On the $v$-adic values of G-functions II

Titolo e Contesto

Il lavoro è il secondo di una serie incentrata sullo studio dei valori di funzioni G associate a una famiglia di varietà abeliane a un parametro $f: X \to S$ definita su un campo di numeri $K$, con particolare attenzione a un punto $s_0 \in S(K)$. In questo specifico contributo, l'autore si concentra sul caso in cui la famiglia è composta da curve ellittiche e analizza i valori delle funzioni G associate in punti le cui fibre sono curve ellittiche con Moltiplicazione Complessa (CM).

L'obiettivo principale è estendere i lavori precedenti di Yves André e Frits Beukers per costruire relazioni algebriche tra i valori di queste funzioni, con l'ambizione finale di ottenere stime di altezza efficaci per i moduli singolari, contribuendo così alla ricerca di una versione efficace del Teorema di Brauer-Siegel (e conseguentemente del teorema di Siegel sui campi quadratici immaginari).

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1. Il Problema e l'Obiettivo

Il problema centrale riguarda la costruzione di polinomi non banali $R_{s,v}$ che annullino i valori delle funzioni G $Y_G(s)$ in punti $s$ vicini $v$-adicamente a un punto centrale $s_0$ (dove la fibra $E_{s_0}$ ha CM).
Mentre André e Beukers avevano già affrontato casi specifici (luoghi archimedei, luoghi di riduzione supersingolare non ramificati), questo lavoro mira a colmare le lacune rimanenti, in particolare per:

1. Luoghi $v$ sopra primi $p$ che ramificano nel campo di CM della fibra centrale.
2. Luoghi $v$ sopra primi $p$ dove la fibra centrale ha riduzione ordinaria.

L'obiettivo finale è utilizzare queste relazioni per derivare limiti superiori per l'altezza (Weil height) dei moduli singolari $j$, collegandoli al grado del campo di definizione e al numero di luoghi "vicini" con proprietà specifiche.

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2. Metodologia

L'approccio combina la teoria delle funzioni G (sviluppata da André) con la teoria dei periodi delle curve ellittiche CM, sia in contesto archimedeo che $p$-adico.

A. Matrici di Periodi e Basi Canoniche

L'autore costruisce matrici di periodici associati a isomorfismi di confronto tra coomologie:

• Caso Archimedeo: Confronto de Rham-Betti.
• Caso $p$-adico: Confronto de Rham-Cristallino (Berthelot-Ogus).

Vengono definite basi simplettiche canoniche per la coomologia cristallina $H^1_{crys}$:

• Riduzione Ordinaria: La base è costruita utilizzando gli autovettori dell'endomorfismo di Frobenius.
• Riduzione Supersingolare: La base è costruita sfruttando l'algebra dei quaternioni che agisce sulla coomologia, seguendo la costruzione di André.

B. Isogenie e Relazioni

Il cuore della metodologia risiede nell'uso di isogenie tra curve ellittiche CM. Se due curve $E_s$ e $E_{s_0}$ hanno lo stesso campo di CM e sono vicine $v$-adicamente, esiste un'isogenia $\phi: E_s \to E_{s_0}$.
L'autore utilizza la funzionalità degli isomorfismi di confronto (de Rham vs Cristallino/Betti) per stabilire equazioni matriciali della forma:
$$[\phi]_{dR} \cdot P_v(s) = P_v(s_0) \cdot [\phi]_{crys}$$
Dove $P_v(s)$ è la matrice dei valori delle funzioni G. Sfruttando le proprietà degli endomorfismi indotti su queste basi (in particolare la diagonalizzazione o la struttura specifica in base al tipo di riduzione), si derivano relazioni lineari o polinomiali tra gli elementi della matrice $Y_G(s)$.

C. Prossimità $p$-adica e Teorema di Gross-Zagier

Per gestire i casi di ramificazione, l'autore utilizza una generalizzazione del teorema di Gross-Zagier (Lauter-Viray) per caratterizzare i primi che dividono la differenza dei moduli $j$. Questo permette di dimostrare che se $s$ è sufficientemente vicino a $s_0$, le curve devono condividere lo stesso campo di CM, anche in presenza di ramificazione.

