On the Chow ring of double EPW quartics

1. Il Problema e il Contesto

L'articolo si inserisce nel campo della geometria algebrica, specificamente nello studio dei cicli algebrici sulle varietà iperkahleriane (varietà complesse compatte, semplicemente connesse, dotate di una forma simplettica olomorfa unica a meno di scalari).

Il problema centrale riguarda la struttura dell'anello di Chow $CH^*(Y)$ di tali varietà e la sua relazione con la coomologia. In particolare, l'autore affronta due congetture fondamentali:

• La congettura di Beauville-Voisin: Afferma che il sottomodulo dell'anello di Chow generato dai divisori e dalle classi di Chern si mappa in modo iniettivo nella coomologia tramite la mappa delle classi di ciclo.
• La proprietà di Franchetta: Afferma che per una famiglia completa di varietà iperkahleriane, i cicli definiti genericamente (pullback di cicli dalla famiglia universale) si mappano in modo iniettivo nella coomologia.

Sebbene queste congetture siano state dimostrate per casi noti come gli schemi di Hilbert di punti su superfici K3 e le varietà di Fano delle rette su quartiche cubiche, rimangono aperte per altre classi, tra cui le quartiche EPW doppie (Double EPW quartics). Queste sono varietà iperkahleriane di dimensione 4, di tipo $K3^{[2]}$, introdotte da Iliev, Kapustka, Kapustka e Ranestad.

2. Metodologia

L'autore utilizza una combinazione di tecniche geometriche avanzate e teoria dei cicli algebrici, sfruttando le tre diverse realizzazioni geometriche delle quartiche EPW doppie ($Y$):

1. Come base di un fibrato $\mathbb{P}^1$: $Y$ è la base di un fibrato $\alpha: F(X) \to Y$, dove $F(X)$ è lo schema di Hilbert delle coniche $(1,1)$ su una quattrovarietà di Verra $X$.
2. Come rivestimento doppio: $Y$ è un rivestimento doppio ramificato di una loci di degenerazione lagrangiana $D^A_1$.
3. Come spazio di moduli: $Y$ è isomorfo a uno spazio di moduli di fasci stabili twistati su una superficie K3.

La metodologia si articola nei seguenti passaggi chiave:

• Studio della Proprietà di Franchetta: Si dimostra che la famiglia delle quartiche EPW doppie soddisfa la proprietà di Franchetta, sfruttando il fatto che sono spazi di moduli di oggetti stabili su superfici K3 e utilizzando risultati sulla motivica di tali spazi.
• Varietà di Incidenza: Si analizza la varietà di incidenza $I_F \subset F(X) \times F(X)$ delle coniche che si intersecano. L'autore calcola le auto-intersezioni di questa varietà e ne spinge la relazione nell'anello di Chow di $Y \times Y$.
• Corrispondenze e Isomorfismi: Si definisce una corrispondenza $\Psi$ indotta dalla conica universale tra $CH_0(Y)$ e $CH_1(X)$. Si dimostra che questa induce un isomorfismo tra la parte anti-invariante di $CH_0(Y)$ rispetto all'involuzione $\iota$ e la parte omologicamente nulla di $CH_1(X)$.
• Superfici a Ciclo Costante: Si studia il luogo fisso $Z$ dell'involuzione anti-simplessica $\iota$ su $Y$. Si dimostra che $Z$ è una superficie a ciclo costante, ovvero tutti i punti su $Z$ hanno la stessa classe in $CH_0(Y)$.
• Filtrazione di Bloch-Beilinson: Si verifica la suriettività del prodotto di moltiplicazione sulla parte più profonda della filtrazione congetturale di Bloch-Beilinson, utilizzando il pairing di intersezione.

3. Contributi Chiave e Risultati Principali

Il lavoro fornisce risultati definitivi per le quartiche EPW doppie, estendendo la comprensione delle congetture di Beauville-Voisin e Franchetta a questa classe di varietà.

