Schwinger-Keldysh field theory for operator Rényi entropy and entanglement growth in non-interacting systems with sub-ballistic transports

Título: Teoria de Campo de Schwinger-Keldysh para Entropia de Rényi de Operadores e Crescimento de Emaranhamento em Sistemas Não Interagentes com Transporte Sub-Balístico

Autores: Priesh Roy e Sumilan Banerjee (Centro de Teoria de Matéria Condensada, IISc, Bangalore, Índia).

1. O Problema

A investigação da propagação de informação quântica, caracterizada pelo crescimento de operadores e pelo emaranhamento de estados quânticos sob evolução temporal, é uma área central na física da matéria condensada. Existe uma correspondência conhecida entre o transporte de quantidades conservadas e o crescimento do emaranhamento de estados:

• Em sistemas interagentes difusivos, a entropia de emaranhamento de von Neumann cresce de forma balística ($\sim t$), enquanto as entropias de Rényi ($n>1$) crescem de forma difusiva ($\sim \sqrt{t}$).
• Em sistemas integráveis limpos, ambos crescem balisticamente.

No entanto, há uma lacuna no entendimento de como essa correspondência se comporta em sistemas que exibem transporte sub-balístico (como difusão anômala, super-difusão ou sub-difusão) e transições de localização, especialmente em sistemas não interagentes com desordem ou quasiperiodicidade. Além disso, as medidas tradicionais de crescimento de operadores, como correlatores fora da ordem temporal (OTOC), muitas vezes não capturam informações espaciais específicas ou dependem do estado inicial.

O objetivo deste trabalho é definir uma medida de crescimento de operador que seja independente do estado e que capture diretamente as características de transporte (balístico, difusivo, sub-difusivo, localizado) em sistemas não interagentes de dimensões 1D e 2D.

2. Metodologia

Os autores desenvolveram uma abordagem teórica unificada baseada na Teoria de Campo de Schwinger-Keldysh (SK) para calcular a evolução temporal de duas quantidades principais:

1. Entropia de Rényi de Operador de Sub-sistema ($S^{(2)}_{O_A}(t)$):

   • Definida como a entropia de Rényi de segunda ordem do operador parcial traçado sobre o subsistema B: $\rho_{O_A}(t) = \text{Tr}_B[O(t)] / Z_O$.
   • Diferente de medidas usuais, esta é independente do estado inicial e codifica informações espaciais sobre a localização do operador local $O$.
   • Para sistemas não interagentes, os autores derivam uma expressão fechada para esta entropia em termos de funções de Green de Keldysh de temperatura infinita (para o operador).

2. Entropias de Emaranhamento de Estado ($S^{(2)}_A(t)$ e $S_A(t)$):

   • Calculadas para estados puros iniciais (produto de ocupação, como o estado de Néel).
   • Derivadas em termos de funções de Green de vácuo de Keldysh.

Formalismo Unificado:

• Utilizam integrais de caminho de estados coerentes para fermions.
• Empregam operadores de deslocamento fermiónicos para lidar com o traço parcial e o quadrado da matriz densidade reduzida (ou operador reduzido).
• A teoria de campo SK é construída em um contorno fechado no tempo, permitindo o cálculo eficiente de grandes sistemas sem a necessidade de diagonalização exata completa do espaço de Hilbert many-body (que seria computacionalmente proibitivo para sistemas grandes).
• As expressões finais para as entropias são obtidas através de matrizes de correlação construídas a partir das funções de Green de partícula única.

