Bilinear secants and birational geometry of blowups of $\mathbb P^n \times \mathbb P^{n+1}$

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si concentra sulla geometria birazionale delle varietà ottenute come blow-up (sopraelevazioni) di prodotti di spazi proiettivi $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$ in un insieme di $s$ punti in posizione generale.
Il problema centrale è determinare quali di queste varietà possiedano buone proprietà di finitezza, in particolare se siano spazi di Mori (Mori dream spaces) o varietà log Fano.

• Stato dell'arte: Per i blow-up di un singolo spazio proiettivo $\mathbb{P}^n$ o di prodotti di spazi di uguale dimensione $(\mathbb{P}^n)^k$, la classificazione è completa (grazie a lavori di Mukai, Castravet-Tevelev, Araujo-Massarenti, Lesieutre-Park). In questi casi, la proprietà di essere log Fano è equivalente a quella di essere uno spazio di Mori.
• Il caso aperto: Per prodotti di spazi di dimensioni disuguali ($n \neq m$), la situazione è meno chiara. In particolare, per $X_{n,m}^s$ (blow-up di $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$ in $s$ punti), se $n \ge 5$ e $s \ge n+4$, la varietà non è uno spazio di Mori. I casi aperti principali per $n \ge 5$ sono $s = n+2$ e $s = n+3$.
• Obiettivo specifico: Gli autori studiano il caso $X_{n,n+1}^s$, ovvero il blow-up di $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^{n+1}$ in $s$ punti, concentrandosi sui casi $s = n+2$ e $s = n+3$.

2. Metodologia

Gli autori combinano tecniche di geometria birazionale classica con nuove costruzioni geometriche specifiche per i prodotti di spazi proiettivi:

1. Introduzione delle Varietà Secanti Bilineari:

   • Generalizzano le varietà secanti classiche e i "join" (unione di rette) per sottovarietà di prodotti di spazi proiettivi.
   • Definizione di Bilinear Span ($BL$) e Bilinear Join ($BJ$) per punti o sottovarietà in $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$.
   • Dimostrano che le varietà secanti bilineari della "curva razionale distinta" (definita di seguito) possono essere descritte come varietà determinantal.

2. La Curva Razionale Distinta:

   • Per $s = n+3$ punti in posizione generale in $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^{n+1}$, esiste una unica curva razionale liscia di bidegno $(n, n+1)$ che passa per tutti i punti. Questa è l'analogo della curva normale razionale in $\mathbb{P}^n$ passante per $n+3$ punti.
   • Le varietà secanti bilineari di questa curva giocano un ruolo analogo a quello delle varietà secanti della curva normale razionale nello studio del blow-up di $\mathbb{P}^n$.

3. Il Metodo del Cono (Cone Method):

   • Utilizzano una tecnica sviluppata in lavori precedenti (con Grange) per calcolare i coni effettivi e mobili.
   • Il metodo si basa sull'identificazione di disuguaglianze di luogo base (base locus inequalities). Queste disuguaglianze forniscono limiti inferiori per la molteplicità con cui certe sottovarietà (come eccezionali, pull-back di iperpiani, o le nuove varietà secanti bilineari) devono essere contenute nel luogo base di un divisore efficace.

4. Verifica della Proprietà Log Fano:

   • Costruiscono esplicitamente una coppia $(X, \Delta)$ dove $\Delta$ è un divisore efficace.
   • Dimostrano che $-(K_X + \Delta)$ è ampio e che la coppia è klt (Kawamata log terminal), calcolando le discrepanze su una risoluzione logaritmica ottenuta tramite una sequenza di blow-up lungo sottovarietà specifiche (intersezioni di fibre e varietà secanti).

3. Risultati Principali

Caso $s = n+2$ (Teorema 5.4)

• Proprietà Log Fano: La varietà $X_{n,n+1}^{n+2}$ è log Fano per ogni $n \ge 1$. Di conseguenza, è uno spazio di Mori.
• Coni Effettivo e Mobile:
  • Il cono effettivo è generato da:
    1. Divisori eccezionali $E_i$.
    2. Pull-back di iperpiani fissi dai due fattori (es. $H_1 - \sum E_i$).
    3. Pull-back di iperpiani fissi dal secondo fattore (es. $H_2 - \sum E_i$).
  • Il cono mobile è descritto da un sistema di disuguaglianze lineari.
• Struttura: I generatori estremali del cono effettivo sono di due tipi classici (eccezionali e pull-back), analogamente al caso di $\mathbb{P}^n$ blow-up in $n+2$ punti.

