On the relation between time-reversed acoustics and Green's function retrieval in space-variant and in time-variant materials

Resumo Técnico: Sobre a relação entre acústica reversa no tempo e recuperação da função de Green em materiais variantes no espaço e variantes no tempo

Declaração do Problema
O artigo aborda a relação teórica entre duas técnicas estabelecidas de manipulação de ondas: a acústica reversa no tempo e a recuperação da função de Green. Tradicionalmente, esses métodos são aplicados a materiais clássicos inhomogêneos e invariantes no tempo, onde sua relação mútua é bem compreendida. Recentemente, métodos análogos foram propostos para materiais homogêneos e variantes no tempo (onde as propriedades do material mudam ao longo do tempo, mas são uniformes no espaço). Embora exista uma analogia matemática entre as equações de onda de materiais variantes no espaço e variantes no tempo — especificamente a troca dos papéis do espaço e do tempo —, os autores observam que essa analogia possui limitações. A causalidade permanece uma propriedade dependente do tempo em ambas as classes, e as dimensões do espaço e do tempo diferem. Consequentemente, a relação entre as soluções (campos de onda) nessas duas classes não é direta. O artigo visa investigar e definir rigorosamente a relação mútua entre a acústica reversa no tempo e a recuperação da função de Green em materiais variantes no tempo, comparando-as com seus equivalentes clássicos.

Metodologia
Os autores empregam um quadro matemático unificado para a propagação de ondas em meios variantes no espaço e variantes no tempo, utilizando um conjunto de equações acopladas de primeira ordem envolvendo quantidades de campo de onda ($U, V, P, Q$) e parâmetros de material ($\alpha, \beta$).

1. Revisão Clássica (Variante no Espaço): O artigo revisa primeiro os princípios para materiais inhomogêneos e invariantes no tempo. Deriva a representação homogênea da função de Green (Equação 19) como uma integral de contorno envolvendo convoluções temporais. Essa representação serve como base teórica para:

   • Acústica Reversa no Tempo: Emissão de um campo de onda de componente única reverso no tempo a partir de um contorno fechado.
   • Recuperação da Função de Green: Correlação cruzada temporal de campos de onda em duas localizações espaciais em resposta a fontes em um contorno.

2. Extensão para Materiais Variantes no Tempo: Os autores analisam então materiais homogêneos e variantes no tempo. Introduzem uma formalidade de matriz propagadora ($W$) para descrever a evolução da onda no tempo. Explorando as propriedades de simetria das funções de Green em meios variantes no tempo, derivam uma representação da função de Green homogênea (Equação 57) que envolve convoluções espaciais em vez de temporais.

3. Derivação dos Equivalentes: Utilizando a representação derivada da função de Green homogênea, os autores formulam os equivalentes para materiais variantes no tempo:

   • Acústica Reversa no Tempo: Demonstram que a reversão temporal ideal em materiais variantes no tempo requer emissão a partir de um único instante de tempo para o material real, baseada em medições realizadas em uma versão reversa no tempo desse material. Isso envolve um campo de onda de dois componentes (o campo e sua derivada temporal) com inversão de sinal na derivada.
   • Recuperação da Função de Green: Mostram que recuperar a função de Green envolve correlação cruzada espacial de campos de onda registrados em dois instantes de tempo distintos, em resposta a fontes de dois componentes em um único instante de tempo.

Principais Contribuições e Resultados
A contribuição primária é a derivação rigorosa dos equivalentes matemáticos da acústica reversa no tempo clássica e da recuperação da função de Green para materiais variantes no tempo. As descobertas principais incluem:

• Troca de Papéis: Em materiais variantes no tempo, os papéis do espaço e do tempo são trocados em relação aos métodos clássicos. Convoluções e correlações temporais no domínio clássico (variante no espaço) são substituídas por convoluções e correlações espaciais no domínio variante no tempo.
• Restrições de Causalidade: Apesar da troca de espaço e tempo nas equações de onda, o princípio da causalidade não é trocado. Isso leva a complexidades específicas, como a necessidade de usar funções de Green acausais ou modelos de materiais reversos no tempo para formular soluções físicas.
• Acústica Reversa no Tempo Idealizada: O artigo estabelece que a reversão temporal ideal em um material variante no tempo envolve:
  1. Registrar um campo de onda e sua derivada temporal em uma versão reversa no tempo do material em um único instante de tempo.
  2. Emitir esses campos registrados (com o sinal da derivada temporal invertido) a partir de fontes nesse mesmo instante de tempo para o material real.
  3. O campo resultante focaliza em um instante de tempo futuro específico, atuando como uma fonte virtual.
• Recuperação da Função de Green: A recuperação da função de Green entre dois instantes de tempo ($t_A$ e $t$) é alcançada através da correlação cruzada espacial de campos de onda registrados nesses instantes, em resposta a fontes de dois componentes em um único instante de tempo anterior ($t'$).
• Validação Numérica: Os autores fornecem um exemplo numérico 2D de uma função de Green em um material variante no tempo constante por partes, ilustrando o espalhamento de ondas em fronteiras temporais (transmissão e reflexão) e validando os modelos de propagação teóricos.

Significado e Afirmações
O artigo afirma esclarecer o elo teórico entre a acústica reversa no tempo e a recuperação da função de Green no campo emergente de materiais variantes no tempo. Destaca que, embora esses métodos sejam variações da mesma representação homogênea da função de Green, a transição de materiais variantes no espaço para materiais variantes no tempo não é uma simples troca de variáveis devido a restrições de causalidade e dimensionalidade.

Os autores observam explicitamente que os métodos descritos para materiais variantes no tempo são "idealizados". Reconhecem que as realizações experimentais atuais (citando Fink e colegas) utilizam atalhos, como perturbações temporais impulsivas em materiais de outra forma invariantes no tempo, que atuam como fronteiras temporais para aproximar o processo ideal de reemissão. O artigo não propõe novos arranjos experimentais, mas fornece a base teórica que explica a relação entre essas técnicas clássicas e emergentes, observando que estender a recuperação da função de Green via correlação cruzada espacial de ruído ambiente para materiais variantes no tempo gerais permanece complexo e propenso a artefatos.