Extracting average properties of disordered spin chains with translationally invariant tensor networks

Sintesi Tecnica: Estrazione delle Proprietà Medie di Catene di Spin Disordinate con Reti Tensoriali Invarianti per Traslazione

Enunciato del Problema
La simulazione di sistemi quantistici a molti corpi con disordine congelato presenta due sfide principali per i metodi delle reti tensoriali. In primo luogo, la mancanza di simmetria traslazionale impedisce l'applicazione diretta delle procedure standard di ottimizzazione a spazzata utilizzate negli algoritmi di Rinormalizzazione della Matrice di Densità (DMRG), richiedendo spesso un numero eccessivo di spazzate a causa di una distribuzione di entanglement inhomogenea. In secondo luogo, il calcolo di osservabili fisiche mediate sul disordine richiede tradizionalmente la simulazione di un gran numero di realizzazioni indipendenti del disordine, il che è computazionalmente proibitivo. Sebbene i recenti progressi abbiano affrontato l'ottimizzazione di singoli campioni tramite gruppi di rinormalizzazione numerici, la sfida di mediare in modo efficiente sulle configurazioni di disordine nel limite termodinamico rimane. Questo lavoro affronta il calcolo dei valori di aspettazione mediati sul disordine a temperatura finita per catene di spin casuali senza campionare esplicitamente le configurazioni di disordine.

Metodologia
Gli autori propongono un algoritmo basato su reti tensoriali che sfrutta l'invarianza statistica per traslazione—la condizione in cui la distribuzione di probabilità delle variabili di disordine è identica su tutti i siti del reticolo. La strategia fondamentale consiste nel rappresentare la matrice densità mediata sul disordine, $\rho = \sum_{\{R_n\}} [\prod_n P(R_n)] \rho_G[\{R_n\}]$, come un singolo Operatore Prodotto di Matrice (MPO) invariante per traslazione.

L'algoritmo procede come segue:

1. Introduzione di Ancilla: Per gestire il disordine, su ogni sito vengono introdotti qudit ancilla $|R_n\rangle$ di dimensione $N_D$ (il numero di possibili valori di disordine). Viene costruita un'Hamiltoniana invariante per traslazione $H = \sum_n h_n$, dove i termini locali $h_n$ agiscono come operazioni controllate: $h_n = \sum_{R_n} \tilde{h}_n[R_n] \otimes |R_n\rangle\langle R_n|$. Gli ancilla agiscono come controlli, selezionando il termine specifico dell'Hamiltoniana locale in base al valore del disordine.
2. Evoluzione nel Tempo Immaginario Modificata: L'algoritmo costruisce lo stato di Gibbs tramite evoluzione nel tempo immaginario utilizzando un approccio Time-Evolving Block Decimation (TEBD) modificato. Invece di evolvere semplicemente $e^{-\tau H}$, il metodo evolve un operatore non normalizzato $\tilde{\rho}(\tau) = N(\tau)e^{-\tau H}$. Qui, $N(\tau)$ è un operatore diagonale che agisce sugli ancilla e contiene le inverse delle funzioni di partizione $1/Z[\{R_n\}]$ per ogni configurazione di disordine. Questo garantisce che tracciando via gli spin fisici si ottenga una matrice identità sui qudit di disordine, preservando la corretta normalizzazione per la miscela di stati di Gibbs.
3. Normalizzazione e Inversione: Un passaggio critico consiste nell'aggiornare l'operatore di normalizzazione $N(\tau)$ ad ogni passo temporale. Ciò richiede l'inversione di un MPO $\Lambda$ derivato dalla traccia degli spin fisici. Poiché $\Lambda$ è vicino all'identità per piccoli passi temporali, gli autori impiegano un'ottimizzazione variazionale (una generalizzazione dell'algoritmo VOMPS) per trovare un'approssimazione MPO $\Lambda_M^{-1}$ a bassa dimensione di legame che massimizza la fedeltà con l'operatore identità.
4. Troncamento: Dopo l'aggiornamento della normalizzazione, l'MPO viene troncato a una dimensione di legame target $D$ utilizzando il troncamento standard dei valori di Schmidt. Il ciclo di evoluzione, aggiustamento della normalizzazione e troncamento viene ripetuto fino al raggiungimento della temperatura inversa target $\beta$. La matrice densità finale mediata sul disordine è ottenuta tracciando via i qudit ancilla.

Risultati Chiave
Il metodo è stato messo alla prova sul modello di Ising a campo trasverso casuale (RTFIM) vicino al suo punto critico di disordine infinito ($\delta=0$).

• Efficienza: L'algoritmo ha riprodotto con successo le proprietà medie del RTFIM con dimensioni di legame relativamente piccole (ordine $\sim 100$) fino a basse temperature.
• Scaling Critico: La lunghezza di correlazione $\xi$ estratta esibisce lo scaling dinamico attivato teoricamente previsto $\xi \sim (\ln \beta)^2$ caratteristico del punto fisso di disordine infinito. I risultati hanno mostrato convergenza rispetto alla dimensione di legame e alla dimensione del passo temporale.
• Distribuzione del Disordine: Variando il numero di valori discreti di disordine $N_D$, gli autori hanno confermato che lo scaling di $\xi$ dipende dalla varianza della distribuzione del disordine, in accordo con le previsioni teoriche.
• Regioni Rare: Analizzando le matrici di trasferimento di singole configurazioni di disordine (senza tracciare via gli ancilla), gli autori hanno estratto la distribuzione delle lunghezze di correlazione. Hanno osservato una coda pesante nella distribuzione, confermando la presenza di regioni rare. La lunghezza di correlazione tipica ($\xi_{typ} \approx 35.4$) è risultata significativamente più piccola della lunghezza di correlazione media ($\xi_{av} \approx 47.5$), in accordo con le aspettative teoriche per la fisica del disordine infinito.
• Comportamento di Fase: Risultati aggiuntivi hanno confermato la crescita algebrica della lunghezza di correlazione $\xi \sim 1/T^{\alpha(\delta)}$ sul lato ordinato della transizione, distinta dalla crescita esponenziale nei sistemi puliti.

Significato e Affermazioni
Il lavoro presenta una prova di principio secondo cui una miscela di stati di Gibbs corrispondenti a diverse configurazioni di disordine può essere rappresentata in modo efficiente come un singolo MPO invariante per traslazione. Gli autori affermano che il loro algoritmo TEBD modificato, che gestisce esplicitamente la normalizzazione tramite qudit ancilla e inversione variazionale, permette il calcolo diretto delle proprietà medie sul disordine a temperatura finita nel limite termodinamico senza campionamento esplicito.

Il lavoro dimostra che, nonostante l'incertezza teorica riguardo all'efficienza delle approssimazioni MPO per sistemi disordinati, tali approssimazioni esistono e possono catturare fisica non banale, inclusi lo scaling attivato e gli effetti delle regioni rare del punto fisso di disordine infinito. Gli autori notano che, mentre l'implementazione attuale utilizza la decomposizione di Suzuki-Trotter, futuri miglioramenti potrebbero utilizzare espansioni a cluster per ridurre gli errori del passo temporale. Identificano inoltre lo sviluppo di una formulazione variazionale per l'accesso diretto agli stati fondamentali mediati sul disordine come una direzione promettente per il lavoro futuro, distinta dai metodi di evoluzione adiabatica precedentemente utilizzati. Il codice per l'algoritmo è fornito come pacchetto open-source, DisorderKit.jl.