Schwinger-Keldysh field theory for operator Rényi entropy and entanglement growth in non-interacting systems with sub-ballistic transports

Titolo: Teoria di campo di Schwinger-Keldysh per l'entropia di Rényi degli operatori e la crescita dell'entanglement in sistemi non interagenti con trasporto sub-balistico

Autori: Priesh Roy e Sumilan Banerjee (Indian Institute of Science, Bangalore)

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1. Il Problema e il Contesto

L'indagine sulla propagazione dell'informazione quantistica, caratterizzata dalla crescita degli operatori e dall'entanglement degli stati quantistici sotto evoluzione temporale, è un'area cruciale nella fisica della materia condensata. Esiste una corrispondenza nota tra la dinamica dell'entanglement e i fenomeni di trasporto (es. diffusivo, balistico) in sistemi interagenti. Tuttavia, in sistemi non interagenti con trasporto sub-balistico (diffusivo anomalo, super-diffusivo) o localizzato, la relazione tra crescita dell'entanglement e trasporto è meno chiara e spesso limitata a simulazioni numeriche su sistemi piccoli.

Un problema specifico è la distinzione tra le misure di crescita degli operatori (come le correlazioni fuori dall'ordine temporale, OTOC) e l'entanglement di stato. Le misure standard di entanglement dipendono dallo stato iniziale, mentre le OTOC non catturano facilmente le informazioni spaziali locali. Gli autori mirano a colmare questo divario definendo una misura indipendente dallo stato per la crescita degli operatori che possa collegarsi direttamente al trasporto di quantità conservate.

2. Metodologia

A. Definizione dell'Entropia di Rényi dell'Operatore

Gli autori introducono una nuova quantità: l'entropia di Rényi dell'operatore di sottosistema ($S^{(2)}_{O_A}(t)$).

• Definizione: Si considera un operatore locale $O$ (es. numero di particelle su un sito) evoluto nel tempo $O(t) = e^{iHt}Oe^{-iHt}$. Si traccia parzialmente su un sottosistema $B$ per ottenere un operatore ridotto $\rho_{O_A}(t) = \text{Tr}_B[O(t)]/Z_O$.
• Entropia: $e^{-S^{(2)}_{O_A}(t)} = \text{Tr}_A[\rho_{O_A}^2(t)]$.
• Vantaggio: A differenza dell'entanglement di stato, questa quantità è indipendente dallo stato iniziale e codifica informazioni sia spaziali (posizione dell'operatore) che temporali, fungendo da sonda diretta per il trasporto.

B. Formalismo Teorico di Campo di Schwinger-Keldysh (SK)

Per calcolare l'evoluzione temporale di queste entropie in sistemi non interagenti (fermioni), gli autori sviluppano un formalismo unificato di teoria di campo di Schwinger-Keldysh:

1. Rappresentazione Path-Integral: Utilizzano l'identità che lega la traccia parziale al quadrato di un operatore a un'integrale sui cammini coerenti fermionici, introducendo variabili di Grassmann ausiliarie.
2. Funzioni di Green: Derivano espressioni analitiche per:
   • L'entropia di Rényi dell'operatore in termini di funzioni di Green a temperatura infinita (per l'operatore).
   • L'entropia di entanglement di stato in termini di funzioni di Green nel vuoto (per stati iniziali puri, come lo stato di Néel).
3. Matrici di Correlazione: Le entropie sono espresse tramite il tracciato logaritmico di matrici di correlazione costruite dalle funzioni di Green a singola particella. Questo permette un calcolo efficiente su sistemi di grandi dimensioni, evitando la diagonalizzazione esatta dello spazio di Hilbert completo (che è esponenzialmente costoso).

3. Risultati Principali

Gli autori applicano il metodo a tre modelli non interagenti:

1. Modello 1D Aubry-André (AA): Quasiperiodico.
2. Modello 2D Aubry-André (AA): Generalizzazione bidimensionale.
3. Modello di Anderson 2D: Con disordine casuale.

