The completion of the set of Lagrangians and applications to dynamics -- Based on lectures by C. Viterbo

Queste note, basate sulle lezioni di C. Viterbo, introducono il completamento dello spazio delle sottovarietà lagrangiane rispetto alla metrica spettrale, ne esplorano le proprietà fondamentali attraverso il concetto di $\gamma$-supporto e ne illustrano le applicazioni alla dinamica conforme-simplettica, generalizzando il concetto di attrattore di Birkhoff.

L'essenziale

Immagina di avere un universo fatto di forme geometriche perfette, chiamate Lagrangiane. Queste forme vivono in uno spazio speciale chiamato "spazio simplettico", che è un po' come un universo di specchi e liquidi dove le leggi della fisica (in particolare quelle della meccanica quantistica e classica) giocano in modo molto particolare.

Il problema è che queste forme perfette sono fragili. Se provi a muoverle o a deformarle un po' troppo, potrebbero rompersi o diventare "sporche" e perdere la loro definizione matematica precisa. È come cercare di disegnare una linea perfetta su un foglio di carta che si sta sgualcendo: alla fine, la linea diventa un ammasso confuso.

Ecco di cosa parla questo documento, spiegato come se fosse una storia:

1. Il Problema: Le Forme che "Scompaiono"

Gli scienziati (in particolare un matematico di nome Viterbo e i suoi colleghi) volevano capire cosa succede a queste forme perfette quando le spingiamo al limite. Immagina di avere una gomma da cancellare (una Lagrangiana) e di volerla schiacciare sempre di più contro un'altra. A un certo punto, la gomma si sbriciola. La domanda è: dove finisce la sua "essenza"?

Per rispondere, hanno creato una nuova "lente" matematica, chiamata metrica spettrale. È come se avessero un righello speciale che non misura solo la distanza fisica, ma anche quanto "energia" serve per trasformare una forma nell'altra.

2. La Soluzione: Il "Completamento" (Il Magazzino delle Forme)

Hanno scoperto che se usano questo righello speciale, le forme che si rompono non spariscono davvero. Finiscono in un magazzino segreto chiamato "completamento".
In questo magazzino, ci sono oggetti che non sono più forme lisce e perfette, ma sono come nuvole di polvere o frattali complessi. Sono le "ombre" o le "cicatrici" delle forme originali.

Per capire dove si trova questa polvere, hanno inventato un concetto chiamato $\gamma$-supporto (gamma-supporto).

• L'analogia: Immagina di avere un oggetto invisibile. Non puoi vederlo, ma se provi a spostarlo con un soffio d'aria (una piccola perturbazione), senti una resistenza. Il punto in cui senti la resistenza è il suo "supporto".
• Nel loro caso, anche se la forma è diventata una nuvola confusa, c'è ancora un "cuore" o una "zona di resistenza" dove l'oggetto esiste ancora. Questa zona è il $\gamma$-supporto.

3. La Scoperta: Le "Attrattori di Birkhoff"

La parte più affascinante arriva quando applicano questa teoria alla dinamica, cioè a come le cose si muovono nel tempo.
Immagina un sistema che perde energia, come un pendolo che rallenta per l'attrito o una palla che rotola su una superficie appiccicosa. Alla fine, tutto si ferma in un punto o in una zona specifica. Questa zona è chiamata attrattore.

• Il vecchio modo: Prima, sapevamo descrivere questi attrattori solo in due dimensioni (come su un foglio di carta).
• Il nuovo modo: Usando il loro "magazzino delle forme" e il concetto di $\gamma$-supporto, riescono a descrivere questi attrattori anche in spazi multidimensionali (3D, 4D, ecc.).

Hanno scoperto che questi attrattori non sono solo punti fermi, ma sono strutture geometriche molto strane e complesse (chiamate continui indecomponibili). Sono come frattali viventi che hanno una struttura interna così ricca da non poter essere spezzati in pezzi più piccoli senza distruggerli.

4. Perché è Importante? (Le Analogie della Vita Quotidiana)

• La Mappa del Tesoro: Immagina di cercare un tesoro (un punto di equilibrio in un sistema fisico). Prima, la mappa era vaga e perdeva dettagli quando ci si avvicinava troppo. Ora, con il "completamento", hanno una mappa ad alta risoluzione che mostra anche le zone dove il tesoro è sepolto sotto la sabbia, anche se non si vede a occhio nudo.
• Il Gioco delle Sedie Musicali: Immagina un gioco dove le sedie (le forme Lagrangiane) vengono spostate velocemente. Quando la musica si ferma, le sedie non sono più dove erano prima, ma sono diventate un mucchio confuso. Il loro studio dice: "Non preoccuparti, anche quel mucchio confuso ha una struttura precisa e possiamo ancora dire dove si trova il centro del caos".
• La Resistenza dell'Invisibile: Come quando provi a spingere un muro invisibile e senti che c'è qualcosa che ti blocca, il loro $\gamma$-supporto è la prova matematica che anche le forme "rotte" o "invisibili" occupano ancora uno spazio e hanno una loro identità.

