Elliptic curves with rank one and nontrivial 2-part of Tate Shafarevich groups over the $\mathbb{Z}_2$-extension of $\mathbb{Q}$

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si inserisce nel contesto della teoria dei numeri aritmetica, specificamente nello studio delle curve ellittiche definite su $\mathbb{Q}$ e delle loro proprietà su estensioni di campi infiniti.

Il problema centrale affrontato è la Domanda 1.1 (e la sua variante per le twist quadratiche, Domanda 1.2): esiste una curva ellittica $E/\mathbb{Q}$ e una famiglia infinita di campi numerici $F_n$ con grado che tende all'infinito, tali che:

1. Il rango algebrico di $E(F_n)$ sia fisso (in questo caso, uguale a 1).
2. La parte $p$-primaria del gruppo di Tate-Shafarevich, $\text{X}(E/F_n)(p)$, sia non banale (in questo caso, per $p=2$).

Mentre risultati precedenti (Kurihara, Tian, ecc.) avevano trattato casi con rango 0 o hanno dimostrato l'esistenza di curve con rango 1 ma gruppo di Tate-Shafarevich banale, questo paper mira a costruire un esempio in cui il rango è 1 e il gruppo di Tate-Shafarevich è infinito (in termini di rango 2-adico) su una torre di campi, senza assumere la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer (BSD) né la finitezza del gruppo di Tate-Shafarevich.

Il campo di studio specifico è la $\mathbb{Z}_2$-estensione ciclotomica di $\mathbb{Q}$, denotata come $\mathbb{Q}_\infty$, e le sue sottocampi $\mathbb{Q}_n$ con $[\mathbb{Q}_n : \mathbb{Q}] = 2^n$.

2. Metodologia

Gli autori combinano diverse tecniche avanzate della teoria dei numeri e della teoria di Iwasawa:

• Elementi Modulari di Mazur-Tate: L'approccio si basa sullo studio delle proprietà 2-adiche degli elementi modulari di Mazur-Tate associati alle twist quadratiche della curva. Questi elementi risiedono nell'anello di gruppo $\mathbb{Z}_2[\text{Gal}(\mathbb{Q}_n/\mathbb{Q})]$.
• Teoria di Iwasawa per Curve con CM: Viene utilizzata la teoria di Iwasawa sviluppata da Coates, Wiles e Rubin per curve ellittiche con moltiplicazione complessa (CM), adattata al caso del primo $p=2$ (che è un caso di buona riduzione supersingolare per la curva scelta).
• Punti di Heegner e Congruenze: Sfruttando le proprietà di congruenza dei punti di Heegner (derivate dalla formula $p$-adica di Waldspurger di Bertolini, Darmon e Prasanna), gli autori dimostrano la non-torsione di certi punti, collegando il rango algebrico ai valori speciali delle funzioni $L$.
• Nuova Strategia per le Twist Quadratiche: Un contributo metodologico chiave è la definizione di un nuovo elemento modulare $\xi_E(\chi)$ associato alla coppia $(E, \chi)$, dove $\chi$ è il carattere quadratico della twist. Questo permette di aggirare le difficoltà nell'applicare direttamente il metodo di Kurihara-Pollack alle twist quadratiche, stabilendo relazioni di congruenza modulo 2 (e in alcuni casi modulo 4) tra gli elementi associati alla curva originale $E$ e quelli della twist $E(m)$.
• Teorema di Coates-Wiles Equivariante: Viene utilizzato una versione equivariante del teorema di Coates-Wiles per collegare i valori non nulli delle funzioni $L$ twistate ai ranghi algebrici sui campi intermedi.

3. Risultati Principali

Il risultato centrale è il Teorema 1.3, che costruisce esplicitamente una famiglia di curve con le proprietà desiderate.

Siano $p$ e $q$ primi distinti tali che:

1. $p \equiv q \equiv 7 \pmod{12}$.
2. I coefficienti di Fourier $a_p$ e $a_q$ della forma modulare associata alla curva base sono dispari.
3. $\left(\frac{-2p}{q}\right) = 1$.
4. $3$ non divide il prodotto dei numeri di classe $h(-q)h(-6pq)$.

Sia $m = pq$e$E(m)$ la twist quadratica della curva base $E: y^2 + y = x^3 + 2$ (con conduttore 243) tramite l'estensione $\mathbb{Q}(\sqrt{m})/\mathbb{Q}$.

Il teorema afferma che:

• Rango su $\mathbb{Q}$: $\text{rank}(E(m)(\mathbb{Q})) = 0$ e il valore $L(E(m), 1) \neq 0$.
• Rango su $\mathbb{Q}_n$ ($n \ge 1$): Per ogni $n \ge 1$, il rango analitico e algebrico su $\mathbb{Q}_n$ è esattamente 1:
  $$\text{ord}_{s=1} L(E(m)/\mathbb{Q}_n, s) = 1 = \text{rank}(E(m)(\mathbb{Q}_n))$$
• Gruppo di Tate-Shafarevich: Il gruppo di Tate-Shafarevich $\text{X}(E(m)/\mathbb{Q}_\infty)$ ha rango 2-adico infinito e ordine infinito. In particolare, la parte 2-primaria è non banale su ogni campo della torre (eccetto forse il primo livello, ma diventa non banale e infinita sulla torre completa).

4. Contributi Chiave

1. Costruzione Esplicita: Fornisce una famiglia infinita di twist quadratiche e una torre di campi (la $\mathbb{Z}_2$-estensione) dove il rango rimane fisso a 1 mentre il gruppo di Tate-Shafarevich diventa infinito. Questo risponde affermativamente alla Domanda 1.1 per $r_n=1$ e $p=2$ senza ipotesi non dimostrate.
2. Generalizzazione: Estende i risultati precedenti da curve fisse o campi fissi a una famiglia infinita di campi con grado crescente e a una famiglia di twist quadratiche.
3. Sviluppo Tecnico: Introduce un metodo innovativo per studiare le proprietà 2-adiche degli elementi di Mazur-Tate per curve twistate, risolvendo il problema della "mancata applicazione diretta" dei metodi esistenti per $p=2$ in questo contesto specifico.
4. Verifica della Congettura BSD (Parte Rango): Dimostra la parte relativa al rango della congettura di Birch e Swinnerton-Dyer per tutte le curve $E(m)/\mathbb{Q}_n$ al limite $n \to \infty$.

5. Significato

Questo lavoro è significativo perché:

• Sfida la "Trivialità" del Gruppo di Tate-Shafarevich: Mostra che anche quando il rango è stabile e basso (1), il gruppo di Tate-Shafarevich può diventare enormemente grande (infinito) man mano che ci si sposta lungo una torre di campi. Questo fornisce controesempi o scenari complessi alla semplice intuizione che un rango basso implichi un gruppo di Tate-Shafarevich piccolo.
• Avanzamento nella Teoria di Iwasawa: Dimostra la potenza della combinazione tra teoria di Iwasawa, punti di Heegner e congruenze modulari per trattare casi di riduzione supersingolare ($p=2$), un caso storicamente più difficile rispetto ai casi ordinari.
• Implicazioni per la Congettura BSD: Fornisce evidenze forti e costruttive per la validità della congettura BSD in contesti dinamici (variazioni di campi e twist), confermando la previsione che il rango analitico coincida con quello algebrico anche in presenza di gruppi di Tate-Shafarevich infiniti.

In sintesi, il paper risolve un problema aperto significativo nella teoria delle curve ellittiche, fornendo un esempio concreto e una metodologia robusta per l'esistenza di curve con rango 1 e gruppo di Tate-Shafarevich infinito su estensioni ciclotomiche.