Bogomolov property for modular Galois representations with nontrivial nebentypus

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si inserisce nello studio della Proprietà di Bogomolov (Proprietà B) per campi di numeri e loro estensioni. Un campo $K \subseteq \overline{\mathbb{Q}}$ possiede la Proprietà B se esiste una costante $C > 0$ tale che per ogni elemento $\alpha \in K$ che non sia una radice dell'unità, l'altezza di Weil logaritmica soddisfi $h(\alpha) \ge C$.

Il problema centrale è determinare se i campi generati dalle rappresentazioni di Galois associate a forme modulari possiedano questa proprietà.

• Stato dell'arte: Habegger [Hab13] ha dimostrato la Proprietà B per il campo generato dalle coordinate dei punti di torsione di una curva ellittica $E/\mathbb{Q}$ ($\mathbb{Q}(E^{\text{tors}})$). Successivamente, Amoroso e Terracini [AT25] hanno generalizzato questo risultato alle rappresentazioni adeliche associate a forme eigenform normalizzate $f \in S_k(\Gamma_0(N))$ con carattere di Nebentypus banale ($\chi = 1$).
• La sfida: L'estensione di questo risultato al caso in cui la forma modulare ha un carattere di Nebentypus non banale ($\chi \neq 1$) presenta ostacoli significativi. In particolare, la presenza di "twist interni" (inner twists) complica la struttura dell'immagine della rappresentazione di Galois, rendendo non applicabili direttamente i metodi usati in [AT25].

2. Metodologia e Strumenti Teorici

L'autore sviluppa una strategia che combina la teoria delle rappresentazioni di Galois modulari con tecniche di teoria dei gruppi e stime di altezza.

A. Definizione di Campo ADZ e Proprietà di Chiusura

Un contributo metodologico fondamentale è l'introduzione e lo studio dei campi ADZ (ispirati ad Amoroso, David e Zannier [ADZ14]).

• Definizione: Un'estensione di Galois $F/K$ è ADZ in un posto $v$ se il campo fisso dal centro del gruppo di Galois $\text{Gal}(F/K)$ ha gradi locali limitati su $v$.
• Risultato Chiave: A differenza della Proprietà B generale (che non è preservata dalla composizione di campi), l'autore dimostra che la proprietà ADZ è preservata sotto composizione arbitraria (Teorema 5.8). Questo permette di costruire nuovi campi con Proprietà B combinando estensioni note.

B. Analisi della Rappresentazione "Fuori da $p$"

Per la parte della rappresentazione adeliche relativa ai primi diversi da $p$ ($\rho_f^{(p)}$), l'autore dimostra che, restringendosi a un campo ADZ, la rappresentazione soddisfa la Proprietà B.

• Si sfrutta il fatto che, sotto certe ipotesi, il quadrato dell'elemento di Frobenius è centrale.
• Si utilizza il fatto che le estensioni unramificate su $p$ sono ADZ.

C. Analisi della Rappresentazione "$p$-adica" (Crystalline)

Per la parte $p$-adica ($\rho_{f,p}$), si assume che $a_p(f) = 0$ (caso supersingolare).

• Si utilizza la classificazione delle rappresentazioni cristalline di Breuil [Bre03]. Sotto l'ipotesi $a_p=0$, la rappresentazione è isomorfa a $V_{k,0,\omega} \cong (\text{ind}_{G_{\mathbb{Q}_q}}^{G_{\mathbb{Q}_p}} \varepsilon_2^{k-1}) \otimes \mu_{\sqrt{-1}} \otimes \omega$, dove $\omega$ è un carattere cristallino legato al Nebentypus.
• Si dimostra che, passando a un'estensione finita opportuna del campo dei coefficienti, l'immagine della rappresentazione può essere controllata e "descesa" a un anello di interi più piccolo, gestendo il carattere $\omega$.

D. Il Lemma di Chiusura Normale (Normal Closure Lemma)

Il cuore della dimostrazione risiede nel dimostrare che la chiusura normale di certi sottogruppi di Galois (relativi alla parte $p$-adica) è sufficientemente grande da garantire le condizioni per la Proprietà B.