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3. Risultati Chiave

Teorema Principale (Teorema 1.1)

Sia $f: E \to S$ una famiglia di curve ellittiche e $s_0$ un punto con fibra CM. Se $s$ è $v$-adicamente vicino a $s_0$, esiste un polinomio $R_{s,v} \in \overline{\mathbb{Q}}[X]$ tale che:
$$\iota_v(R_{s,v}(Y_G(s))) = 0$$
e $R_{s,v}(Y_G(x)) \neq 0$ a livello funzionale.

Contributi specifici per tipo di luogo $v$:

1. Riduzione Ordinaria: Per i luoghi $v$ dove $E_{s_0}$ ha riduzione ordinaria, l'autore dimostra che le relazioni costruite sono indipendenti dal luogo $v$. Esiste un singolo polinomio $R_{s,ord}$ valido per tutti i tali luoghi. Questo è un risultato strutturale nuovo e sorprendente.
2. Riduzione Supersingolare (non ramificata): Si recuperano i risultati di Y. André, costruendo polinomi specifici per tali luoghi.
3. Luoghi Ramificati: Si costruiscono relazioni per i primi che ramificano nel campo di CM, un caso non coperto dai lavori precedenti in modo completo.

Stime di Altezza (Sezione 6)

L'autore applica il "Principio di Hasse" per le funzioni G (André-Bombieri) per ottenere limiti di altezza per i moduli singolari $j$ di curve CM:
$$h(j) \leq C_1 ([\mathbb{Q}(j):\mathbb{Q}] + |P(j)|)^{C_2}$$
Dove $P(j)$ è l'insieme dei luoghi supersingolari di prossimità tra $j$ e un modulo fisso $j_0$.

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4. Significato e Implicazioni

Verso un Brauer-Siegel Efficace

Il risultato è un passo cruciale verso una versione efficace del teorema di Siegel sui campi quadratici immaginari.

• Il teorema di Siegel afferma che $h(K) \geq c(\epsilon) |D_K|^{1/2-\epsilon}$, ma la costante $c(\epsilon)$ non è calcolabile.
• Combinando le stime di altezza ottenute con le stime di endomorfismi di Masser-Wüstholz, si può tradurre il problema in una disuguaglianza tra il grado del campo di definizione $[\mathbb{Q}(j):\mathbb{Q}]$ e il discriminante $D(j)$.
• L'ostacolo principale rimane il termine $|P(j)|$ (il numero di luoghi supersingolari di prossimità). Se si potesse dimostrare che $|P(j)|$ è trascurabile rispetto al grado (o limitato da una potenza del discriminante con esponente favorevole), si otterrebbe un risultato efficace.

Contributo Strutturale

La scoperta che le relazioni per la riduzione ordinaria sono indipendenti dal luogo $v$ suggerisce una proprietà strutturale nascosta del metodo delle funzioni G che non era stata notata in precedenza. Questo semplifica la dipendenza dai luoghi e potrebbe aprire la strada a stime più precise.

Limiti Attuali

L'autore nota che, sebbene il metodo funzioni, la stima attuale per il numero di polinomi necessari (o la dimensione dell'insieme $P(j)$) porta a un "vicolo cieco" se combinata con le stime attuali di Masser-Wüstholz. Il lavoro evidenzia che per superare questo ostacolo è necessario un controllo più fine sulla dipendenza dei polinomi dal luogo $v$ o una migliore comprensione della distribuzione dei luoghi supersingolari di prossimità.

Conclusione

Il paper di Papas estende significativamente la teoria delle funzioni G applicata alle curve ellittiche CM, risolvendo casi aperti riguardanti la riduzione ordinaria e la ramificazione. Fornisce un quadro teorico solido per collegare le relazioni algebriche locali alle stime globali di altezza, ponendo le basi per futuri progressi verso la risoluzione efficace del problema di Brauer-Siegel, pur indicando chiaramente le difficoltà tecniche residue nella quantificazione dei luoghi di prossimità.