imperfetti con dati rumorosi. L'approccio proposto supera i limiti dei metodi di correzione esterna, permettendo di trasferire l'incertezza quantificata su parametri specifici a qualsiasi altra quantità calcolata con lo stesso modello.

Sebbene l'approccio comporti un costo computazionale maggiore (a causa della necessità di propagare distribuzioni stocastiche), è fondamentale per applicazioni critiche come i Digital Twins, dove la fiducia nelle previsioni e la corretta quantificazione del rischio sono essenziali. Il paper conclude che l'uso di likelihoods robuste come RGMM o GMM, combinate con l'incorporamento esplicito del bias, rappresenta un passo avanti significativo verso una quantificazione dell'incertezza più affidabile e realistica nei modelli ingegneristici complessi.