On p-Jordan constant of Cremona group of rank 2 in odd characteristic

1. Il Problema

Il lavoro si inserisce nel contesto della teoria dei gruppi algebrici e della geometria birazionale, focalizzandosi sulla proprietà di Jordan per i gruppi finiti.

• Teorema di Jordan Classico: In caratteristica zero, ogni sottogruppo finito di $GL_n(k)$ contiene un sottogruppo abeliano normale di indice limitato da una costante $J(n)$ che dipende solo da $n$.
• Il Caso di Caratteristica Positiva: In caratteristica positiva $p$, la proprietà di Jordan classica fallisce (esistono gruppi con sottogruppi abeliani normali di indice arbitrariamente grande). Tuttavia, esiste una versione più debole, detta proprietà p-Jordan.
• Definizione p-Jordan: Un gruppo $\Gamma$ è p-Jordan se esiste una costante $J(\Gamma)$ e un esponente $e(\Gamma)$ tali che ogni sottogruppo finito $G \subset \Gamma$ contenga un sottogruppo abeliano normale di ordine coprimo a $p$ e indice $\le J(\Gamma) \cdot |G(p)|^{e(\Gamma)}$, dove $G(p)$ è il sottogruppo di Sylow $p$-sillow di $G$.
• Obiettivo Specifico: Determinare le costanti ottimali $J_p(\text{Cr}_2)$ e l'esponente $e$ per il Gruppo di Cremona di rango 2 ($\text{Cr}_2(k)$), ovvero il gruppo degli automorfismi birazionali del piano proiettivo, nel caso in cui il campo $k$ abbia caratteristica dispari ($p \neq 2$).

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio geometrico-algebrico standard per lo studio dei sottogruppi finiti dei gruppi di Cremona, combinato con un'analisi dettagliata della teoria dei gruppi.

1. Riduzione Geometrica: Utilizzando il Programma di Minimal Model (MMP) equivariante, ogni azione finita di un gruppo $G$ su $\mathbb{P}^2$ può essere regolarizzata su una superficie razionale liscia $S$. Tale superficie è o una superficie di Del Pezzo o ammette una struttura di fascio di coniche ($G$-minimale).
2. Analisi per Casi Geometrici:
   • Fasci di Coniche: Il gruppo $G$ agisce su una superficie $S$ con una fibrazione su $\mathbb{P}^1$. La struttura del gruppo è analizzata attraverso l'estensione tra il gruppo che agisce sulle fibre e il gruppo che agisce sulla base $\mathbb{P}^1$.
   • Superfici di Del Pezzo: Gli autori analizzano le superfici di Del Pezzo in base al loro grado $d = K_S^2$ (da 1 a 9). Per ogni grado, utilizzano le proprietà dei sistemi lineari anticanonici e le classificazioni dei gruppi di automorfismi.
3. Strumenti Algebrici:
   • Classificazione dei Sottogruppi Finiti: Si fa riferimento alla classificazione dei sottogruppi finiti di $\text{PGL}_2(k)$ (azione su $\mathbb{P}^1$) e $\text{PGL}_3(k)$ (azione su $\mathbb{P}^2$) in caratteristica dispari.
   • Estensioni di Gruppi: Vengono utilizzati risultati tecnici (Lemmi 3.4, 6.1-6.8) per stimare l'indice di sottogruppi abeliani normali in estensioni di gruppi ciclici, gruppi di Weyl e prodotti semi-diretti.
   • Evitare Classificazioni Completi: Per evitare l'uso di classificazioni complesse e computazionali recenti (es. Dolgachev, Duncan, Martin) che coprono tutte le caratteristiche, gli autori derivano stime dirette basandosi sulle proprietà dei sistemi lineari e sui gruppi di Weyl associati ($W(E_6), W(D_5)$, ecc.), limitando l'uso di calcoli espliciti solo dove necessario.

3. Risultati Principali

Il risultato centrale è la Teorema 1.9, che fornisce un limite superiore preciso e dimostrano che è sharp (ottimale).

