Investigation about a statement equivalent to Riemann Hypothesis (RH)

1. Il Problema

L'articolo affronta l'Ipotesi di Riemann (RH), che afferma che tutti gli zeri non banali della funzione zeta di Riemann $\zeta(s)$ giacciono sulla retta critica $\Re(s) = 1/2$.
Il paper si concentra su un'equivalenza nota (citata da [4]) secondo cui l'RH è vera se e solo se tutti i massimi locali della funzione $\xi(t) = \xi(1/2 + it)$ sono positivi e tutti i minimi locali sono negativi. L'obiettivo è dimostrare questa condizione analizzando il comportamento della fase e del "momento angolare" della funzione $\xi(s)$, utilizzando il prodotto di Eulero e la distribuzione dei numeri primi.

2. Metodologia

L'autore impiega un approccio multidisciplinare che combina analisi complessa, teoria dei numeri e un'analogia fisica (momento angolare). La metodologia si articola in tre fasi principali:

• Definizione del Momento Angolare Fittizio:
  Viene introdotta una quantità $L[\xi(s)]$ definita come il determinante della matrice formata dalle parti reale e immaginaria di $\xi(s)$ e delle loro derivate rispetto a $t$ (dove $s = 1/2 + \epsilon + it$).
  $$L[\xi(s)] := \det \begin{pmatrix} \Re\xi(s) & \Im\xi(s) \\ \frac{\partial}{\partial t}\Re\xi(s) & \frac{\partial}{\partial t}\Im\xi(s) \end{pmatrix} = |\xi(s)|^2 \frac{\partial \angle[\xi(s)]}{\partial t}$$
  L'autore dimostra che la condizione di validità dell'RH è legata alla derivata parziale di questo momento angolare rispetto a $\epsilon$ valutata sulla retta critica ($\epsilon=0$):
  $$\left[ \frac{\partial L[\xi(t, \epsilon)]}{\partial \epsilon} \right]_{\epsilon=0} = [\xi'(t)]^2 - \xi(t)\xi''(t) > 0$$

• Analisi tramite Prodotto di Eulero e Integrali di Li(x):
  L'autore esprime la variazione di fase di $\zeta(s)(s-1)$ utilizzando il prodotto di Eulero e trasformate di Mellin-Stieltjes. Viene derivata un'espressione per la variazione media di fase in un intervallo di $t$, collegandola alla differenza tra la funzione di conteggio delle potenze di primi $J(x)$ e l'integrale logaritmico $Li(x)$.
  Viene introdotta una formula chiave (Eq. 3.21/3.22) che rappresenta la derivata della fase come un integrale pesato:
  $$\frac{\Delta \Im[\ln\{\zeta(s)(s-1)\}]}{\Delta t} \approx -\frac{\ln(p^*)}{\pi} \int_{2}^{p_{max}} \frac{\cos(\ln(x)t)}{x^{1/2+\epsilon}} \sin\left(\frac{\pi \ln(x)}{\ln(p^*)}\right) d[J(x) - Li(x)]$$

• Dimostrazione della Convergenza e del Segno:
  Vengono dimostrati diversi lemmi (Lemma 1, 2, 2A, 2B, 3, 4) per stabilire:

  1. La convergenza assoluta delle serie e degli integrali derivati dal prodotto di Eulero anche per $\epsilon > 0$ (estendendo la validità oltre la regione di convergenza assoluta classica $\Re(s)>1$).
  2. Che il termine di resto $R(s, p_{max})$ nel prodotto di Eulero tende a zero quando $p_{max} \to \infty$.
  3. Che la derivata mista $\frac{\partial^2 \Im[\ln(\zeta(s)(s-1))]}{\partial \epsilon \partial t}$ è positiva per $\epsilon > 0$ e tende a un valore positivo per $\epsilon \to 0$.

3. Risultati Chiave

• Lemma 2 e Convergenza Estesa: Viene provato che l'espressione del prodotto di Eulero, combinata con l'integrale di $Li(x)$, converge per $\Re(s) > 1/2$ (e specificamente per $\epsilon > 0$), permettendo di analizzare la funzione nella striscia critica senza ricorrere all'ipotesi di convergenza assoluta classica.
• Lemma 4 e Positività: Viene dimostrato che la variazione della fase rispetto a $\epsilon$ e $t$ è tale che:
  $$\left\{ \frac{\partial^2 \angle[\zeta(s)(s-1)]}{\partial \epsilon \partial t} \right\}_{\epsilon=0} \geq 0$$
  Questo implica che il momento angolare $L[\xi(s)]$ cresce al variare di $\epsilon$ partendo da zero.
• Teorema 1 (Conclusione Principale):
  Combinando i risultati precedenti, l'autore conclude che per ogni $t$ tale che $\xi(t) \neq 0$:
  $$\left( \frac{d\xi(t)}{dt} \right)^2 - \xi(t) \frac{d^2\xi(t)}{dt^2} > 0$$
  Questa disuguaglianza è esattamente la condizione necessaria e sufficiente per l'equivalenza dell'Ipotesi di Riemann citata in [4]. Di conseguenza, l'autore afferma che gli zeri fuori dalla retta critica devono essere esclusi.

4. Contributi e Significato

• Nuova Via di Dimostrazione: Il paper propone una via alternativa per dimostrare l'RH, basata non solo sulle proprietà analitiche classiche, ma su un'interpretazione geometrica (momento angolare) e sulla struttura spettrale dei numeri primi.
• Spettro dei Numeri Primi: L'analisi evidenzia una connessione diretta tra le oscillazioni della fase di $\zeta(s)$ e la distribuzione delle potenze di primi. L'autore suggerisce che gli zeri di $\zeta(s)$ corrispondono ai picchi di correlazione tra la differenza $d[J(x) - Li(x)]$ e una funzione coseno pesata, definendo un "spettro dei primi".
• Validazione del Prodotto di Eulero nella Striscia Critica: Un contributo tecnico significativo è la dimostrazione (Lemma 2B) che il prodotto di Eulero può essere manipolato e utilizzato per studiare la funzione nella striscia critica ($\Re(s) > 1/2$) attraverso tecniche di convergenza condizionata e analisi del termine di resto, senza dover assumere a priori l'RH.
• Approccio Preliminare: L'autore riconosce che lo studio è una "proposta preliminare" e invita alla discussione critica, sottolineando che la realtà matematica è un "tessuto di fili logici" interconnessi.

Conclusione

Il paper di Lodone tenta di dimostrare l'Ipotesi di Riemann mostrando che la condizione sui massimi e minimi di $\xi(t)$ (equivalente all'RH) è una conseguenza naturale della positività della derivata del "momento angolare" della funzione, derivata a sua volta dalla struttura del prodotto di Eulero e dalla distribuzione dei numeri primi. Sebbene l'approccio sia innovativo e offra nuove prospettive sulla relazione tra zeta e primi, la validità rigorosa di tali passaggi analitici richiederebbe una revisione da parte della comunità matematica, data la natura complessa e non convenzionale di alcune deduzioni (come la gestione del termine di resto nel prodotto infinito e la convergenza estesa).