3. Contribuições Principais

• Definição de uma Nova Métrica: Propõem a Entropia de Rényi de Operador de Sub-sistema ($S^{(2)}_{O_A}$) como um diagnóstico robusto e independente do estado para o crescimento de operadores e transporte.
• Formalismo Teórico Unificado: Desenvolvem uma formulação de teoria de campo SK que trata simultaneamente o crescimento de entropia de operadores e de estados em sistemas não interagentes, conectando-os diretamente às funções de Green de Keldysh.
• Análise de Transporte Anômalo: Demonstram que tanto o crescimento de entropia de operadores quanto o de estados podem distinguir entre regimes balísticos, difusivos, super-difusivos e sub-difusivos, bem como fases localizadas.
• Comportamento dos Valores de Schmidt: Mostram que, em sistemas não interagentes, todos os valores de Schmidt (eigenvalores da matriz de densidade reduzida) decaem seguindo o mesmo comportamento de transporte (balístico ou sub-balístico), ao contrário de sistemas interagentes difusivos onde apenas o valor máximo de Schmidt decai difusivamente.

4. Resultados

Os autores aplicaram o formalismo a três modelos:

1. Modelo de Aubry-André 1D (Quasiperiódico):

   • Fase Metálica (V < 1): Transporte balístico. A entropia do operador cresce logaritmicamente após um tempo de início e satura. O tempo de saturação escala como $t_{sat} \sim L^1$. As entropias de estado crescem balisticamente ($\sim t$) após um regime inicial super-balístico.
   • Ponto Crítico (V = 1): Transporte sub-difusivo/nearly difusivo. O tempo de saturação escala como $t_{sat} \sim L^2$ (difusivo). O crescimento das entropias de estado segue $\sim \sqrt{t}$.
   • Fase Isolante (V > 1): Localizado. Não há crescimento significativo da entropia do operador.

2. Modelo de Aubry-André 2D:

   • Capturam uma transição de balístico para super-difusivo na fase metálica e transporte sub-difusivo no ponto crítico.
   • Observaram comportamentos anômalos (super-balísticos) para pequenos valores de potencial em modelos sem hopping de próximo vizinho, atribuídos a singularidades de van Hove, que são corrigidos ao adicionar hopping de segundo vizinho.

3. Modelo de Anderson 2D (Desordem Aleatória):

   • No regime difusivo finito ($\ell \ll L \ll \xi$), as entropias exibem crescimento difusivo ($\sim \sqrt{t}$) e o tempo de saturação escala como $L^2$.

Descoberta Chave sobre Valores de Schmidt:
Em contraste com sistemas interagentes, onde há uma dicotomia entre o decaimento do valor de Schmidt máximo (difusivo) e os típicos (balísticos), nos sistemas não interagentes estudados, todos os valores de Schmidt decaem com a mesma lei de potência característica do transporte (ex: $\ln \Lambda \sim -t$ para balístico, $\ln \Lambda \sim -\sqrt{t}$ para difusivo, $\ln \Lambda \sim -t^{0.6}$ para super-difusivo).

5. Significado e Implicações

• Diagnóstico de Transporte: A entropia de Rényi de operador oferece uma ferramenta poderosa para diagnosticar a natureza do transporte (balístico vs. sub-balístico) em sistemas quânticos, sendo particularmente útil em regimes onde o transporte de estado pode ser ambíguo ou difícil de interpretar.
• Conexão Informação-Transporte: O trabalho solidifica a ligação entre a propagação de informação quântica (emaranhamento/crescimento de operadores) e as propriedades de transporte macroscópico, mesmo em regimes de transporte anômalo.
• Escalabilidade: O método baseado em funções de Green permite o estudo de sistemas de tamanho consideravelmente maior do que o possível com diagonalização exata, tornando viável a análise de regimes de transporte em 2D.
• Extensibilidade: O formalismo de Schwinger-Keldysh desenvolvido é geral e pode ser estendido para sistemas interagentes através de aproximações (como DMFT ou RPA), abrindo caminho para o estudo de transporte anômalo em sistemas de muitos corpos interagentes complexos.

Em resumo, o artigo estabelece uma ponte teórica e computacional robusta entre a dinâmica de informação quântica e o transporte de matéria em sistemas desordenados e quasiperiódicos, fornecendo novas ferramentas analíticas para entender a localização e a difusão anômala.