In Sintesi

Questo documento è come un manuale di istruzioni per riparare le forme rotte della matematica.

1. Prende le forme perfette che si rompono quando vengono spinte al limite.
2. Le raccoglie in un nuovo spazio (il completamento) dove vivono come "nuvole" complesse.
3. Usa una nuova bussola ($\gamma$-supporto) per trovare il cuore di queste nuvole.
4. Usa questa mappa per capire come funzionano i sistemi fisici che perdono energia (come i pendoli o i fluidi), rivelando strutture nascoste e affascinanti che prima non potevamo vedere.

È un po' come se avessimo scoperto che il "nulla" non è davvero vuoto, ma è pieno di forme geometriche che aspettano solo di essere lette con gli occhi giusti.

Sommario tecnico

Ecco una sintesi tecnica dettagliata del documento "The completion of the set of Lagrangians and applications to dynamics", basata sulle lezioni di C. Viterbo e redatta da O. Bernardi e F. Morabito.

1. Il Problema e il Contesto

L'obiettivo principale delle note è introdurre e studiare il completamento dello spazio delle sottovarietà lagrangiane esatte di una varietà simplettica rispetto alla metrica spettrale ($\gamma$), introdotta inizialmente da V. Humilière e successivamente ripresa e approfondita da C. Viterbo.

Il problema centrale risiede nel fatto che lo spazio delle lagrangiane esatte (isotopiche alla sezione zero del fibrato cotangente $T^*N$), denotato come $L_0(T^*N)$, non è completo rispetto alla metrica $\gamma$. Le lacune di questo spazio contengono oggetti geometrici "singolari" o non lisci che non possono essere descritti come sottovarietà lisce classiche, ma che emergono come limiti di successioni di lagrangiane lisce. Comprendere la natura di questi elementi completati è cruciale per estendere la dinamica hamiltoniana e conformemente simplettica a contesti più generali, superando le limitazioni dimensionali (spesso confinate al caso bidimensionale).

2. Metodologia

La metodologia adottata si fonda su tre pilastri teorici:

1. Funzioni Generatrici Quadratiche all'Infinito (GFQI):
   Il lavoro utilizza la teoria delle funzioni generatrici per descrivere le lagrangiane esatte. Una lagrangiana $L \subset T^*N$ è generata da una funzione $S: N \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}$ che è quadratica all'infinito. Questo permette di collegare le proprietà geometriche di $L$ alla topologia degli spazi di livello di $S$ tramite la teoria di Morse e la coomologia.

2. Invarianti Spettrali:
   Attraverso la teoria di Lusternik-Schnirelmann applicata alle GFQI, vengono definiti gli invarianti spettrali $c(\alpha, L)$ per classi di coomologia $\alpha \in H^*(N)$. In particolare, si definiscono $c_+(L)$ e $c_-(L)$ associati rispettivamente alla classe fondamentale e alla classe del punto. Da questi si derivano le distanze:

   • $\gamma(L_1, L_2) = c_+(L_1, L_2) - c_-(L_1, L_2)$
   • $c(L_1, L_2)$ (una versione "normata" di $\gamma$).
     Queste distanze definiscono una struttura metrica sullo spazio delle lagrangiane e delle loro "brane" (coppie $(L, f_L)$).

3. Completamento Metrico e Supporto $\gamma$:
   Si considera il completamento metrico $\widehat{L}_0(T^*N)$ rispetto a $\gamma$. Gli elementi di questo spazio sono oggetti astratti, ma per dar loro un significato geometrico si introduce il concetto di $\gamma$-supporto ($\gamma$-supp).

   • Un punto $z$ appartiene al $\gamma$-supporto di un elemento $L$ nel completamento se, per ogni $\epsilon > 0$, esiste un diffeomorfismo hamiltoniano $\phi$ supportato in una palla di raggio $\epsilon$ attorno a $z$ tale che $\gamma(L, \phi(L)) > 0$.
   • Viene dimostrato che il $\gamma$-supporto è un sottoinsieme chiuso e, sorprendentemente, $\gamma$-coisotropo.

