Isolated points on modular curves

1. Il Problema

Il lavoro si concentra sullo studio dei punti isolati sulle curve modulari $X_H$, dove $H$ è un sottogruppo di $GL_2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ (o equivalentemente un sottogruppo aperto di $GL_2(\widehat{\mathbb{Z}})$).
Un punto su una curva definita su un campo di numeri $k$ è detto "isolato" se non appartiene a famiglie infinite di punti dello stesso grado generate da:

• Parametrizzazioni $\mathbb{P}^1$: Punti che provengono dal pullback di punti razionali su $\mathbb{P}^1$ tramite una mappa di grado $d$.
• Parametrizzazioni AV (Abelian Variety): Punti che provengono da punti razionali su una varietà abeliana di rango positivo contenuta nella varietà di Jacobi della curva.

Secondi il teorema di Faltings e i risultati successivi di Bourdon et al., su una curva geometricamente irriducibile, i punti che non rientrano in queste due categorie sono in numero finito. L'obiettivo del paper è classificare questi punti isolati su famiglie generali di curve modulari, andando oltre i casi specifici precedentemente studiati come $X_1(n)$.

2. Metodologia

L'autore sviluppa un approccio sistematico basato su tre pilastri fondamentali:

A. Teoria dei Divisori Isolati su Varietà Geometricamente Disconnesse

Poiché le curve modulari $X_H$ possono essere geometricamente disconnesse (a differenza delle curve classiche come $X_1(n)$ che sono spesso connesse), l'autore estende la teoria dei punti isolati ai divisori isolati su varietà geometricamente riducibili.

• Si definiscono i divisori isolati come quelli che non sono né $\mathbb{P}^1$-parametrizzati né AV-parametrizzati.
• Si utilizza la fattorizzazione di Stein ($X \to \text{Spec } K \to \text{Spec } k$) per collegare il comportamento dei divisori su $X$ (disconnessa) a quello sulla sua componente geometricamente intera $X_K$.
• Si dimostrano teoremi di mappatura per i divisori isolati sotto morfismi finiti (pullback e pushforward), generalizzando i risultati noti per le curve connesse.

B. Il Teorema "Single-Sink" (Unico Pozzo)

Il risultato centrale è il Teorema 1.1 (Single-sink theorem). Esso stabilisce che per ogni punto isolato non-CM (senza moltiplicazione complessa) $x$ su una curva modulare $X_H$ con invariante $j$-fissato, esiste un'unica curva modulare "destinazione" $X_G$ (dove $G$ è l'immagine della rappresentazione di Galois adelicica dell'ellittica associata a $j$) che contiene un punto isolato $y$ con lo stesso invariante $j$.

• Implicazione: L'esistenza di punti isolati con un dato $j$ su qualsiasi curva modulare può essere ricondotta alla ricerca di punti isolati su una singola curva $X_G$ determinata esclusivamente da $j$.

C. Strategia di Classificazione Uniforme

Sulla base del teorema precedente, l'autore propone un algoritmo in tre fasi per classificare i punti isolati su una famiglia di curve:

1. Restrizione degli invarianti $j$: Utilizzando generalizzazioni del teorema single-sink, si restringe l'insieme infinito degli invarianti $j$ possibili a un sottoinsieme finito $J'$, sfruttando le proprietà dei gruppi di Galois.
2. Restrizione delle curve: Per ogni $j \in J'$, si riduce l'insieme delle curve modulari da considerare a un sottoinsieme finito $S_j$ di curve di livello limitato, utilizzando teoremi "duali" che mappano i punti isolati su curve di livello arbitrario verso curve di livello fissato.
3. Verifica computazionale: Si esaminano le coppie $(j, X)$ rimanenti per determinare l'isolamento dei punti, spesso utilizzando modelli espliciti e calcoli di rango Mordell-Weil.

3. Contributi Chiave

• Generalizzazione Teorica: Estensione della teoria dei punti isolati a curve modulari generiche $X_H$ e a varietà geometricamente disconnesse, introducendo il concetto di "divisore isolato".
• Teorema Single-Sink: Una potente riduzione che trasforma un problema su un'universo infinito di curve in un problema su una singola curva specifica per ogni invariante $j$.
• Strategia Computazionale Unificata: Un metodo sistematico che permette di trattare famiglie diverse ($X_0(n)$, $X_s(p)$, ecc.) senza dover riscrivere la teoria per ogni caso specifico.
• Analisi dei Grafi di Isolamento: Introduzione di un "grafo di isolamento" per tracciare le relazioni tra punti isolati su curve diverse tramite morfismi, permettendo di identificare i "nodi terminali" (sink) che determinano l'isolamento di tutti gli altri.

4. Risultati Principali

L'autore applica la metodologia a due casi di studio significativi:

A. Curve Modulari di Livello 7

Viene effettuata una classificazione completa dei punti isolati non-CM con invariante $j$ razionale su tutte le curve modulari di livello 7.

• Risultato: Esiste un unico invariante $j$ razionale possibile per tali punti:
  $$j = \frac{3^3 \cdot 5 \cdot 7^5}{2^7}$$
• Classificazione: Sono stati identificati 9 classi di coniugazione di sottogruppi $H$ di $GL_2(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})$ che ammettono tali punti isolati. Il punto isolato fondamentale risiede sulla curva $X(7)$ (grado 18) e genera punti isolati su altre curve di livello 7 tramite le mappe del grafo di isolamento.

B. Curve Modulari $X_0(n)$

Viene presentata una classificazione condizionale dei punti isolati non-CM con invariante $j$ razionale sulle curve $X_0(n)$, assumendo la Congettura 7.4 di Zywina sulle immagini delle rappresentazioni di Galois.

• Risultato: L'insieme degli invarianti $j$ possibili è finito e contenuto in una lista esplicita di 14 valori (inclusi $-121, -24729001, -25/2, \dots$).
• Dettaglio: Per ogni invariante $j$ nella lista, è stata identificata la curva $X_0(n)$ di livello minimo che contiene un punto isolato con tale invariante. Ad esempio, per $j=-121$, il punto isolato si trova su $X_0(11)$.
• Nota: A differenza del caso di livello 7, qui non si ottiene una classificazione completa di tutti i punti (poiché non si sa quanti volte un $j$ appaia su curve di livello superiore), ma solo l'insieme degli invarianti $j$ possibili.

5. Significato e Impatto

• Unificazione: Il lavoro fornisce un quadro teorico unificato che supera la frammentazione degli studi precedenti, che si erano concentrati quasi esclusivamente su $X_1(n)$.
• Collegamento con il Programma B di Mazur: Il teorema single-sink crea un ponte diretto tra la classificazione delle immagini delle rappresentazioni di Galois (Programma B di Mazur) e la classificazione dei punti isolati. Conoscere l'immagine di Galois permette di determinare immediatamente se esistono punti isolati per un dato $j$.
• Nuovi Strumenti Geometrici: La teoria dei divisori isolati su varietà disconnesse offre nuovi strumenti per lo studio delle proprietà aritmetiche di varietà di dimensione superiore o non connesse, con potenziali applicazioni future al di fuori delle curve modulari.
• Rarezza dei Punti Isolati: I risultati confermano l'ipotesi che i punti isolati siano eventi rari; per la maggior parte degli invarianti $j$ razionali, non esistono punti isolati su nessuna curva modulare.

In sintesi, il paper rappresenta un avanzamento significativo nella teoria delle curve modulari, fornendo sia strumenti teorici profondi (teorema single-sink, teoria dei divisori) che risultati concreti di classificazione per famiglie di curve precedentemente poco esplorate.