Safety Beyond the Training Data: Robust Out-of-Distribution MPC via Conformalized System Level Synthesis

1. Il Problema

La pianificazione e il controllo sicuri per sistemi robotici reali richiedono modelli dinamici precisi. Tuttavia, i modelli appresi dai dati (data-driven) sono inevitabilmente affetti da errori e incertezze, specialmente quando il sistema opera al di fuori della distribuzione dei dati di addestramento (Out-of-Distribution - OOD).
I metodi esistenti presentano diverse limitazioni:

• I pianificatori classici assumono modelli perfetti, ignorando l'errore.
• I metodi basati sull'apprendimento spesso sfruttano le imprecisioni del modello, portando a comportamenti insicuri.
• Gli approcci di controllo robusto esistenti (come il Tube MPC) spesso utilizzano limiti di errore fissi e spazialmente invarianti, risultando troppo conservativi o incapaci di guidare il sistema verso regioni a bassa incertezza.
• Molti metodi non forniscono garanzie formali di sicurezza quando il robot deve operare temporaneamente in regioni OOD (scarsità di dati).

L'obiettivo è sviluppare un framework che garantisca la sicurezza probabilistica e la robustezza anche quando il modello appreso viene utilizzato in regioni non coperte dai dati di addestramento, sfruttando al contempo le informazioni sulla densità dei dati per ottimizzare la traiettoria.

2. Metodologia: CP-SLS-MPC

Gli autori propongono CP-SLS-MPC, un pianificatore di movimento basato su ottimizzazione che combina tre pilastri fondamentali:

A. Conformal Prediction Ponderata (Weighted CP - WCP)

Per quantificare l'errore del modello appreso $\hat{f}$ rispetto alla dinamica vera $f$, il metodo utilizza la Conformal Prediction.

• Modelli di Incertezza Spaziale: Invece di usare un limite di errore fisso, viene addestrato un modello di incertezza (una rete neurale) che predice una matrice di covarianza $\Sigma(x, u)$ dipendente dallo stato e dal controllo. Questo permette di modellare come l'errore varia nello spazio.
• Calibrazione Ponderata: Viene utilizzata la WCP per calibrare i limiti di errore. A differenza della CP tradizionale (che assume scambiabilità dei dati), la WCP assegna pesi ai dati di calibrazione in base alla loro vicinanza (in termini di stato/controllo) al punto di test corrente.
• Risultato: Si ottengono insiemi di previsione ellissoidali adattivi che contengono l'errore del modello con una probabilità garantita ($1-\alpha$), anche in presenza di deriva distribuzionale (distribution shift).

B. System Level Synthesis (SLS)

Il framework integra i limiti di errore calibrati nella sintesi del controllo tramite SLS.

• Parametrizzazione Convessa: SLS permette di parametrizzare la risposta del sistema a ciclo chiuso come una funzione affine delle perturbazioni. Questo trasforma il problema di controllo robusto (non convesso) in un problema di ottimizzazione convessa.
• Tubi di Raggiungimento: Il metodo calcola "tubi" di raggiungimento (reachable tubes) che racchiudono tutte le possibili traiettorie del sistema vero, dati i limiti di errore.
• Vincoli Rinforzati: I vincoli di sicurezza vengono "rinforzati" (constraint tightening) per garantire che, anche con l'errore del modello, la traiettoria reale rimanga all'interno dei limiti ammissibili.

C. Formulazione MPC Robusta

Il problema di controllo predittivo (MPC) viene formulato come un programma non lineare (NLP) risolto efficientemente tramite Sequential Convex Programming (SCP):

• Ottimizzazione congiunta: Si ottimizzano simultaneamente la traiettoria nominale aperta (open-loop) e il controllore di inseguimento a ciclo chiuso.
• Riduzione Attiva dell'Incertezza: La funzione di costo include un termine che penalizza la distanza dai dati di calibrazione. Questo incentiva il pianificatore a scegliere traiettorie che passano attraverso regioni dove il modello è più accurato (riducendo l'incertezza), pur mantenendo la sicurezza.
• Aggiornamento Online: Il set di errore viene aggiornato in tempo reale con nuovi dati osservati, riducendo il "gap di copertura" e migliorando le prestazioni OOD.

