On the relation between time-reversed acoustics and Green's function retrieval in space-variant and in time-variant materials

Sintesi Tecnica: Sulla relazione tra acustica a inversione temporale e recupero della funzione di Green in materiali varianti nello spazio e varianti nel tempo

Enunciato del Problema
Il documento affronta la relazione teorica tra due tecniche consolidate di manipolazione delle onde: l'acustica a inversione temporale e il recupero della funzione di Green. Tradizionalmente, questi metodi sono applicati a materiali classici inhomogenei e invarianti nel tempo, dove la loro relazione reciproca è ben compresa. Recentemente, sono state proposte metodologie analoghe per materiali omogenei e varianti nel tempo (dove le proprietà del materiale cambiano nel tempo ma sono uniformi nello spazio). Sebbene esista un'analogia matematica tra le equazioni d'onda dei materiali varianti nello spazio e quelli varianti nel tempo — specificamente lo scambio dei ruoli di spazio e tempo — gli autori osservano che tale analogia presenta limitazioni. La causalità rimane una proprietà dipendente dal tempo in entrambe le classi, e le dimensioni dello spazio e del tempo differiscono. Di conseguenza, la relazione tra le soluzioni (campi ondosi) in queste due classi non è diretta. Il documento mira a investigare e definire rigorosamente la relazione reciproca tra l'acustica a inversione temporale e il recupero della funzione di Green nei materiali varianti nel tempo, confrontandoli con i loro corrispettivi classici.

Metodologia
Gli autori adottano un quadro matematico unificato per la propagazione delle onde sia nei mezzi varianti nello spazio sia in quelli varianti nel tempo, utilizzando un insieme di equazioni accoppiate del primo ordine che coinvolgono grandezze del campo ondoso ($U, V, P, Q$) e parametri del materiale ($\alpha, \beta$).

1. Revisione Classica (Variante nello Spazio): Il documento esamina innanzitutto i principi per materiali inhomogenei e invarianti nel tempo. Ne deriva la rappresentazione omogenea della funzione di Green (Equazione 19) come un integrale di contorno che coinvolge convoluzioni temporali. Tale rappresentazione funge da base teorica per:

   • Acustica a Inversione Temporale: Emissione di un campo ondoso a componente singola a inversione temporale da un contorno chiuso.
   • Recupero della Funzione di Green: Correlazione incrociata temporale dei campi ondosi in due posizioni spaziali in risposta a sorgenti su un contorno.

2. Estensione ai Materiali Varianti nel Tempo: Gli autori analizzano quindi materiali omogenei e varianti nel tempo. Introducono un formalismo a matrice propagatore ($W$) per descrivere l'evoluzione dell'onda nel tempo. Sfruttando le proprietà di simmetria delle funzioni di Green nei mezzi varianti nel tempo, derivano una rappresentazione della funzione di Green omogenea (Equazione 57) che coinvolge convoluzioni spaziali anziché temporali.

3. Derivazione dei Corrispettivi: Utilizzando la rappresentazione della funzione di Green omogenea derivata, gli autori formulano i corrispettivi per i materiali varianti nel tempo:

   • Acustica a Inversione Temporale: Dimostrano che l'inversione temporale ideale nei materiali varianti nel tempo richiede l'emissione da un istante temporale singolo nel materiale effettivo, basandosi su misurazioni eseguite in una versione a inversione temporale di tale materiale. Ciò coinvolge un campo ondoso a due componenti (il campo e la sua derivata temporale) con un'inversione di segno sulla derivata.
   • Recupero della Funzione di Green: Mostrano che il recupero della funzione di Green implica una correlazione incrociata spaziale dei campi ondosi registrati in due istanti temporali distinti, in risposta a sorgenti a due componenti in un singolo istante temporale.

Contributi e Risultati Chiave
Il contributo principale è la derivazione rigorosa dei corrispettivi matematici dell'acustica a inversione temporale classica e del recupero della funzione di Green per i materiali varianti nel tempo. Le scoperte chiave includono:

• Scambio dei Ruoli: Nei materiali varianti nel tempo, i ruoli di spazio e tempo sono scambiati rispetto ai metodi classici. Le convoluzioni e le correlazioni temporali nel dominio classico (variante nello spazio) sono sostituite da convoluzioni e correlazioni spaziali nel dominio variante nel tempo.
• Vincoli di Causalità: Nonostante lo scambio di spazio e tempo nelle equazioni d'onda, il principio di causalità non viene scambiato. Ciò porta a complessità specifiche, come la necessità di utilizzare funzioni di Green acausali o modelli di materiale a inversione temporale per formulare soluzioni fisiche.
• Acustica a Inversione Temporale Idealizzata: Il documento stabilisce che l'inversione temporale ideale in un materiale variante nel tempo comporta:
  1. La registrazione di un campo ondoso e della sua derivata temporale in una versione a inversione temporale del materiale in un singolo istante temporale.
  2. L'emissione di questi campi registrati (con il segno della derivata temporale invertito) da sorgenti in quello stesso istante temporale nel materiale effettivo.
  3. Il campo risultante si focalizza in un specifico istante temporale futuro, agendo come una sorgente virtuale.
• Recupero della Funzione di Green: Il recupero della funzione di Green tra due istanti temporali ($t_A$ e $t$) è ottenuto mediante la correlazione incrociata spaziale dei campi ondosi registrati in quegli istanti, in risposta a sorgenti a due componenti in un singolo istante temporale precedente ($t'$).
• Validazione Numerica: Gli autori forniscono un esempio numerico 2D di una funzione di Green in un materiale variante nel tempo a tratti costante, illustrando la diffusione delle onde ai confini temporali (trasmissione e riflessione) e convalidando i modelli teorici di propagazione.

Significato e Affermazioni
Il documento afferma di chiarire il legame teorico tra l'acustica a inversione temporale e il recupero della funzione di Green nel campo emergente dei materiali varianti nel tempo. Evidenzia che, sebbene questi metodi siano variazioni della stessa rappresentazione omogenea della funzione di Green, la transizione dai materiali varianti nello spazio a quelli varianti nel tempo non è un semplice scambio di variabili a causa dei vincoli di causalità e dimensionalità.

Gli autori notano esplicitamente che i metodi descritti per i materiali varianti nel tempo sono "idealizzati". Riconoscono che le realizzazioni sperimentali attuali (citando Fink e collaboratori) utilizzano scorciatoie, come interruzioni temporali impulsive in materiali altrimenti invarianti nel tempo, che agiscono come confini temporali per approssimare il processo ideale di ri-emissione. Il documento non propone nuovi setup sperimentali, ma fornisce piuttosto il fondamento teorico che spiega la relazione tra queste tecniche classiche ed emergenti, notando che l'estensione del recupero della funzione di Green tramite correlazione incrociata spaziale del rumore ambientale a materiali varianti nel tempo generali rimane complessa e soggetta ad artefatti.