Fractal Sumudu Transform and Economic Models

Titolo: Trasformata di Sumudu Frattale e Modelli Economici

Autori: Krishna Mani Nath, Bipan Hazarika, Hemanta Kalita.

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1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro nasce dalla necessità di modellare sistemi economici complessi che presentano comportamenti irregolari, non lisci o con strutture autosimilari, caratteristiche che la geometria e il calcolo classico non riescono a descrivere adeguatamente.
In particolare, il paper affronta il problema della regolazione dei prezzi nei mercati competitivi. La domanda e l'offerta sono spesso influenzate da fattori storici e da aspettative degli agenti economici, creando dinamiche che richiedono strumenti matematici avanzati come la geometria frattale. L'obiettivo è analizzare l'equilibrio di mercato utilizzando derivate frattali, confrontando l'approccio classico (derivata di Caputo frattale) con un nuovo operatore proposto dagli autori.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio basato sul Calcolo Frattale e sulla Trasformata di Sumudu Frattale. La metodologia si articola in tre fasi principali:

• Definizione degli Strumenti Matematici:

  • Vengono richiamate le definizioni fondamentali della geometria frattale, inclusa la funzione a gradino frattale ($S^\alpha_F$) e la funzione di massa.
  • Viene introdotta la Trasformata di Sumudu Frattale ($S^\alpha_F$), un integrale definito su supporti frattali, e ne vengono stabilite le proprietà fondamentali, inclusa la relazione con la Trasformata di Laplace Frattale.
  • Vengono presentate le derivate frattali esistenti, in particolare la derivata di Caputo frattale e la derivata di Riemann-Liouville frattale, insieme alle loro trasformate.

• Proposta di un Nuovo Operatore:

  • Gli autori introducono una nuova derivata frattale senza nucleo singolare (non-singular kernel), denominata derivata frattale temporale wsk (wsk-fractal time derivative).
  • A differenza delle derivate di Riemann-Liouville e Caputo che utilizzano un nucleo di potenza (che presenta singolarità), la derivata wsk utilizza un nucleo esponenziale: $e^{-\frac{\gamma}{1-\gamma}S^\alpha_F(t)}$. Questo permette di modellare fenomeni con memoria non locale ma senza la singolarità al tempo zero.
  • Viene derivata la formula della trasformata di Sumudu per questa nuova derivata.

• Applicazione ai Modelli Economici:

  • Vengono formulati due scenari per l'equazione di aggiustamento dei prezzi $p(t)$:
    1. Senza aspettative: L'aggiustamento dipende solo dalla differenza tra domanda e offerta corrente.
    2. Con aspettative: L'aggiustamento tiene conto delle aspettative future degli agenti economici (introducendo termini aggiuntivi nei coefficienti).
  • Per ciascuno scenario, il modello viene risolto utilizzando sia la derivata di Caputo frattale che la nuova derivata wsk.

3. Risultati Chiave

A. Proprietà Matematiche della Nuova Derivata

• È stata dimostrata la linearità dell'operatore.
• È stata calcolata la trasformata di Sumudu della derivata wsk (Equazione 3.11):
  $$S [wskD^\gamma_F f(t)](v) = \frac{N(\gamma)}{1-\gamma} \left\{ \frac{S[f(t)](v) - f(0)}{1 + \frac{\gamma}{1-\gamma}S^\alpha_F(v)} \right\}$$
  dove $N(\gamma)$ è una funzione di normalizzazione tale che $N(0)=N(1)=1$.

B. Soluzioni dei Modelli Economici

Gli autori ottengono soluzioni analitiche esplicite per il prezzo $p(t)$ in funzione del tempo frattale.

1. Modello con Derivata di Caputo Frattale:

   • Le soluzioni sono espresse in termini della funzione di Mittag-Leffler frattale ($E^\alpha_F$).
   • Senza aspettative: $p(t)$ converge verso l'equilibrio seguendo un decadimento di tipo Mittag-Leffler.
   • Con aspettative: La dinamica è modificata dai coefficienti legati alle aspettative, ma mantiene la struttura di Mittag-Leffler.

2. Modello con Nuova Derivata wsk:

   • Le soluzioni sono espresse in termini di funzioni esponenziali frattali.
   • Senza aspettative: La soluzione (Eq. 3.24) mostra un comportamento esponenziale decrescente verso l'equilibrio, dove il tasso di decadimento dipende dai parametri del modello e dalla funzione di normalizzazione $N(\gamma)$.
   • Con aspettative: Anche in questo caso, la soluzione (Eq. 3.27) assume una forma esponenziale, ma con un tasso di crescita/decadimento diverso rispetto al caso Caputo, influenzato dai termini di aspettativa.

4. Contributi Principali

1. Introduzione della Derivata wsk: Definizione rigorosa di una nuova derivata frattale con nucleo non singolare (esponenziale), che offre un'alternativa matematica alle derivate con nucleo di potenza, potenzialmente più adatta a certi fenomeni fisici ed economici dove la singolarità non è fisicamente giustificata.
2. Sviluppo della Trasformata di Sumudu per Operatori Non Locali: Estensione della trasformata di Sumudu per gestire sia le derivate di Caputo che la nuova derivata wsk, fornendo uno strumento potente per la risoluzione di equazioni differenziali frattali.
3. Applicazione Economica Innovativa: Dimostrazione pratica dell'efficacia di questi operatori nel risolvere equazioni di aggiustamento dei prezzi. Il paper mostra come la scelta dell'operatore frattale (Caputo vs wsk) e la considerazione delle aspettative degli agenti influenzino la dinamica temporale verso l'equilibrio di mercato.

5. Significato e Conclusioni

Lo studio conclude che l'uso di operatori frattali non locali permette di descrivere le relazioni tra i fattori che influenzano l'equilibrio di mercato in modo più dettagliato e realistico rispetto ai modelli classici.

• La derivata di Caputo porta a soluzioni di tipo Mittag-Leffler, tipiche dei sistemi con memoria a lungo termine e decadimento lento.
• La nuova derivata wsk porta a soluzioni esponenziali, offrendo una flessibilità diversa nella modellazione della velocità di aggiustamento dei prezzi.

L'articolo sottolinea che la scelta dell'operatore matematico non è solo una questione tecnica, ma ha implicazioni significative sulla previsione del comportamento del mercato e sulla stabilità dei prezzi, specialmente in contesti dove le aspettative degli agenti giocano un ruolo cruciale. Questo lavoro apre la strada a ulteriori ricerche sull'uso di kernel non singolari nella modellazione economica frattale.