3. Contributi Chiave e Risultati Principali

A. Proprietà del Completamento e $\gamma$-Supporto

• Definizione di $\gamma$-coisotropia: Viene introdotta una generalizzazione della nozione classica di coisotropia. Un sottoinsieme $V$ è $\gamma$-coisotropo in $z$ se non può essere spostato fuori da una piccola palla centrata in $z$ con un diffeomorfismo hamiltoniano di norma $\gamma$ arbitrariamente piccola.
• Teorema di Coisotropia: È dimostrato che ogni lagrangiana liscia è $\gamma$-coisotropica e, più in generale, il $\gamma$-supporto di qualsiasi elemento nel completamento $\widehat{L}_0(T^*N)$ è un insieme $\gamma$-coisotropo.
• Dimensione e Struttura: Il $\gamma$-supporto di un elemento nel completamento ha dimensione di Hausdorff $\ge n$ (dove $2n = \dim T^*N$). Esistono esempi di "Lagrangiane di Peano" il cui supporto riempie regioni di dimensione superiore.
• Unicità del Supporto: Se il $\gamma$-supporto è una lagrangiana esatta compatta liscia, allora l'elemento nel completamento coincide con quella lagrangiana classica. Tuttavia, esistono elementi distinti nel completamento che condividono lo stesso $\gamma$-supporto (problema aperto sulla cardinalità di tali insiemi).

B. Applicazioni alla Dinamica Conformemente Simplettica

Il lavoro applica la teoria del completamento alla dinamica dei sistemi dissipativi, generalizzando il concetto di Attrattore di Birkhoff.

• Diffeomorfismi Conformemente Esatti (CES): Si considerano diffeomorfismi $\psi$ tali che $\psi^*\lambda - a\lambda = df$ con $0 < a < 1$. Questi mappano lagrangiane in lagrangiane riducendo la distanza$\gamma$per un fattore$a$.
• Punto Fisso Unico: Per il teorema di Banach-Caccioppoli applicato allo spazio metrico completo $\widehat{L}_0(T^*N)$, ogni mappa CES $\psi$ ammette un unico punto fisso $L_\infty$.
• Attrattore Generalizzato di Birkhoff ($B_\infty$): Viene definito $B_\infty(\psi) = \gamma\text{-supp}(L_\infty)$.
  • Teorema di Coincidenza: Nel caso del cilindro ($T^*S$), $B_\infty(\psi)$ coincide esattamente con l'attrattore di Birkhoff classico $B(\psi)$ definito da G.D. Birkhoff e studiato da Charpentier e LeCalvez.
  • Proprietà Topologiche: $B_\infty$ è un insieme chiuso, invariante e $\gamma$-coisotropo. Inoltre, la proiezione canonica $\pi: B_\infty \to N$ induce un'iniezione in omologia ($H^*(N) \hookrightarrow H^*(B_\infty)$), garantendo che l'attrattore non sia topologicamente banale.

C. Congetture e Questioni Aperte

• Congettura delle Lagrangiane Vicine (Nearby Lagrangian Conjecture): Il completamento permette di formulare una versione debole della congettura: l'azione del gruppo completato $\widehat{DHam}(T^*N)$ è transitiva sull'insieme delle lagrangiane esatte chiuse.
• Complessità Dinamica: Rimane aperta la questione sulla connettività di $B_\infty$ in dimensioni superiori e sulla complessità dinamica (es. entropia) di questi attrattori generalizzati.

4. Significato e Impatto

Questo lavoro rappresenta un avanzamento significativo nella geometria simplettica e nella dinamica hamiltoniana:

1. Superamento delle Dimensionalità: Fornisce strumenti per studiare attrattori e strutture invarianti in dimensioni arbitrarie, un campo dove i metodi classici (spesso basati sulla teoria delle curve piane o su proprietà specifiche del caso 2D) fallivano.
2. Nuova Geometria delle Lagrangiane Singolari: Introduce una nuova classe di oggetti geometrici (gli elementi del completamento) che possiedono proprietà rigide (come la $\gamma$-coisotropia) pur non essendo necessariamente varietà lisce. Questo collega la topologia simplettica alla teoria dei sistemi dinamici dissipativi.
3. Strumenti Analitici Potenti: L'uso degli invarianti spettrali e della metrica $\gamma$ offre un approccio robusto per dimostrare l'esistenza di strutture invarianti (attrattori) anche in assenza di regolarità classica, generalizzando risultati noti solo per il caso bidimensionale.
4. Connessione con Equazioni di Hamilton-Jacobi: Il lavoro collega esplicitamente gli attrattori generalizzati alle soluzioni di viscosità delle equazioni di Hamilton-Jacobi dissipative, offrendo una nuova prospettiva geometrica sulla teoria di Aubry-Mather e sulla teoria delle soluzioni di viscosità.

In sintesi, il documento stabilisce un ponte fondamentale tra la teoria delle funzioni generatrici, la metrica spettrale e la dinamica dissipativa, fornendo un quadro teorico unificato per lo studio di attrattori complessi in spazi di fase di alta dimensione.