A. Validità della Congettura di Beauville-Voisin-Franchetta

Teorema 1.3 (Teorema 7.8): Per una quartica EPW doppia $Y$, la mappa delle classi di ciclo è iniettiva quando ristretta al sottomodulo generato dai divisori e dai cicli definiti genericamente.
$$cl: \langle CH^1(Y), GDCH^*(Y) \rangle \hookrightarrow H^*(Y, \mathbb{Q})$$
Questo stabilisce che la struttura dell'anello di Chow è "buona" e controllata dalla coomologia per questa classe di varietà.

B. La Classe di Beauville-Voisin e la Superficie Fissa

Teorema 1.4 (Teorema 5.3): Il luogo fisso $Z$ dell'involuzione $\iota$ è una superficie a ciclo costante. Di conseguenza, la classe di Beauville-Voisin $o_Y$ (l'unica classe di 0-ciclo generata dai divisori) è rappresentata da qualsiasi punto su $Z$.
Questo è un risultato geometrico forte: non solo esiste una classe speciale, ma è geometricamente realizzabile su una sottovarietà specifica e ben definita.

C. Relazioni tra $Y$ e la Quattrovarietà di Verra $X$

L'autore stabilisce un isomorfismo fondamentale tra i cicli di $Y$ e quelli della varietà associata $X$:
$$CH_0(Y)^-_{\text{hom}} \xrightarrow{\sim} CH_1(X)_{\text{hom}}$$
dove l'indice $-$ indica la parte anti-invariante rispetto all'involuzione. Questo isomorfismo è indotto dalla conica universale. Inoltre, si dimostra che la moltiplicazione per il quadrato della polarizzazione $h^2$ induce un isomorfismo tra $CH_2(Y)^-_{\text{hom}}$ e $CH_0(Y)^-$.

D. Struttura della Filtrazione e Moltiplicatività

Teorema 1.7 (Teorema 6.2): Si dimostra che la moltiplicazione
$$CH_2(Y)^-_{\text{hom}} \otimes CH_2(Y)^-_{\text{hom}} \to CH_0(Y)^+_{\text{hom}}$$
è suriettiva. Questo conferma una previsione della congettura di Bloch-Beilinson per la parte più profonda della filtrazione, analogamente a quanto noto per le varietà di Fano delle rette su cubiche.

E. Estensione alle Sextiche EPW Doppie

Nell'Appendice A, l'autore adatta le tecniche sviluppate per le quartiche al caso delle sestiche EPW doppie (associate a varietà di Gushel-Mukai), dimostrando risultati analoghi sulla moltiplicatività e sugli isomorfismi, nonostante la proprietà di Franchetta non sia ancora nota per quest'ultime.

4. Significato e Impatto

Questo lavoro è significativo per diversi motivi:

1. Completamento del quadro: Colma una lacuna importante nella teoria dei cicli algebrici sulle varietà iperkahleriane, trattando un caso che non può essere studiato con le tecniche tradizionali usate per gli schemi di Hilbert (mancanza di una struttura di "punti su superficie" diretta).
2. Metodologia Geometrica: Dimostra l'efficacia di utilizzare la geometria delle coniche su varietà di Verra e le involuzioni anti-simplessiche per analizzare la struttura dell'anello di Chow. L'uso della varietà di incidenza e delle corrispondenze è un modello per futuri studi su varietà con involuzioni.
3. Conferma delle Congetture: Fornisce una conferma solida della congettura di Beauville-Voisin e della proprietà di Franchetta per una nuova famiglia di varietà, rafforzando l'ipotesi che queste congetture siano universali per le varietà iperkahleriane.
4. Connessione con la Teoria dei Motivi: I risultati sugli isomorfismi tra i gruppi di Chow e le decomposizioni dei motivi (Teorema 5.6 e Corollario 5.12) offrono una comprensione più profonda della motivica trascendente di queste varietà, collegandole direttamente a quella delle varietà di Verra.

In sintesi, Mazzanti fornisce una descrizione dettagliata e rigorosa dell'anello di Chow delle quartiche EPW doppie, dimostrando che la loro struttura ciclica è governata dalle stesse leggi fondamentali che regolano le varietà iperkahleriane più studiate, utilizzando un approccio geometrico innovativo basato sulle coniche e sulle involuzioni.