Multiplicity results for mixed local-nonlocal variable exponent problem involving singular and superlinear term

Titolo e Obiettivo

Il paper, intitolato "Multiplicity results for mixed local-nonlocal variable exponent problem involving singular and superlinear term", studia una classe di equazioni ellittiche quasilineari che combinano operatori locali e non locali con esponenti variabili. L'obiettivo principale è dimostrare l'esistenza di molteplici soluzioni positive per un problema che include sia una singolarità (termine con esponente negativo) sia un termine di crescita superlineare (sottocritico), in presenza di un parametro $\lambda$.

1. Formulazione del Problema

Il problema studiato, indicato come $(Q_\lambda)$, è definito su un dominio limitato $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ con frontiera di Lipschitz:

$$\begin{cases} -\Delta_{p(x)}u + (-\Delta)^s_{p(x)} u = \lambda a(x)u^{-\gamma(x)} + b(x)u^{r(x)-1}, & u > 0 \text{ in } \Omega, \\ u = 0 & \text{in } \mathbb{R}^N \setminus \Omega. \end{cases}$$

Componenti chiave:

• Operatore Locale: $\Delta_{p(x)}u = \text{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u)$, il $p(x)$-Laplaciano.
• Operatore Non Locale: $(-\Delta)^s_{p(x)} u$, la frazione $p(x)$-Laplaciana, definita come valore principale di Cauchy.
• Esponenti Variabili: $p(x, y)$ è una funzione continua simmetrica che governa la crescita degli operatori. Gli esponenti $\gamma(x)$ (singolarità) e $r(x)$ (superlinearità) sono funzioni continue.
• Termini:
  • $\lambda a(x)u^{-\gamma(x)}$: Termine singolare con $0 < \gamma(x) < 1$.
  • $b(x)u^{r(x)-1}$: Termine superlineare con crescita subcritica rispetto all'esponente critico di Sobolev $p^*(x)$.
  • $\lambda > 0$: Un parametro di controllo.

2. Contesto Teorico e Difficoltà

Il lavoro si inserisce nel quadro degli operatori misti (locali + non locali) e degli spazi con esponenti variabili, motivati da applicazioni in fisica (diffusione di popolazioni, fluidi elettroreologici, trasporto di calore anisotropo).
Le principali difficoltà tecniche affrontate sono:

1. Non differenziabilità: La presenza del termine singolare $u^{-\gamma(x)}$ rende il funzionale energetico associato non differenziabile (nemmeno nel senso di Gâteaux), impedendo l'uso diretto del teorema di punto critico standard.
2. Mancanza di invarianza di scala: La combinazione di operatori locali e non locali, unita agli esponenti variabili, rompe le simmetrie di scala tipiche dei casi a esponente costante.
3. Struttura del Manifold di Nehari: La presenza simultanea di singolarità e crescita superlineare altera significativamente la struttura dell'insieme di Nehari, richiedendo un'analisi fine delle mappe di fibrazione.

3. Metodologia

Gli autori adottano un approccio variazionale basato sul Metodo del Manifold di Nehari e sull'analisi delle Mappe di Fibrazione (Fibering Maps).

• Spazi Funzionali: Viene definito uno spazio di Banach $X_0$ appropriato, che è l'intersezione tra lo spazio di Sobolev con esponente variabile $W^{1,p(x)}_0(\Omega)$ e uno spazio di Sobolev frazionario con esponenti variabili $X$, dotato di una norma che combina le parti locale e non locale.
• Funzionale Energetico: Viene introdotto il funzionale $J_\lambda(u)$ associato al problema. Poiché non è differenziabile, si studia la sua restrizione al Manifold di Nehari $\mathcal{N}_\lambda = \{u \in X_0 \setminus \{0\} : \langle J'_\lambda(u), u \rangle = 0\}$.
• Decomposizione del Manifold: Il manifold $\mathcal{N}_\lambda$ viene decomposto in tre sottoinsiemi basati sulla derivata seconda della mappa di fibrazione $\phi_u(t) = J_\lambda(tu)$:
  • $\mathcal{N}^0_\lambda$: punti dove $\phi''_u(1) = 0$.
  • $\mathcal{N}^+_\lambda$: punti dove $\phi''_u(1) > 0$ (minimi locali).
  • $\mathcal{N}^-_\lambda$: punti dove $\phi''_u(1) < 0$ (massimi locali).
• Strumenti Analitici:
  • Teoria del Grado Topologico: Utilizzata per analizzare le proprietà di monotonia delle funzioni coinvolte negli esponenti variabili, superando la difficoltà della non costanza degli esponenti.
  • Iterazione di De Giorgi: Impiegata per stabilire la regolarità $L^\infty$ delle soluzioni deboli, adattando tecniche di localizzazione per gestire la natura mista dell'operatore.

4. Risultati Principali

Teorema 2.1 (Esistenza di Molteplici Soluzioni):
Sotto opportune ipotesi sugli esponenti e sui pesi $a(x), b(x)$, esiste una costante $\Lambda > 0$ tale che per ogni $\lambda \in (0, \Lambda)$, il problema $(Q_\lambda)$ ammette almeno due soluzioni positive deboli distinte.

• Una soluzione $u_0$ è ottenuta minimizzando il funzionale su $\mathcal{N}^+_\lambda$ (corrispondente a un minimo locale dell'energia, con energia negativa).
• Una seconda soluzione $v_0$ è ottenuta minimizzando il funzionale su $\mathcal{N}^-_\lambda$ (corrispondente a un punto di sella o massimo locale lungo le traiettorie, con energia positiva).
• Viene dimostrato che $\mathcal{N}^0_\lambda = \{0\}$ per $\lambda$ sufficientemente piccolo, garantendo che le soluzioni non siano degeneri.

Teorema 2.2 (Regolarità $L^\infty$):
Le soluzioni deboli positive ottenute sono limitate, ovvero appartengono a $L^\infty(\Omega)$, sotto condizioni specifiche sui pesi e sugli esponenti (in particolare riguardanti la relazione tra $r(x)$ e l'esponente critico di Sobolev). La prova utilizza l'iterazione di De Giorgi combinata con argomenti di localizzazione.

5. Contributi Chiave e Significato

1. Generalizzazione degli Esponenti: Questo lavoro è uno dei primi a trattare operatori misti (locali + non locali) con esponenti variabili in presenza di singolarità. Estende risultati noti per il caso a esponente costante (come quelli di Garain, Ukhlov, e altri) a un contesto molto più generale e complesso.
2. Gestione della Singolarità con Esponenti Variabili: La combinazione di un termine singolare $u^{-\gamma(x)}$ e di esponenti variabili richiede nuove stime e un'attenta analisi della struttura del manifold di Nehari, risolvendo la non differenziabilità del funzionale.
3. Nuovi Strumenti Analitici: L'uso della teoria del grado topologico per dimostrare la monotonia di funzioni con esponenti variabili rappresenta un contributo metodologico significativo per l'analisi non lineare in spazi con esponenti variabili.
4. Struttura delle Soluzioni: Il paper chiarisce come l'interazione tra il termine singolare e quello superlineare modifichi la geometria del funzionale energetico, permettendo l'esistenza di due soluzioni distinte per piccoli valori del parametro $\lambda$.

In conclusione, il paper fornisce un quadro teorico solido per lo studio di equazioni ellittiche miste con esponenti variabili, stabilendo risultati di esistenza multipla e regolarità che sono fondamentali per la comprensione di fenomeni fisici modellati da tali equazioni.