When are time series predictions causal? The potential system and dynamic causal effects

1. Il Problema

La letteratura econometrica e statistica sulle serie temporali ha storicamente affrontato la causalità attraverso due approcci distinti e spesso disconnessi:

1. Modelli strutturali e predittivi: Come le VAR strutturali (SVAR), le funzioni di risposta all'impulso (IRF) e la causalità di Granger. Questi modelli si basano spesso su assunzioni parametriche (es. linearità) e interpretano la causalità in termini di prevedibilità o shock esogeni, ma non sempre forniscono una definizione rigorosa di effetto causale in senso potenziale (counterfactual).
2. Inferenza causale non parametrica: Basata sul quadro dei "potenziali outcomes" (Rubin, Robins), che è lo standard per dati trasversali e panel. Tuttavia, l'applicazione di questi metodi alle serie temporali pure (dove l'unità di osservazione è unica e le osservazioni sono serialmente correlate) è complessa a causa della dipendenza temporale e della mancanza di replicazione.

Il problema centrale affrontato dagli autori è: quando le previsioni basate su dati di serie temporali, come la differenza tra due valori attesi condizionati ($E[Y_{t+h} | A_t=a] - E[Y_{t+h} | A_t=a']$), misurano effettivamente l'effetto causale di un cambiamento nell'assegnazione $A_t$ sull'esito futuro $Y_{t+h}$?

2. Metodologia: Il "Potential System" (PS)

Gli autori introducono il Potential System (PS), un modello non parametrico fondativo che unifica la causalità nelle serie temporali con l'inferenza causale basata su potenziali outcomes.

A. Definizione del Sistema

Il PS è definito attraverso cinque assunzioni che collegano un processo di generazione dei dati (DGP) a un processo controfattuale:

1. DGP (Data Generating Process): Definisce i dati osservati $D_t = (X_t, A_t, Y_t)$, dove $X_t$ sono feature (confondenti o strumenti), $A_t$ è l'assegnazione e $Y_t$ è l'esito. L'assegnazione segue un "Sequential Assignment Mechanism" (SAM) $\alpha_t$ che dipende dalla storia passata $D_{1:t-1}$ e da rumore stocastico $V_t$.
2. Processo Controfattuale: Introduce le "potenziali feature" e "potenziali outcomes" $Z_t(a_{1:T})$ per ogni possibile percorso di assegnazione $a_{1:T}$.
   • Non-anticipazione (Non-anticipation): Gli esiti al tempo $t$ non possono dipendere da assegnazioni future ($a_{t+1:T}$).
   • Triangularità: Le feature al tempo $t$ dipendono solo dalle assegnazioni passate e presenti, non da quelle future.
3. Coerenza (Consistency): Il processo generatore di dati è un caso particolare del processo controfattuale quando le assegnazioni osservate coincidono con quelle potenziali ($Z_t = Z_t(A_{1:t})$).

B. Effetti Causali Dinamici

Il PS definisce l'effetto causale dinamico come la differenza tra due rami potenziali (branch potential outcomes):
$$\text{Effetto} = Y_{t,h}(a_t) - Y_{t,h}(a'_t)$$
dove $Y_{t,h}(a_t)$ è l'esito al tempo $t+h$ se l'assegnazione al tempo $t$ fosse stata fissata a $a_t$, mentre il sistema evolve secondo le regole del SAM per i tempi successivi.
Vengono definiti diversi riassunti causali:

• ATE (Average Treatment Effect): Effetto medio non condizionato.
• CATE: Effetto medio condizionato alle feature $X_t$.
• FTE (Filtered Treatment Effect): Effetto medio condizionato alla storia passata $D_{1:t-1}$.
• CFTE: Effetto medio condizionato sia a $X_t$ che alla storia.

C. Identificazione attraverso Predizioni

Il cuore della metodologia risiede nel collegare questi oggetti controfattuali a quantità osservabili (predizioni). Gli autori definiscono condizioni di unconfoundedness sequenziale (es. SAM.BSU, SAM.BSR) che, se soddisfatte, permettono di identificare gli effetti causali tramite regressioni o proiezioni lineari sui dati osservati.

