Geometric construction of modular polynomials with level structures

Sintesi Tecnica: Costruzione Geometrica di Polinomi Modulari con Strutture di Livello

Enunciato del Problema
Il classico polinomio modulare $\Phi_m(X, Y)$ descrive la relazione algebrica tra gli invarianti $j$ di due curve ellittiche connesse da un isogenia ciclica di grado $m$. Sebbene esistano algoritmi per calcolare questi polinomi (ad esempio, tramite espansioni di Fourier, isogenie supersingolari o teoria della deformazione), vi è la necessità di estendere questo quadro alle strutture di "livello superiore". Nello specifico, il documento affronta la costruzione di polinomi modulari per gli invarianti associati a modelli specifici di curve ellittiche, come le curve di Montgomery e le curve Hessiane, che corrispondono a curve ellittiche potenziate con strutture di livello $\Gamma_0(4)$ e $\Gamma(3)$, rispettivamente. Prima di questo lavoro, l'esistenza di tali polinomi modulari per questi specifici modelli non era stata rigorosamente provata nella letteratura, né era stato stabilito un metodo di costruzione puramente algebrico che non facesse affidamento sulla teoria delle forme modulari.

Metodologia
Gli autori propongono un approccio puramente algebrico per costruire polinomi modulari per invarianti di livello superiore. La metodologia si basa sui seguenti concetti fondamentali:

1. Invarianti e Modelli Buoni: Gli autori definiscono un "invariante di livello $\Gamma$" come un'iniezione dall'insieme delle classi di isomorfismo di curve ellittiche potenziate a $\mathbb{C}$, accompagnata da una funzione razionale che mette in relazione l'invariante con l'invariante $j$. Fondamentalmente, introducono il concetto di "modello buono", che richiede l'esistenza di formule esplicite per:

   • Moltiplicazione scalare ($[m]P$).
   • Polinomi di divisione (identificazione dei punti di ordine $m$).
   • Formule di isogenia (calcolo dell'invariante della curva target partendo dall'invariante e dal generatore del nucleo della curva sorgente).
     Queste formule devono avere coefficienti in anelli specifici (ad esempio, $\mathbb{Z}[X]$ o $\mathbb{Z}[1/m][X]$) per garantire l'integrità.

2. Dimostrazione di Esistenza tramite Teoria della Deformazione: Per dimostrare l'esistenza del polinomio modulare $\Phi^\alpha_m(X, Y)$ per un invariante $\alpha$, gli autori utilizzano la teoria della deformazione (specificamente il framework Kunzweiler–Robert). Considerano il campo di scissione minimo del polinomio di divisione su un campo di funzioni razionali. Analizzando l'azione del gruppo di Galois sulle radici del polinomio di divisione (che corrispondono a sottogruppi ciclici), costruiscono un polinomio le cui radici sono gli invarianti delle curve target connesse da isogenie.

3. Costruzione Algoritmica: Il documento adatta l'algoritmo di Kunzweiler–Robert per il calcolo dei classici polinomi modulari. L'algoritmo opera su campi finiti $\mathbb{F}_{p^2}$ e utilizza il Teorema Cinese del Resto (CRT) per elevare i risultati a $\mathbb{Z}[X, Y]$.

   • Seleziona numeri primi $p$ tali che la curva abbia proprietà di moltiplicazione complessa che permettano un calcolo efficiente delle isogenie.
   • Deforma la curva e l'invariante su un anello artiniano $R = \mathbb{F}_{p^2}[\epsilon]/(\epsilon^{\ell+2})$.
   • Calcola le isogenie e solleva l'invariante target $\alpha(E', P')$ utilizzando l'iterazione di Newton (lifting di Hensel), assicurando che l'invariante sollevato soddisfi la funzione razionale definente del modello.

Contributi Chiave

• Esistenza e Proprietà: Il documento prova che per ogni invariante $\alpha$ possidente un "modello buono" (che soddisfi specifiche condizioni di integrità e di formula), il polinomio modulare $\Phi^\alpha_m(X, Y)$ esiste, ha coefficienti interi ed è monico di grado $\psi(m)$ in $Y$.
• Simmetria e Irriducibilità:
  • Si dimostra che il polinomio è simmetrico ($\Phi^\alpha_m(X, Y) = \Phi^\alpha_m(Y, X)$) se $m > 1$ e il livello è $\Gamma_0(N)$ oppure se $m \equiv \pm 1 \pmod N$.
  • Se l'invariante è "calcolabile" (esprimibile come funzione razionale dell'invariante $j$ e delle coordinate della struttura di livello indipendentemente dalla specifica curva), il polinomio è irriducibile su $\mathbb{C}(X)$.
• Esempi Specifici: Gli autori dimostrano che il coefficiente $A$ delle curve di Montgomery (livello $\Gamma_0(4)$) e il coefficiente $d$ delle curve Hessiane (livello $\Gamma(3)$) soddisfano le condizioni di un modello buono. Di conseguenza, i polinomi modulari per questi coefficienti esistono e possiedono le proprietà dichiarate.
• Proprietà di Congruenza: Il documento stabilisce condizioni di congruenza per i coefficienti di questi polinomi. Per le curve di Montgomery, il coefficiente di $X^i Y^j$ è zero a meno che $i+j \equiv 0 \pmod 2$. Per le curve Hessiane, si applicano vincoli modulari simili basati su $m \pmod 3$.
• Implementazione dell'Algoritmo: Viene fornito un algoritmo per calcolare questi polinomi con una complessità di $\tilde{O}(\ell^3 \log^3 \ell \log \log \ell)$ operazioni di bit, eguagliando l'efficienza dei migliori algoritmi noti per i classici polinomi modulari.

Risultati

• Gli autori hanno implementato l'algoritmo in SageMath e hanno calcolato i polinomi modulari per le curve di Montgomery e Hessiane per tutti i numeri primi $\ell < 150$.
• I risultati sperimentali hanno confermato che i polinomi calcolati soddisfano le condizioni di isogenia sui campi finiti.
• Gli esperimenti hanno verificato la simmetria e le specifiche proprietà di congruenza dei coefficienti.
• L'altezza logaritmica dei polinomi calcolati ha generalmente aderito a un limite congetturale relativo al caso classico, con lievi eccezioni per piccoli numeri primi nel caso Hessiano.
• Lo studio della permutazione $\sigma$ (relativa alla valutazione del polinomio in punti al di fuori dell'immagine dell'invariante) ha mostrato che per le curve di Montgomery $\sigma$ è l'identità, mentre per le curve Hessiane è una permutazione non banale.

Significato e Rivendicazioni
Gli autori dichiarano esplicitamente che il loro contributo primario è fornire un altro approccio per costruire polinomi modulari di livello superiore che sia puramente algebrico e non dipenda dalla teoria delle forme modulari. Non pretendono che gli esempi (coefficienti di Montgomery/Hessiana) non siano funzioni modulari; piuttosto, affermano che il loro metodo algebrico offre un percorso distinto e potenzialmente utile per costruire polinomi modulari per altre forme di curve ellittiche dove la teoria delle forme modulari potrebbe essere difficile da applicare o dove sono note le formule esplicite per la moltiplicazione scalare e le isogenie, ma la natura modulare non è immediatamente ovvia.

Il documento sottolinea che l'esistenza di questi polinomi non era precedentemente provata nella letteratura per queste specifiche forme di curve. Stabilendo i criteri del "modello buono", gli autori forniscono un quadro generale per verificare l'esistenza e l'integrità dei polinomi modulari per una classe più ampia di modelli di curve ellittiche.