Brauer group of moduli of stable parabolic $\text{SL}(r,\mathbb{C})$ and $\text{PGL}(r,\mathbb{C})$-connections and Higgs bundles over a curve

1. Problema e Contesto

Il lavoro si concentra sul calcolo dei gruppi di Brauer di specifici spazi di moduli associati a curve di Riemann compatte $X$ di genere $g \ge 3$. Il gruppo di Brauer di una varietà algebrica (o stack) è un invariante fondamentale che misura l'ostacolo all'esistenza di un fascio vettoriale universale e gioca un ruolo cruciale nelle questioni di razionalità.

Gli oggetti di studio sono:

1. Connessioni paraboliche stabili per il gruppo $SL(r, \mathbb{C})$ con determinante fissato $\xi$.
2. Fasci di Higgs parabolicamente forti stabili per il gruppo $SL(r, \mathbb{C})$ con determinante fissato $\xi$.
3. Lo stack di moduli delle connessioni paraboliche stabili per il gruppo $PGL(r, \mathbb{C})$ e la relazione tra il suo gruppo di Brauer e quello della sua parte liscia dello spazio di moduli grezzo (coarse moduli space).

I dati parabolici sono definiti da un insieme finito di punti $S = \{x_1, \dots, x_n\} \subset X$, un sistema di molteplicità $m$ (che definisce la struttura della bandiera) e un sistema di pesi $\alpha$.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio geometrico e coomologico basato su diverse tecniche avanzate:

• Analisi della Struttura degli Spazi di Moduli: Si utilizza la costruzione degli spazi di moduli di connessioni paraboliche (di Inaba e Saito) e dei fasci di Higgs. Si dimostra che, sotto l'ipotesi di pesi generici, gli spazi di moduli sono varietà quasi-proiettive lisce e irriducibili.
• Riduzione al Fascio Vettoriale Sottostante: Si sfrutta il fatto che lo spazio di moduli delle connessioni (o dei fasci di Higgs) è strettamente legato allo spazio di moduli dei fasci vettoriali parabolicamente stabili sottostanti. In particolare, per i fasci di Higgs, lo spazio di moduli contiene come sottoinsieme aperto denso il fibrato cotangente dello spazio di moduli dei fasci vettoriali.
• Successione Spettrale e Purezza Cohomologica: Per calcolare il gruppo di Brauer, si utilizza la successione esatta a cinque termini associata alla successione spettrale di Leray per la mappa di proiezione dallo spazio delle connessioni allo spazio dei fasci vettoriali. Si applica inoltre il teorema di purezza coomologica per i gruppi di Brauer, che afferma che se una varietà liscia $Y$ contiene un sottinsieme chiuso $Z$ di codimensione $\ge 2$, allora $Br(Y) \cong Br(Y \setminus Z)$.
• Stime di Dimensione del Luogo dei Punti Fissi: Per il caso $PGL(r, \mathbb{C})$, si analizza l'azione del gruppo dei fasci di linea $r$-torsionali $\Gamma$ sullo spazio di moduli $SL(r, \mathbb{C})$. Si stima la codimensione del luogo dei punti fissi di questa azione (luogo dei punti singolari dello stack) per dimostrare che è sufficientemente alta da non influenzare il gruppo di Brauer.

3. Risultati Principali

Il paper stabilisce i seguenti teoremi fondamentali:

Teorema 1: Gruppo di Brauer per $SL(r, \mathbb{C})$

Sia $\mathcal{M}_{pc}^{m, \alpha}(r, \xi)$ lo spazio di moduli delle connessioni paraboliche stabili e $\mathcal{M}_{Higgs}^{m, \alpha}(r, \xi)$ quello dei fasci di Higgs parabolicamente forti stabili, entrambi con determinante $\xi$, rango $r$ e dati parabolici $(m, \alpha)$ generici.
Il gruppo di Brauer di entrambi gli spazi è isomorfo al gruppo ciclico:
$$Br(\mathcal{M}) \cong \mathbb{Z}/\nu\mathbb{Z}$$
dove $\nu$ è il massimo comun divisore:
$$\nu = \gcd(r, d, m_1^1, m_1^2, \dots, m_{\ell_1}^1, \dots, m_{\ell_n}^n)$$
con $d = \deg(\xi)$ e $m_j^i$ le molteplicità dei pesi nei punti parabolici.
Nota: Questo risultato estende lavori precedenti ([BBS, BD]) dal caso dei fasci vettoriali e delle connessioni logaritmiche al caso generale delle connessioni paraboliche e dei fasci di Higgs.