3. Contributi Chiave

1. Metodo MPC basato su ottimizzazione rapida: Un approccio che garantisce la sicurezza probabilistica a campione finito per sistemi non lineari, utilizzando limiti di errore CP dipendenti da stato e controllo all'interno di un framework SLS.
2. Analisi Teorica: Dimostrazione di garanzie di sicurezza ad alta probabilità e delimitazione del "gap di copertura" (coverage gap) in scenari OOD, analizzando l'impatto della densità dei dati e delle dimensioni del tubo di traiettoria.
3. Validazione Empirica: Sperimentazione su sistemi non lineari complessi (un'auto 4D e un quadricottero 12D), dimostrando superiorità rispetto a baseline non robuste e a metodi con limiti di errore fissi, specialmente in scenari OOD.

4. Risultati Sperimentali

Gli esperimenti sono stati condotti su due scenari principali: un'auto Dubins (4D) e un quadricottero (12D).

• Confronto con Baseline:
  • Vanilla MPC (V-MPC): Non robusto, fallisce frequentemente in scenari OOD a causa dell'incapacità di gestire l'errore del modello.
  • CP-Ball: Utilizza limiti di errore sferici fissi. È più sicuro del V-MPC ma eccessivamente conservativo, portando a traiettorie meno efficienti.
  • CP-Ellipsoid (Metodo proposto): Utilizza limiti ellissoidali adattivi.
• Performance OOD:
  • Nel caso dell'auto con regioni OOD (es. attrito variabile o dinamica alterata), il metodo proposto ha evitato con successo gli ostacoli in tutti i tentativi, mentre V-MPC e CP-Ball hanno fallito in alcuni casi o mantenuto distanze di sicurezza insufficienti.
  • Il metodo ha mostrato una capacità di adattamento: all'inizio, con pochi dati di calibrazione, i tubi di incertezza sono più ampi (più conservativi), ma si restringono man mano che il sistema raccoglie dati online e si avvicina a regioni conosciute.
• Quadricottero 12D:
  • In uno scenario con una regione OOD sferica caratterizzata da accelerazione verso il basso, CP-Ellipsoid ha avuto successo nell'80% dei tentativi (8 su 10), contro il 40% di V-MPC.
  • Il metodo ha mantenuto una distanza di sicurezza sufficiente dagli ostacoli, dimostrando scalabilità a sistemi ad alta dimensionalità.
• Riduzione Attiva dell'Incertezza: L'aggiunta del termine di costo per la riduzione dell'incertezza ha portato a traiettorie più lisce e a una minore varianza dell'errore di previsione, guidando il sistema a evitare regioni ad alto rischio non necessario.

5. Significato e Impatto

Questo lavoro rappresenta un passo significativo verso il controllo sicuro basato sull'apprendimento per la robotica reale.

• Superamento del "Trusted Domain": A differenza dei metodi precedenti che costringono il robot a rimanere vicino ai dati di addestramento, CP-SLS-MPC permette l'operazione sicura anche in regioni OOD, gestendo l'incertezza in modo dinamico.
• Efficienza Computazionale: Nonostante la complessità teorica, l'uso di SCP e SLS rende il metodo sufficientemente veloce per il ri-pianificazione in tempo reale (circa 120-130 ms per passo su hardware consumer).
• Robustezza Garantita: Fornisce garanzie matematiche rigorose sulla probabilità di violazione dei vincoli, un requisito fondamentale per applicazioni critiche come la guida autonoma o la navigazione di droni in ambienti non strutturati.

In sintesi, il paper introduce un framework unificato che combina la flessibilità dell'apprendimento profondo con la rigore della teoria del controllo robusto e la garanzia statistica della Conformal Prediction, risolvendo il dilemma tra sicurezza e prestazioni in scenari di dati limitati o sconosciuti.