Comparative Expressivity for Structured Argumentation Frameworks with Uncertain Rules and Premises

1. Il Problema

La modellazione dell'incertezza qualitativa nell'argomentazione formale è fondamentale sia per applicazioni pratiche che per la comprensione teorica. Tuttavia, la letteratura esistente si concentra prevalentemente su modelli astratti (come i Argumentation Frameworks o AF), dove l'incertezza riguarda la presenza o l'assenza di argomenti e le relazioni di sconfitta.
Il problema centrale affrontato è il confronto tra l'espressività di questi modelli astratti e quella dei modelli strutturati (come ASPIC+), dove l'incertezza è radicata nei componenti degli argomenti stessi (premesse e regole inferenziali).
Una preoccupazione rilevante è che, quando si passa da un framework strutturato a uno astratto, spesso si perde informazione. Molti framework astratti non sono "istanziazioni plausibili" di framework strutturati, il che rende difficile determinare se i modelli astratti siano sufficientemente potenti per catturare le sfumature dell'incertezza strutturata.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio sistematico in due fasi per confrontare i formalismi:

1. Definizione di un quadro standard per l'incertezza astratta:
   Utilizzano i Argument-Incomplete Argumentation Frameworks (arg-IAF), dove gli argomenti sono divisi in certi ($AF$) e incerti ($A?$). Per gestire la granularità necessaria, estendono questo modello ai dep-arg-IAF, che includono dipendenze tra gli argomenti incerti (implicazioni, disgiunzioni, NAND). Una completamento di un IAF è una specifica istanza in cui gli argomenti incerti sono scelti come presenti o assenti, rispettando le dipendenze.

2. Concetto di "Espressività Relativa":
   Introducono una definizione formale di equivalenza tra classi di framework basata sull'insieme dei loro completamenti possibili.

   • Due classi $X$ e $Y$ sono confrontate verificando se per ogni framework in $Y$ esiste un framework in $X$ che genera un insieme di completamenti isomorfo (biunivoco).
   • La relazione $Y \preceq X$ indica che $X$ è almeno tanto espressivo quanto $Y$.

3. Analisi dei Framework Strutturati (ASPIC+):
   Applicano questo schema a due varianti di ASPIC+ con incertezza:

   • rul-ISAF: Framework con regole (deduttive e difettibili) incerte.
   • prem-ISAF: Framework con premesse (assiomi e premesse ordinarie) incerte.
     L'obiettivo è mappare i completamenti di questi framework strutturati su quelli dei framework astratti (IAF, imp-arg-IAF, ecc.).

3. Contributi Chiave

• Nuova nozione di Espressività: Definizione di un criterio rigoroso per confrontare formalismi astratti e strutturati, basato sulla capacità di generare insiemi equivalenti di completamenti (grafi di argomentazione astratti).
• Classificazione delle Incompiutezze: Distinzione formale tra incertezza nelle regole (rul-ISAF) e nelle premesse (prem-ISAF) all'interno di ASPIC+.
• Risultati Negativi e Positivi: Dimostrazione che i modelli astratti standard (senza dipendenze) sono insufficienti a catturare la complessità dei modelli strutturati, ma che l'aggiunta di dipendenze implicative risolve il problema.

4. Risultati Principali

I risultati sono riassunti nella gerarchia di espressività mostrata nella Figura 1 del paper:

1. Limiti degli IAF Standard:

   • I rul-ISAF (regole incerte) sono strettamente più espressivi degli arg-IAF standard (senza dipendenze).
   • I prem-ISAF (premesse incerte) sono strettamente più espressivi degli arg-IAF standard.
   • Motivo: I framework strutturati possono generare insiemi di completamenti che impongono vincoli logici complessi tra gli argomenti che gli IAF standard non possono rappresentare (es. la presenza di un argomento complesso dipende dalla presenza di un sotto-argomento specifico in modo non banale).

2. Ruolo delle Dipendenze (Implicative):

   • Se si estendono gli IAF agli imp-arg-IAF (che includono dipendenze implicative del tipo "se X è presente, allora Y deve esserlo"), allora:
     • rul-ISAF $\preceq$ imp-arg-IAF.
     • prem-ISAF $\preceq$ imp-arg-IAF.
   • Tuttavia, la relazione inversa non vale: gli imp-arg-IAF sono strettamente più espressivi sia dei rul-ISAF che dei prem-ISAF. Questo significa che le dipendenze implicative astratte sono più potenti delle incertezze strutturali in ASPIC+.

3. Confronto tra Regole e Premesse:

   • I rul-ISAF sono strettamente più espressivi dei prem-ISAF.
   • Esiste una traduzione da prem-ISAF a rul-ISAF (tramite una classe intermedia di "premise-ISAF ordinati" o tidy), ma non viceversa. Le incertezze sulle regole permettono di modellare scenari che le sole incertezze sulle premesse non possono catturare.

4. Gerarchia Finale:
   La catena di espressività è la seguente:
   $$\text{arg-IAF} \prec \text{prem-ISAF} \prec \text{rul-ISAF} \prec \text{imp-arg-IAF}$$
   (Dove $\prec$ indica "strettamente meno espressivo di").

5. Significato e Implicazioni

• Validazione dei Modelli Astratti: Il lavoro dimostra che l'uso di framework astratti per modellare l'incertezza strutturata richiede l'aggiunta di meccanismi di dipendenza (constraints). Senza di essi, si perde informazione cruciale sulla struttura logica degli argomenti.
• Scelta del Formalismo: Fornisce una guida teorica per i ricercatori e i praticanti: se il dominio richiede la modellazione di incertezze complesse su regole e premesse, un modello astratto semplice è inadeguato. È necessario utilizzare modelli strutturati o modelli astratti arricchiti con dipendenze.
• Unificazione Teorica: Il paper unifica lavori precedenti su ASPIC+ con incertezza (es. [22] per le regole, [15, 16] per le premesse) sotto un'unica lente di analisi comparativa, chiarendo le relazioni di forza espressiva tra diverse varianti.
• Futuro: Gli autori intendono estendere questi risultati ad altri formalismi strutturati oltre ASPIC+ e pubblicare un articolo completo che contestualizzi questi risultati in un quadro più ampio.

In sintesi, il paper stabilisce che l'incertezza strutturata (regole e premesse) possiede una potenza espressiva superiore rispetto all'incertezza puramente astratta sugli argomenti, e che per catturare fedelmente tale complessità è necessario introdurre dipendenze logiche nei modelli astratti.