Smoothness results for the schemes of special divisors on general k-gonal curves

Titolo

Risultati di regolarità per gli schemi dei divisori speciali su curve k-gonali generali.

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si inserisce nel quadro della teoria di Brill-Noether e della teoria di Hurwitz-Brill-Noether. L'obiettivo principale è studiare la struttura degli schemi $W^r_d(C)$, che parametrizzano i fasci lineari (o divisori) di grado $d$ e dimensione di sezioni globali $h^0(L) \ge r+1$ su una curva proiettiva liscia $C$ di genere $g$.

In particolare, l'autore si concentra su curve k-gonali generali, ovvero curve che ammettono un morfismo $f: C \to \mathbb{P}^1$ di grado $k$, con $k < \lfloor \frac{g+3}{2} \rfloor$. Per una curva generale (non k-gonale), il teorema di Gieseker-Petri garantisce che la mappatura di Petri è iniettiva per tutti i fasci lineari, implicando che $W^r_d(C)$ è liscia fuori dall'insieme $W^{r+1}_d(C)$. Tuttavia, per le curve k-gonali, la situazione è più complessa:

• La mappatura di Petri non è sempre iniettiva (in particolare per il fascio $M$ che definisce il morfismo $f$).
• Lo schema $W^r_d(C)$ può presentare singolarità anche in punti che non appartengono a $W^{r+1}_d(C)$ e che non sono intersezioni di componenti irriducibili distinte.
• Esiste una stratificazione più fine di $\text{Pic}_d(C)$ basata sui luoghi di splitting di Brill-Noether $\Sigma_{\vec{e}}(C, f)$, associati al tipo di splitting $\vec{e}$ del fascio diretto $f_*(L)$.

Il problema centrale è determinare esattamente dove gli schemi $W^r_d(C)$ e i loro componenti irriducibili (che sono spesso chiusure di certi $\Sigma_{\vec{e}}(C, f)$) sono lisci, e caratterizzare le singolarità in termini della mappatura di Petri e della struttura delle componenti.

2. Metodologia

L'autore utilizza un approccio combinato che integra:

• Teoria dei fasci e degenerazione: Studio dei luoghi di degenerazione di morfismi tra fasci localmente liberi.
• Ideali di Fitting: La struttura dello schema $W^r_d(C)$ è definita tramite ideali di Fitting di $R^1\pi_* \mathcal{P}_d$. Analogamente, gli schemi di degenerazione $\Sigma_{\vec{e}}(C, f)$ sono definiti come intersezioni di schemi $W^{r(n)}_{d+nk}(C)$, ciascuno definito da ideali di Fitting specifici.
• Trucco del fascio senza punti base (Base Point Free Pencil Trick): L'autore estende questo classico strumento per analizzare i nuclei delle mappature di moltiplicazione e ridurre il numero di ideali di Fitting necessari per definire localmente la struttura dello schema.
• Mappatura di Petri: Viene sfruttata la relazione tra l'iniettività della mappatura di Petri $\mu_L$ e la regolarità dello schema. In particolare, si dimostra che l'iniettività di $\mu_L$ implica la liscità dello schema in quel punto (sotto certe condizioni).
• Induzione e stratificazione: Si analizzano le relazioni di ordine parziale tra i tipi di splitting $\vec{e}$ per costruire descrizioni locali degli schemi.

Un passo metodologico cruciale è la Proposizione 2, che riduce il numero di ideali di Fitting necessari per definire localmente lo schema $\Sigma_{\vec{e}}(C, f)$ in certi punti aperti, permettendo di trattare lo schema come un'intersezione completa locale.

3. Contributi Chiave e Risultati Principali

Teorema A: Iniettività della Mappatura di Petri

Per una curva k-gonale generale $C$, il teorema caratterizza esattamente quando la mappatura di Petri $\mu_L$ è iniettiva.

• Risultato: $\mu_L$ è iniettiva se e solo se $h^0(L - M) \cdot h^0(K - L - M) = 0$.
• Significato: Questo generalizza il teorema di Gieseker-Petri al caso k-gonale. Se il fascio $L$ "interagisce" con il fascio $M$ (cioè se ha sezioni globali dopo aver sottratto $M$ o aggiunto $M$ al duale), la mappatura di Petri non è iniettiva.