Caso $s = n+3$ (Casi $n=2$ e $n=3$)

Questo caso introduce nuove complessità dovute alla presenza della curva distinta e delle sue varietà secanti bilineari.

• Caso $X_{2,3}^5$ (Teorema 6.3 e 6.6):

  • Log Fano: La varietà è log Fano.
  • Nuovi Generatori: Oltre ai divisori eccezionali e ai pull-back, il cono effettivo include la varietà secante bilineare $BS_2(C)$ della curva distinta $C$.
  • Struttura del Cono: Le raggi estremali includono anche certi fasci di bidegno $(1,1)$, che non sono semplicemente pull-back o eccezionali.
  • Dimostrazione: Viene costruita una risoluzione logaritmica esplicita per verificare la condizione klt.

• Caso $X_{3,4}^6$ (Teorema 7.3):

  • Viene calcolato il cono effettivo.
  • Le varietà secanti bilineari $BS_2(C)$ non sono più divisori (hanno codimensione > 1), ma i loro join bilineari con punti o fibre diventano divisori estremali.
  • Vengono introdotti nuovi divisori fissi, come i coni quadrici pull-back ($Q_i$) e i join bilineari tra la curva e punti ($D_i$).

Risultati Generali e Congetture

• Cono Effettivo per $s=n+3$: Gli autori ipotizzano che per $n$ arbitrario, il cono effettivo di $X_{n,n+1}^{n+3}$ sia generato da:
  1. Divisori eccezionali.
  2. Pull-back di classi estreme dai fattori.
  3. Divisori "BSJ" (Bilinear Secant and Join): join bilineari tra la curva distinta e punti, che generano nuovi divisori fissi.
  4. Il cono mobile.
• Domande Aperte:
  • $X_{n,n+1}^{n+3}$ è log Fano per ogni $n \ge 1$? (Sì per $n=1,2$, aperto per $n \ge 3$).
  • Quali blow-up con $s \ge n+4$ in dimensioni piccole (es. $X_{2,3}^6, X_{3,4}^7$) sono spazi di Mori?

4. Significato e Contributi Chiave

1. Generalizzazione delle Costruzioni Classiche: L'introduzione delle varietà secanti bilineari e dei join bilineari fornisce un nuovo strumento potente per analizzare la geometria birazionale dei prodotti di spazi proiettivi, estendendo il ruolo delle varietà secanti classiche.
2. Nuovi Fenomeni Geometrici: Il lavoro dimostra che per $s=n+3$, la geometria birazionale non è più dominata solo dai divisori eccezionali e dai pull-back, ma richiede l'inclusione di varietà secanti bilineari e dei loro join come generatori estremali del cono effettivo. Questo rompe l'analogia diretta con il caso di $\mathbb{P}^n$ dove tali oggetti non appaiono come generatori estremali nello stesso modo.
3. Calcolo Esplicito dei Coni: Fornisce una descrizione completa e computazionale (tramite il software Normaliz) dei coni effettivi e mobili per casi specifici ma significativi ($X_{2,3}^5$ e $X_{3,4}^6$), fornendo dati concreti per la classificazione degli spazi di Mori in prodotti di dimensioni disuguali.
4. Struttura Log Fano: La dimostrazione che $X_{2,3}^5$ è log Fano, nonostante la complessità del cono effettivo, conferma che la proprietà log Fano può persistere anche in presenza di strutture geometriche più ricche rispetto al caso torico o ai prodotti di spazi uguali.

In sintesi, il paper stabilisce un ponte fondamentale tra la teoria classica delle varietà secanti e la geometria birazionale dei prodotti di spazi proiettivi, fornendo un quadro teorico e computazionale per comprendere la finitezza dei coni di divisors in queste varietà complesse.