• L'autore generalizza il "Normal Closure Lemma" di [AT25] al caso con Nebentypus non banale.
• Si utilizza un'applicazione della mappa "log" (ispirata a Habegger) per mappare i gruppi di Galois in spazi di matrici e dimostrare che l'immagine contiene sufficienti sottospazi invarianti (Teorema 6.1).

3. Risultati Principali

Assunzioni (Assumption 1)

Il teorema principale vale sotto le seguenti condizioni per una forma $f \in S_k(\Gamma_0(N), \chi)$ e un primo $p$:

1. $p \nmid N$ (buona riduzione).
2. $a_p(f) = 0$ (caso supersingolare).
3. L'immagine della rappresentazione mod $p$ contiene $\text{SL}_2(\mathcal{O}_f/p\mathcal{O}_f)$ (o un sottogruppo sufficientemente grande).
4. $p \ge 5$, $p \nmid k-1$ e $\frac{p+1}{2} \nmid k-1$.

Teorema Principale (Teorema 4.3)

Sotto le assunzioni sopra, la rappresentazione adeliche completa $\hat{\rho}_f: G_{\mathbb{Q}} \to \text{GL}_2(\widehat{\mathcal{O}}_f)$ ha la Proprietà di Bogomolov.
In altre parole, il campo $\mathbb{Q}(\hat{\rho}_f)$ (il campo "tagliato" dalla rappresentazione) possiede la Proprietà B.

Estensione del Risultato

Il risultato migliora quello di [AT25] rimuovendo l'ipotesi che il carattere di Nebentypus sia banale. L'autore dimostra che anche in presenza di twist interni (che complicano l'immagine), è possibile trovare un'estensione finita del campo di base tale che la Proprietà B sia mantenuta.

4. Contributi Tecnici Specifici

1. Gestione dei Twist Interni: Dimostrazione che, passando a un'estensione finita del campo dei coefficienti, l'immagine della rappresentazione è controllabile nonostante la presenza di caratteri di Nebentypus non banali.
2. Teoria dei Campi ADZ: Dimostrazione che la classe dei campi ADZ è chiusa rispetto alla composizione, fornendo una nuova classe di campi con Proprietà B stabile.
3. Generalizzazione del Lemma di Chiusura Normale: Adattamento delle tecniche di [AT25] per gestire la struttura più complessa dei gruppi di Galois associati a forme con $\chi \neq 1$.
4. Esempi Espliciti: Costruzione di esempi concreti (sezione 7) utilizzando risultati computazionali di Mascot e teoremi di Diamond (per peso $k=2$) per verificare le condizioni di irriducibilità e immagine grande. Vengono forniti elenchi di nuove forme modulari (es. livelli 24, 26, 30, ecc.) che soddisfano le ipotesi del teorema.

5. Significato e Impatto

Questo lavoro è significativo perché:

• Completa la teoria: Colma una lacuna importante nella teoria delle rappresentazioni modulari, estendendo la Proprietà di Bogomolov dal caso "semplice" (curve ellittiche, $\chi=1$) al caso generale delle forme modulari con carattere non banale.
• Strumenti nuovi: Introduce e formalizza la nozione di campo ADZ come strumento robusto per dimostrare la Proprietà B in contesti di composizione di campi, superando le limitazioni note della Proprietà B classica.
• Connessione con la Congettura di Lehmer: Contribuisce alla comprensione della distribuzione delle altezze negli elementi algebrici, un tema centrale nella teoria dei numeri moderna e legato alla congettura di Lehmer.
• Applicabilità: Fornisce un metodo sistematico per identificare nuovi campi con Proprietà B, utilizzando le proprietà aritmetiche delle forme modulari (come la presenza di primi supersingolari e l'irriducibilità mod $p$).

In sintesi, Piras dimostra che la "bontà" aritmetica (Proprietà B) delle estensioni di Galois generate dalle forme modulari è una proprietà robusta che sopravvive anche alla complessità introdotta dai caratteri di Nebentypus, grazie a una combinazione di teoria delle rappresentazioni cristalline, teoria dei gruppi e nuove tecniche di stima delle altezze.