Intersections of the Ekedahl-Oort and Newton Strata of $\mathcal{A}_{5}$

1. Il Problema

Lo studio si concentra sullo spazio dei moduli $\mathcal{A}_g$ delle varietà abeliane principalmente polarizzate di dimensione $g$ su un campo algebricamente chiuso $k$ di caratteristica $p > 0$. In questo contesto, due stratificazioni fondamentali sono ampiamente studiate:

• Stratificazione di Newton: Basata sulla classe di isogenia del gruppo $p$-divisibile $X[p^\infty]$ di una varietà abeliana $X$. È definita dal poligono di Newton $\xi$.
• Stratificazione di Ekedahl-Oort: Basata sulla classe di isomorfismo del gruppo di torsione $p$-torsione $X[p]$. È definita da una "sequenza elementare" $\phi$.

Il problema centrale è determinare come queste due stratificazioni si intersecano. In generale, non è noto quali intersezioni tra uno strato di Ekedahl-Oort ($S_\phi$) e uno strato di Newton ($N(\xi)$) siano non vuote. Mentre per dimensioni $g \le 3$ e per $g=4$ (in alcuni casi) queste intersezioni erano state classificate, la situazione in dimensione $g=5$ rimaneva aperta a causa dell'elevato numero di possibili combinazioni e delle limitazioni dei metodi teorici esistenti.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio ibrido che combina risultati teorici esistenti, argomenti induttivi e costruzioni esplicite tramite moduli di Dieudonné. La strategia si articola in quattro punti principali:

1. Riduzione al caso di $p$-rank zero: Le intersezioni per varietà con $p$-rank positivo ($f > 0$) possono essere ridotte a problemi di dimensione inferiore o al caso di $p$-rank zero tramite decomposizione (Proposizione 36). Di conseguenza, il lavoro si concentra principalmente sul caso $f=0$.
2. Uso di gruppi $p$-divisibili minimi: Utilizzando il teorema di Oort sui gruppi minimi, gli autori identificano quali strati di Ekedahl-Oort sono completamente contenuti in specifici strati di Newton (Corollario 32).
3. Slopes di Newton e numeri $a$: Vengono utilizzati i risultati di Harashita sulle "prime pendenze" (first slopes) dei poligoni di Newton associati alle sequenze elementari. Se una sequenza elementare $\phi$ ha una prima pendenza $\lambda_\phi$ unica per un dato poligono di Newton, si può dedurre che l'intersezione è non vuota (Corollario 20).
4. Costruzione esplicita di Moduli di Dieudonné: Per decidere le intersezioni rimanenti (dove i metodi teorici generali falliscono), gli autori costruiscono esplicitamente moduli di Dieudonné liberi e polarizzati su $W(k)$ (l'anello dei vettori di Witt).
   • Per dimostrare che un'intersezione è non vuota, costruiscono un modulo con la riduzione mod-$p$ corretta (che definisce lo strato di Ekedahl-Oort) e calcolano la sua pendenza di Newton per confermare che corrisponde allo strato desiderato.
   • Per dimostrare che un'intersezione è vuota, dimostrano l'impossibilità di esistere di un tale modulo, spesso analizzando le valuzioni $p$-adiche delle potenze della matrice di Frobenius ($A_F$) e utilizzando risultati di Kraft e Oort sulle parole primitive.

Il codice computazionale utilizzato (in Magma) è reso disponibile pubblicamente.

3. Risultati Chiave

Teorema Principale (Teorema 1)

Gli autori determinano completamente quali intersezioni tra strati di Ekedahl-Oort e strati di Newton in dimensione 5 sono non vuote. Tutti gli intersezioni elencate nella Tabella 1 del paper sono non vuote. Questo risolve il problema per $g=5$.

Classificazione delle Intersezioni

• Casi di $p$-rank positivo: Le intersezioni sono ridotte a somme di strati di dimensioni inferiori (Tabella 5).
• Casi di $p$-rank zero: La classificazione è complessa e dipende dalla prima pendenza del poligono di Newton.
  • Vengono identificati strati di Ekedahl-Oort che sono contenuti interamente in specifici strati di Newton (es. $S_{(0,1,2,3,3)} \subset N_{1/5}$).
  • Vengono determinati i limiti superiori e inferiori per le intersezioni. Un risultato significativo è che, a differenza delle dimensioni $g \le 4$, in dimensione 5 l'insieme degli strati di Newton che intersecano un dato strato di Ekedahl-Oort non è sempre determinato da un semplice intervallo di pendenze (Remark 5.4).

Descrizione della Locus Supersingolare ($S_5$)

Come corollario diretto, gli autori forniscono una descrizione esplicita della stratificazione di Ekedahl-Oort sulla varietà supersingolare $S_5$ (Corollario 2). La supersingolarità corrisponde al poligono di Newton $5[1,1]$ (tutte le pendenze sono $1/2$).
La decomposizione è data da:
$$S_5 = \bigcup S_\phi \cap S_5$$
dove l'unione copre specifiche sequenze elementari $\phi$ (come $(0,0,0,0,0)$, $(0,0,0,0,1)$, ecc.). In particolare, dimostrano che alcune intersezioni apparentemente possibili sono vuote (es. $S_{(0,0,1,2,2)} \cap S_5 = \emptyset$) mentre altre sono non vuote grazie a costruzioni esplicite (es. $S_{(0,1,1,2,3)} \cap S_5 \neq \emptyset$).

Risultati Tecnici Specifici

• Lemma 43 e Remark 5.1: Viene costruito un modulo di Dieudonné supersingolare per la sequenza $(0,1,1,2,3)$. Questo è un esempio notevole perché il "lift tautologico" di questa sequenza ha pendenze $2/5$ e $3/5$, non $1/2$. Questo dimostra che in dimensione 5 esistono varietà supersingolari che non derivano dal lift tautologico, un fenomeno assente per $g \le 4$.
• Lemma 50: Viene dimostrato che l'intersezione $S_{(0,1,1,1,2)} \cap N_{2/5}$ è vuota, nonostante la pendenza $2/5$ sia "compresa" tra le pendenze di altri strati intersecanti. Questo conferma la rottura della struttura "a intervallo" delle intersezioni osservata in dimensioni inferiori.

4. Significato e Impatto

• Completamento della Classificazione: Questo lavoro completa la classificazione delle intersezioni per $g=5$, un passo cruciale verso la comprensione generale della geometria di $\mathcal{A}_g$ in caratteristica positiva.
• Nuovi Fenomeni Geometrici: Il paper rivela che in dimensione 5 emergono comportamenti nuovi rispetto alle dimensioni inferiori ($g \le 4$). In particolare, la relazione tra la stratificazione di Ekedahl-Oort e quella di Newton non è più governata semplicemente da limiti inferiori e superiori delle pendenze di Newton.
• Strumenti Computazionali e Teorici: La combinazione di teoria dei moduli di Dieudonné, analisi delle valuzioni $p$-adiche e calcolo computazionale (Magma) fornisce un modello metodologico per affrontare problemi simili in dimensioni superiori o per altre stratificazioni.
• Struttura di $S_5$: La descrizione esplicita della stratificazione di Ekedahl-Oort sulla varietà supersingolare $S_5$ è un risultato fondamentale per la teoria delle varietà abeliane supersingolari, offrendo una mappa precisa della loro struttura interna.

In sintesi, il paper risolve un problema aperto di lunga data in dimensione 5, fornendo una mappa completa delle intersezioni e rivelando complessità geometriche inedite che sfidano le intuizioni basate sui casi di bassa dimensione.