• Ad esempio, sotto l'assunzione di "branch-sequential unconfoundedness" (l'assegnazione è indipendente dagli esiti potenziali condizionatamente a $X_t$ e $D_{1:t-1}$), l'effetto causale filtrato (CFTE) è identificato come:
  $$E[Y_{t+h} | X_t, D_{1:t-1}, A_t=a] - E[Y_{t+h} | X_t, D_{1:t-1}, A_t=a']$$

3. Risultati Chiave e Contributi

1. Unificazione Teorica

Il PS fornisce un ponte formale tra:

• La causalità nelle serie temporali (IRF, SVAR, Causalità di Granger).
• L'inferenza causale non parametrica (Rubin, Robins).
• La teoria del controllo (Markov Decision Processes, Reinforcement Learning).
  Il modello mostra che le IRF lineari sono casi speciali di effetti causali medi in un sistema non parametrico.

2. Generalizzazione dei Modelli Esistenti

Il paper dimostra come modelli noti emergano come casi speciali del PS:

• SVAR e VAR: Il caso lineare omogeneo di Markov del PS riduce a una VAR(1) strutturale. Le funzioni di risposta all'impulso standard sono identificate come effetti causali medi sotto specifiche condizioni di esogeneità.
• Modelli di Impatto delle Notizie (News Impact): Modelli finanziari non lineari (es. GARCH) sono visti come casi di PS senza feature, dove l'assegnazione è un "shock" indipendente.
• Granger Causality: Viene chiarito che la causalità di Granger è una proprietà di predittività che non implica necessariamente causalità strutturale, a meno che non siano soddisfatte le condizioni di unconfoundedness del PS.

3. Identificazione Non Parametrica

Il teorema principale (Teorema 2) stabilisce le condizioni sufficienti (basate sull'indipendenza condizionata dell'assegnazione rispetto ai potenziali outcomes) affinché le differenze di previsioni statistiche siano interpretate causalmente. Questo permette di stimare effetti causali dinamici senza assumere una forma funzionale specifica per il processo di generazione dei dati.

4. Estensioni Avanzate

• Variabili Strumentali (IV): Il PS viene esteso per includere variabili strumentali, permettendo l'identificazione di effetti locali (LATE) in contesti di serie temporali, adattando il lavoro di Imbens e Angrist.
• Inferenza Basata sul Disegno (Design-based Inference): Gli autori mostrano come il PS supporti l'inferenza basata sulla randomizzazione (condizionando sugli outcomes potenziali), permettendo test esatti (simulazioni Monte Carlo) anche in serie temporali, superando la mancanza di replicazione.
• Controllo Stocastico: Il PS fornisce una base per l'ottimizzazione dinamica (policies) in contesti di apprendimento per rinforzo, collegando la minimizzazione della perdita attesa agli effetti causali.

4. Significato e Implicazioni

• Risoluzione del "Lucas Critique": Il PS incorpora una struttura che garantisce l'invarianza dei parametri strutturali rispetto ai cambiamenti nelle politiche di assegnazione, affrontando direttamente la critica di Lucas in economia.
• Flessibilità Metodologica: Fornisce una base non parametrica per metodi esistenti come le "Local Projections" (Jordà, 2005), conferendo loro un significato causale rigoroso e permettendo l'uso di tecniche di inferenza semiparametriche (es. double machine learning).
• Nuovi Strumenti per la Ricerca: Il framework permette di derivare nuove metodologie per:
  • Stimare effetti causali dinamici in presenza di confondenti osservati.
  • Condurre esperimenti di serie temporali (es. switchback designs).
  • Analizzare politiche ottimali in contesti dinamici.
• Chiarezza Concettuale: Distingue chiaramente tra effetti causali "totali" (che includono le reazioni future del sistema all'assegnazione) ed effetti "diretti", chiarendo cosa viene effettivamente misurato dalle diverse tecniche econometriche.

In sintesi, Carlson e Shephard offrono un fondamento teorico solido e non parametrico per la causalità nelle serie temporali, trasformando le previsioni statistiche in strumenti di inferenza causale rigorosa e aprendo la strada a una nuova generazione di metodi di stima e inferenza.