Asymptotic zero distribution of the polynomials $\widetildeΞ_n$

1. Problema e Contesto

Il lavoro si concentra sullo studio della distribuzione asintotica degli zeri reali di una specifica famiglia di polinomi, denotata come $\Xi_n$, introdotta in letteratura precedente [5] e [6]. Questi polinomi sono espressi in termini di polinomi di Eulero di tipo B.

L'oggetto principale dell'analisi è la famiglia riscalata definita come:
$$\tilde{\Xi}_n(x) := \Xi_n(\sqrt{x}), \quad n \ge 2.$$
È noto che $\tilde{\Xi}_n(x)$ è un polinomio reale di grado $n-1$ con tutti gli zeri reali nell'intervallo aperto $(0, 1)$. Il problema centrale è determinare il comportamento limite della distribuzione di questi zeri quando $n \to \infty$. Nello specifico, l'autore vuole identificare la misura di probabilità limite e la funzione di distribuzione associata agli zeri ordinati $0 < x_{n,1} \le \dots \le x_{n,n-1} < 1$.

2. Metodologia

L'approccio metodologico combina analisi complessa, teoria dei polinomi ortogonali (o simili) e trasformate di Stieltjes. I passaggi chiave sono:

• Rappresentazione tramite Polinomi di Eulero di Tipo B:
  L'autore utilizza la definizione esplicita di $\Xi_n$ in termini dei polinomi di Eulero di tipo B, $B_m(z)$. Viene introdotta una trasformazione di variabile $y(x) = \frac{-1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$ per collegare le radici di $\tilde{\Xi}_n$ alle proprietà dei polinomi $B_m$.

• Asintotica del Rapporto:
  Viene derivato un risultato asintotico per il rapporto tra polinomi di Eulero consecutivi di tipo B. Utilizzando un'integrazione di contorno (formula di Cauchy) e il teorema dei residui, si dimostra che per $x \in (0,1)$:
  $$\lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \frac{B_{m+1}(x)}{B_m(x)} = \frac{2(1-x)}{-\log x}.$$
  Questo risultato è fondamentale per analizzare il comportamento asintotico della derivata logaritmica dei polinomi.

• Derivata Logaritmica e Trasformata di Stieltjes:
  Si calcola la derivata logaritmica $\frac{\tilde{\Xi}'_n(z)}{\tilde{\Xi}_n(z)}$. La quantità normalizzata $s_n(z) = \frac{1}{n-1} \frac{\tilde{\Xi}'_n(z)}{\tilde{\Xi}_n(z)}$ è identificata come la trasformata di Stieltjes della misura empirica degli zeri $\mu_n$.
  $$s_n(z) = \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{z-x} \, d\mu_n(x).$$

• Convergenza della Trasformata:
  Utilizzando l'asintotica del rapporto dei polinomi di Eulero, si dimostra che la sequenza $s_n(z)$ converge localmente uniformemente a una funzione limite $s(z)$ analitica su $\mathbb{C} \setminus [0, 1]$.

• Inversione di Stieltjes:
  Applicando la formula di inversione di Stieltjes alla funzione limite $s(z)$, si ricava la densità della misura limite $\mu$.

3. Risultati Principali

A. Convergenza Debole (Teorema 2.2)

La sequenza delle misure empiriche degli zeri $\mu_n$ converge debolmente a una misura di probabilità deterministica $\mu$ supportata sull'intervallo $(0, 1)$. La densità di questa misura, $\rho(x)$, è data esplicitamente da:
$$\rho(x) = \frac{2}{\sqrt{x}(1-x) \left( \log^2 \left( \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \right) + \pi^2 \right)}, \quad 0 < x < 1,$$
e $\rho(x) = 0$ altrove.
La densità presenta una struttura "log-Cauchy" e diverge agli estremi dell'intervallo, ma in modi diversi.

B. Funzione di Distribuzione Limite (Teorema 2.3)

La funzione di distribuzione empirica $F_n(x)$ converge puntualmente alla funzione di distribuzione limite $F(x)$:
$$F(x) = \begin{cases} 0 & x \le 0 \\ \frac{2}{\pi} \arctan\left( \frac{1}{\pi} \log \frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} \right) & 0 < x < 1 \\ 1 & x \ge 1 \end{cases}$$

C. Comportamento Asintotico degli Zeri (Sezione 3)

L'analisi della densità $\rho(x)$ rivela due regimi distinti di accumulo degli zeri:

1. Vicino a 0 (Edge quadratico): La densità diverge come $x^{-1/2}$. Gli zeri più piccoli, $x_{k,n}$ (con $k$ fissato), si comportano come $O(n^{-2})$. In particolare, $x_{k,n} \sim \frac{\pi^4}{16} \frac{k^2}{n^2}$.
2. Vicino a 1 (Edge logaritmico): La densità diverge in modo più singolare a causa del termine logaritmico. Gli zeri più grandi si avvicinano a 1 a un tasso esponenziale in $n$. La distanza $1 - x_{k,n}$ decresce esponenzialmente, molto più velocemente di qualsiasi potenza di $n^{-1}$.

4. Contributi Chiave e Significato

• Estensione dei Risultati di Melotti: Il lavoro estende le ricerche di Paul Melotti sulla distribuzione delle radici dei polinomi di Eulero di tipo A al caso dei polinomi di tipo B.
• Formule Chiuse: Fornisce formule esplicite e non solo qualitative per la densità limite e la funzione di distribuzione, caratterizzate da una struttura analitica complessa (log-Cauchy).
• Conferma di Congetture: Conferma la congettura precedente secondo cui lo zero più piccolo tende a 0, specificando la scala esatta ($n^{-2}$) e il comportamento esponenziale degli zeri vicini a 1.
• Metodologia Robusta: Dimostra l'efficacia della combinazione tra identità di serie classiche, asintotica dei rapporti di polinomi e il metodo della trasformata di Stieltjes per studiare la distribuzione degli zeri di famiglie polinomiali complesse.
• Validazione Numerica: La sezione 4 conferma sperimentalmente la convergenza delle funzioni di distribuzione empiriche alla curva limite teorica anche per valori moderati di $n$, illustrando visivamente l'accumulo degli zeri agli estremi dell'intervallo.

In sintesi, il paper risolve completamente il problema della distribuzione asintotica degli zeri per la famiglia $\tilde{\Xi}_n$, fornendo una descrizione matematica precisa di come gli zeri si distribuiscono sull'intervallo unitario, evidenziando una dinamica asimmetrica e singolare agli estremi.