Teorema 2: Gruppo di Brauer per $PGL(r, \mathbb{C})$

Sia $\mathcal{N}_{pc}^{m, \alpha}(r, i)$ lo stack di moduli delle connessioni paraboliche stabili $PGL(r, \mathbb{C})$ di tipo topologico $i$, e sia $\mathcal{N}_{pc}^{m, \alpha}(r, i)^{sm}$ la sua parte liscia (il luogo dove lo stack è un'orbita libera).
Il teorema stabilisce l'isomorfismo:
$$Br(\mathcal{N}_{pc}^{m, \alpha}(r, i)) \cong Br(\mathcal{N}_{pc}^{m, \alpha}(r, i)^{sm})$$
Ciò significa che le singolarità dello stack (dovute all'esistenza di automorfismi non banali o punti fissi sotto l'azione di $\Gamma$) non contribuiscono al gruppo di Brauer, poiché il loro luogo ha codimensione almeno 3.

4. Dettagli Tecnici e Dimostrazioni Chiave

• Dimostrazione per $SL(r, \mathbb{C})$:
  Si considera la mappa di forgetful $\pi: U \to \mathcal{N}^{m, \alpha}(r, \xi)$, dove $U$ è l'aperto dello spazio di moduli delle connessioni il cui fascio sottostante è stabile. Si dimostra che $U$ è un torsore affine sotto il fibrato cotangente $T^*\mathcal{N}^{m, \alpha}(r, \xi)$. Poiché le fibre sono spazi affini, la coomologia di $\mathcal{O}^*$ (e quindi il gruppo di Brauer) si preserva: $Br(U) \cong Br(\mathcal{N}^{m, \alpha}(r, \xi))$. Successivamente, si dimostra che il complementare $Z$ (dove il fascio sottostante non è stabile) ha codimensione $\ge 2$ (per $g \ge 3$ e $r \ge 2$), permettendo di estendere l'isomorfismo all'intero spazio di moduli. Il risultato finale dipende dal calcolo noto del gruppo di Brauer dello spazio di moduli dei fasci vettoriali parabolicamente stabili.

• Dimostrazione per $PGL(r, \mathbb{C})$:
  Si definisce un'azione del gruppo $\Gamma = \{L \in Pic(X) \mid L^{\otimes r} \cong \mathcal{O}_X\}$ sullo spazio di moduli $SL(r, \mathbb{C})$ tramite il prodotto tensoriale con un fascio di linea $L$ dotato di una connessione canonica (esistente grazie al Lemma 6.1).
  Lo stack $PGL$ è il quoziente di questo spazio per l'azione di $\Gamma$.
  Il punto cruciale è la Proposizione 6.2 e il Corollario 6.4: si dimostra che il luogo dei punti fissi dell'azione di $\Gamma$ (che corrisponde ai punti singolari dello stack) ha codimensione almeno 3 nello spazio di moduli $SL(r, \mathbb{C})$.
  Grazie alla purezza coomologica, rimuovere un insieme di codimensione $\ge 3$ non cambia il gruppo di Brauer. Poiché l'azione è libera su un aperto $U$ con complementare di codimensione $\ge 3$, il gruppo di Brauer dello stack è isomorfo a quello del quoziente liscio.

5. Significato e Implicazioni

1. Generalizzazione: Il lavoro generalizza risultati noti sulla coomologia degli spazi di moduli di fasci vettoriali e fasci di Higgs al contesto più ricco delle connessioni paraboliche, che sono fondamentali nella teoria delle equazioni differenziali lineari con singolarità regolari.
2. Relazione tra SL e PGL: Fornisce una comprensione chiara della relazione tra gli spazi di moduli per i gruppi $SL(r, \mathbb{C})$ e $PGL(r, \mathbb{C})$ in termini di invarianti coomologici superiori (gruppi di Brauer), confermando che le "singolarità" dello stack non introducono nuovi ostacoli alla presenza di fasci universali locali.
3. Strumenti Geometrici: La stima della codimensione del luogo dei punti fissi (Corollario 6.4) è un risultato tecnico di per sé, che potrebbe essere applicato ad altri problemi riguardanti l'azione di gruppi di torsione su spazi di moduli di connessioni.
4. Applicazioni Future: La conoscenza del gruppo di Brauer è essenziale per lo studio della razionalità degli spazi di moduli e per la costruzione di fasci universali, che sono strumenti chiave nella geometria algebrica e nella teoria di gauge.

In sintesi, il paper completa il quadro degli invarianti di Brauer per le principali varietà di moduli associate a curve di Riemann con struttura parabolica, fornendo formule esplicite e dimostrando la stabilità di questi invarianti rispetto alle transizioni tra gruppi strutturali ($SL \to PGL$) e tra diversi tipi di oggetti geometrici (fasci, Higgs, connessioni).