Teorema 1.9: Per ogni campo $k$ di caratteristica dispari $p$, ogni sottogruppo finito $G$ di $\text{Cr}_2(k)$ contiene un sottogruppo abeliano normale di ordine coprimo a $p$ e indice:
$$\text{Indice} \le J_p(\text{Cr}_2) \cdot |G(p)|^3$$
dove la costante $J_p(\text{Cr}_2)$ è definita come:
$$J_p(\text{Cr}_2) = \begin{cases} 7200 & \text{se } p \ge 7 \\ 168 & \text{se } p = 5 \\ 10 & \text{se } p = 3 \end{cases}$$

Ottimalità (Sharpness):
Gli autori dimostrano che il bound è stretto se $k$ è algebricamente chiuso:

• Per $p \ge 7$, il gruppo $G = (A_5 \times A_5) \rtimes \mu_2$ agisce su $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ (e quindi su $\text{Cr}_2$) senza sottogruppi abeliani normali non banali, dando un indice di 7200.
• Per $p = 5$, il gruppo semplice $PSL_2(\mathbb{F}_7)$ agisce su $\mathbb{P}^2$ con indice 168.
• Per $p = 3$, un gruppo diadrico $D_{10}$ esteso agisce su una superficie di Del Pezzo di grado 4 con indice 10.
• Inoltre, l'esponente 3 è ottimale: non esiste un esponente $e < 3$ tale che il bound valga per una costante $J'$ indipendente dalla dimensione del campo (come mostrato dagli esempi di $\text{PGL}_2(\mathbb{F}_{p^k})$).

4. Contributi Chiave

1. Precisione delle Costanti: A differenza di risultati precedenti (es. CS24) che garantivano solo l'esistenza di una costante, questo lavoro fornisce i valori esatti delle costanti $J_p$ per ogni caratteristica dispari.
2. Dimostrazione dell'Ottimalità: Viene dimostrato che l'esponente 3 non può essere migliorato e che le costanti $J_p$ sono le migliori possibili, fornendo esempi espliciti di gruppi che raggiungono questi limiti.
3. Metodologia Alternativa: Gli autori evitano di dipendere dalle classificazioni complete e complesse delle automorfismi delle superfici di Del Pezzo in tutte le caratteristiche, sviluppando invece stime dirette basate sulla struttura dei gruppi di Weyl e sulle proprietà dei sistemi lineari, rendendo la prova più accessibile e autonoma.
4. Distinzione per Caratteristica: Il lavoro evidenzia come le costanti cambino drasticamente a seconda della caratteristica del campo (7200 per $p \ge 7$, 168 per $p=5$, 10 per $p=3$), riflettendo la diversa struttura dei sottogruppi finiti in $\text{PGL}_3(k)$ in queste caratteristiche.

5. Significato e Implicazioni

• Teoria dei Gruppi Geometrici: Il risultato completa la comprensione della proprietà p-Jordan per i gruppi di Cremona di rango 2, chiudendo il caso della caratteristica dispari con una precisione senza precedenti.
• Limiti della Proprietà Jordan: Conferma che in caratteristica positiva, la "crescita" dell'indice dei sottogruppi abeliani normali è governata dalla potenza del sottogruppo di Sylow $p$ (esponente 3), a differenza della caratteristica zero dove l'indice è limitato da una costante assoluta.
• Apertura per la Caratteristica 2: Il lavoro lascia aperta la questione per la caratteristica 2. Gli autori notano che la classificazione dei sottogruppi massimali in $\text{PGL}_3(k)$ per $p=2$ è meno completa e richiede ulteriori lavori di teoria dei gruppi per ottenere stime analoghe. Tuttavia, basandosi su calcoli preliminari, ipotizzano che la costante per $p=2$ potrebbe essere 3.

In sintesi, questo articolo rappresenta un passo fondamentale nella classificazione quantitativa dei sottogruppi finiti dei gruppi di Cremona, fornendo limiti precisi e ottimali che collegano la geometria delle superfici razionali alla teoria dei gruppi finiti in caratteristica positiva.