Teorema C: Regolarità dei luoghi di splitting

L'autore dimostra che gli schemi $\Sigma_{\vec{e}}(C, f)$ sono lisci lungo un sottoinsieme aperto naturalmente definito $V^r_{d,l}(C, f)$, che contiene l'insieme dei fasci con tipo di splitting esatto $\vec{e}$.

• Risultato: Lo schema $\Sigma_{\vec{e}}(C, f)$ è liscio lungo $V^r_{d,l}(C, f)$.
• Implicazione: Questo risolve un problema aperto sollevato in lavori precedenti (come [10]), confermando la liscità in caratteristica arbitraria e per curve k-gonali generali, non solo per curve su superfici K3.

Teorema B: Caratterizzazione delle singolarità

Questo teorema collega la liscità dello schema $W^r_d(C)$ alla struttura delle sue componenti irriducibili.

• Risultato: Per un punto $L$ in un aperto denso $V^r_{d,l}(C, f)$ di una componente irriducibile $Z$, lo schema $W^r_d(C)$ è liscio in $L$ se e solo se $L$ appartiene a una sola componente irriducibile di $W^r_d(C)$.
• Conseguenza: Se $L$ è un punto singolare di $W^r_d(C)$ ma non appartiene a $W^{r+1}_d(C)$, ciò può accadere non solo perché $L$ è un'intersezione di componenti, ma anche perché la struttura dello schema è "intrinsecamente" singolare su quella componente (anche se la componente come spazio ridotto potrebbe essere liscia in altri punti).

Analisi delle Singolarità (Proposizioni 5 e 6)

L'autore dimostra che esistono situazioni in cui $W^r_d(C)$ è singolare in un punto $L$ che appartiene a una sola componente irriducibile $Z$ e non a $W^{r+1}_d(C)$.

• Questo accade quando il tipo di splitting di $L$ soddisfa certe condizioni (es. $e_1 = e_2 = -2$) e il genere $g$ è sufficientemente grande.
• In questi casi, la singolarità è dovuta alla non-iniettività della mappatura di Petri, che non è compensata dall'intersezione di componenti.

Esempi e Applicazioni

• Divisore Theta: Viene analizzato il caso di $W^1_{g-1}(C)$ (il divisore theta). Si mostra che per $g \ge 2k-1$, l'insieme delle singolarità di $W^1_{g-1}(C)$ contiene punti che non sono in $W^2_{g-1}(C)$ e che appartengono a una sola componente.
• Classificazione delle componenti: Vengono distinte le componenti di tipo I, II e III. Per le componenti di tipo I, la liscità è garantita fuori da $W^{r+1}_d(C)$ se e solo se $h^0(L-M)=0$ o $h^0(K-L-M)=0$.

4. Significato e Impatto

Questo lavoro rappresenta un avanzamento significativo nella comprensione della geometria degli schemi di Brill-Noether su curve non generiche (ma k-gonali).

1. Generalizzazione: Estende i risultati classici di Gieseker-Petri e della teoria di Brill-Noether al contesto delle curve k-gonali, fornendo condizioni precise per la liscità.
2. Struttura delle Singolarità: Dimostra che il luogo singolare di $W^r_d(C)$ non è semplicemente l'unione di $W^{r+1}_d(C)$ e delle intersezioni di componenti. Esistono singolarità "intrinseche" legate alla non-iniettività della mappatura di Petri anche su componenti singole.
3. Strumenti Tecnici: L'uso sistematico degli ideali di Fitting e la riduzione del numero di condizioni necessarie per definire localmente gli schemi di splitting offrono nuovi strumenti tecnici per lo studio di degenerazioni di fasci su curve ricoprenti.
4. Risposta a Problemi Aperti: Risolve questioni relative alla liscità degli schemi $V^r_{d,l}(C, f)$ in caratteristica arbitraria, chiudendo un gap presente nella letteratura precedente che si basava su argomenti di caratteristica zero o su casi speciali (superfici K3).

In sintesi, Coppens fornisce una mappa dettagliata della regolarità e della struttura delle singolarità degli schemi di divisori speciali su curve k-gonali, collegando profondamente la teoria delle coperture (gonalità) con la teoria di Brill-Noether classica.