A. Dinamica dell'Entropia dell'Operatore e Tempi di Saturazione

• Fase Metallica (Balistica): L'entropia dell'operatore cresce inizialmente, poi satura. Il tempo di saturazione $t_{sat}$ scala con la dimensione del sistema $L$ come $t_{sat} \sim L^\alpha$ con $\alpha \approx 1$ (trasporto balistico).
• Punto Critico (Diffusivo/Sub-diffusivo): Nel punto critico del modello AA ($V=1$), la crescita è più lenta e il tempo di saturazione scala come $t_{sat} \sim L^2$, indicando un comportamento diffusivo/near-diffusivo.
• Fase Isolante (Localizzata): In presenza di localizzazione forte, l'entropia dell'operatore non cresce significativamente dopo il tempo iniziale, riflettendo l'assenza di trasporto.
• Confronto 2D: Nel modello 2D AA, si osserva una transizione da comportamento balistico a super-diffusivo nella fase metallica, e diffusivo al punto critico.

B. Dinamica dell'Entanglement di Stato

• Gli stati iniziali (es. stato di Néel) mostrano una crescita dell'entanglement (von Neumann e Rényi) che riflette il trasporto sottostante.
• Regimi Temporali:
  • Tempi Microscopici: Crescita "super-balistica" (es. $\sim t^{1.5}$ o $\sim t^2$) dovuta alla creazione locale di coppie di quasiparticelle.
  • Tempi Intermedi: La crescita segue il regime di trasporto: $\sim t$ (balistico), $\sim \sqrt{t}$ (diffusivo), o $\sim t^\alpha$ con $0.5 < \alpha < 1$ (super-diffusivo).
• Scalatura: I tempi di saturazione dell'entanglement di stato mostrano la stessa dipendenza da $L$ ($\alpha \approx 1$ o $2$) dell'entropia dell'operatore, confermando la connessione tra i due fenomeni.

C. Comportamento dei Valori di Schmidt

Un risultato fondamentale riguarda i valori di Schmidt della matrice densità ridotta:

• Sistemi Non Interagenti: Tutti i valori di Schmidt (sia il massimo che quelli tipici) decadono con lo stesso tasso temporale che caratterizza il trasporto (es. esponenziale $\sim e^{-t}$ per balistico, $\sim e^{-\sqrt{t}}$ per diffusivo).
• Contrasto con Sistemi Interagenti: A differenza dei sistemi interagenti diffusi, dove solo il valore di Schmidt massimo decade diffusivamente mentre gli altri decadono balisticamente, nei sistemi non interagenti non c'è distinzione tra i decadimenti dei valori massimi e tipici. Tutti seguono la dinamica di trasporto del sistema.

4. Contributi Chiave e Significato

1. Nuova Sonda di Trasporto: L'entropia di Rényi dell'operatore di sottosistema è proposta come una misura robusta e indipendente dallo stato per diagnosticare la natura del trasporto (balistico, diffusivo, localizzato) in sistemi quantistici.
2. Formalismo Unificato: Lo sviluppo di una teoria di campo di Schwinger-Keldysh che tratta simultaneamente l'evoluzione degli operatori e degli stati in un unico quadro matematico, permettendo calcoli efficienti su grandi sistemi.
3. Connessione Trasporto-Entanglement: Dimostrazione che la crescita dell'entanglement e la dinamica degli operatori sono strettamente legate alla fisica del trasporto anche in regimi anomali (sub-diffusivi, super-diffusivi) in sistemi non interagenti.
4. Universalità del Decadimento di Schmidt: La scoperta che, nei sistemi non interagenti, l'intero spettro di Schmidt eredita la dinamica di trasporto, a differenza della dicotomia osservata nei sistemi interagenti.
5. Scalabilità: Il metodo basato sulle funzioni di Green a singola particella permette di studiare sistemi molto più grandi rispetto alle tecniche di diagonalizzazione esatta, rendendo possibile l'analisi di regimi di scala termodinamica.

Conclusione

Il lavoro stabilisce un ponte quantitativo solido tra la propagazione dell'informazione quantistica (misurata tramite entropie di operatori e stati) e le proprietà di trasporto convenzionali. Il formalismo sviluppato offre uno strumento potente per investigare la dinamica fuori dall'equilibrio in sistemi complessi e apre la strada a estensioni verso sistemi interagenti tramite approssimazioni di campo medio o tecniche non perturbative.