Extracting average properties of disordered spin chains with translationally invariant tensor networks

Resumo Técnico: Extração de Propriedades Médias de Cadeias de Spin Desordenadas com Redes de Tensores Invariantes por Translação

Declaração do Problema
Simular sistemas quânticos de muitos corpos com aleatoriedade congelada apresenta dois desafios principais para métodos de rede de tensores. Primeiro, a falta de simetria translacional impede a aplicação direta de procedimentos padrão de otimização por varredura usados em algoritmos de Renormalização de Matriz de Densidade (DMRG), frequentemente exigindo varreduras excessivas devido à distribuição inhomogênea de emaranhamento. Segundo, o cálculo de observáveis físicos médios sobre desordem tradicionalmente necessita simular um grande número de realizações independentes de desordem, o que é computacionalmente proibitivo. Embora progressos recentes tenham abordado a otimização de amostras individuais via grupos de renormalização numérica, o desafio de realizar uma média eficiente sobre configurações de desordem no limite termodinâmico permanece. Este trabalho aborda o cálculo de valores esperados médios sobre desordem a temperatura finita para cadeias de spin aleatórias sem amostragem explícita sobre configurações de desordem.

Metodologia
Os autores propõem um algoritmo baseado em rede de tensores que explora a invariância estatística translacional — a condição onde a distribuição de probabilidade das variáveis de desordem é idêntica em todos os sítios da rede. A estratégia central envolve representar a matriz de densidade média sobre desordem, $\rho = \sum_{\{R_n\}} [\prod_n P(R_n)] \rho_G[\{R_n\}]$, como um único Operador Produto de Matriz (MPO) invariante por translação.

O algoritmo procede da seguinte forma:

1. Introdução de Ancilas: Para lidar com a desordem, qudits ancila $|R_n\rangle$ de dimensão $N_D$ (o número de possíveis valores de desordem) são introduzidos em cada sítio. Um Hamiltoniano invariante por translação $H = \sum_n h_n$ é construído, onde termos locais $h_n$ atuam como operações controladas: $h_n = \sum_{R_n} \tilde{h}_n[R_n] \otimes |R_n\rangle\langle R_n|$. As ancilas atuam como controles, selecionando o termo Hamiltoniano local específico com base no valor da desordem.
2. Evolução Temporal Imaginária Modificada: O algoritmo constrói o estado de Gibbs via evolução temporal imaginária usando uma abordagem modificada de Decimação de Bloco Evolutivo no Tempo (TEBD). Em vez de simplesmente evoluir $e^{-\tau H}$, o método evolui um operador não normalizado $\tilde{\rho}(\tau) = N(\tau)e^{-\tau H}$. Aqui, $N(\tau)$ é um operador diagonal atuando nas ancilas que contém as inversas das funções de partição $1/Z[\{R_n\}]$ para cada configuração de desordem. Isso garante que o traço sobre os spins físicos resulte em uma matriz identidade nos qudits de desordem, preservando a normalização correta para a mistura de estados de Gibbs.
3. Normalização e Inversão: Uma etapa crítica envolve atualizar o operador de normalização $N(\tau)$ em cada passo de tempo. Isso requer a inversão de um MPO $\Lambda$ derivado do traço dos spins físicos. Como $\Lambda$ está próximo da identidade para passos de tempo pequenos, os autores empregam uma otimização variacional (uma generalização do algoritmo VOMPS) para encontrar uma aproximação $\Lambda_M^{-1}$ de MPO com baixa dimensão de ligação que maximize a fidelidade com o operador identidade.
4. Truncamento: Após atualizar a normalização, o MPO é truncado de volta para uma dimensão de ligação alvo $D$ usando truncamento padrão de valores de Schmidt. O ciclo de evolução, ajuste de normalização e truncamento é repetido até que a temperatura inversa alvo $\beta$ seja alcançada. A matriz de densidade média sobre desordem final é obtida traçando-se os qudits ancila.

Resultados Principais
O método foi testado no modelo de Ising com campo transversal aleatório (RTFIM) próximo ao seu ponto crítico de aleatoriedade infinita ($\delta=0$).

• Eficiência: O algoritmo reproduziu com sucesso propriedades médias do RTFIM com dimensões de ligação relativamente pequenas (ordem $\sim 100$) até baixas temperaturas.
• Escalonamento Crítico: O comprimento de correlação $\xi$ extraído exibe o escalonamento dinâmico ativado teoricamente previsto $\xi \sim (\ln \beta)^2$, característico do ponto fixo de aleatoriedade infinita. Os resultados mostraram convergência em relação à dimensão de ligação e ao tamanho do passo de tempo.
• Distribuição de Desordem: Ao variar o número de valores discretos de desordem $N_D$, os autores confirmaram que o escalonamento de $\xi$ depende da variância da distribuição de desordem, consistente com previsões teóricas.
• Regiões Raras: Ao analisar as matrizes de transferência de configurações individuais de desordem (sem traçar as ancilas), os autores extraíram a distribuição de comprimentos de correlação. Eles observaram uma cauda pesada na distribuição, confirmando a presença de regiões raras. O comprimento de correlação típico ($\xi_{typ} \approx 35.4$) foi encontrado significativamente menor que o comprimento de correlação médio ($\xi_{av} \approx 47,5$), em acordo com expectativas teóricas para física de aleatoriedade infinita.
• Comportamento de Fase: Resultados adicionais confirmaram o crescimento algébrico do comprimento de correlação $\xi \sim 1/T^{\alpha(\delta)}$ no lado ordenado da transição, distinto do crescimento exponencial em sistemas limpos.

Significado e Alegações
O artigo apresenta uma prova de princípio de que uma mistura de estados de Gibbs correspondentes a diferentes configurações de desordem pode ser eficientemente representada como um único MPO invariante por translação. Os autores afirmam que seu algoritmo TEBD modificado, que lida explicitamente com a normalização via qudits ancila e inversão variacional, permite o cálculo direto de propriedades médias sobre desordem a temperatura finita no limite termodinâmico sem amostragem explícita.

O trabalho demonstra que, apesar da incerteza teórica quanto à eficiência de aproximações MPO para sistemas desordenados, tais aproximações existem e podem capturar física não trivial, incluindo o escalonamento ativado e efeitos de regiões raras do ponto fixo de aleatoriedade infinita. Os autores notam que, embora a implementação atual use decomposição Suzuki-Trotter, melhorias futuras poderiam utilizar expansões de cluster para reduzir erros de passo de tempo. Eles também identificam o desenvolvimento de uma formulação variacional para acesso direto a estados fundamentais médios sobre desordem como uma direção promissora para trabalhos futuros, distinta dos métodos de evolução adiabática usados anteriormente. O código para o algoritmo é fornecido como um pacote de código aberto, DisorderKit.jl.