Computing the local $2$-component of a non-selfdual automorphic representation of $\mathrm{GL}_3$

Titolo

Calcolo della componente locale 2-adica di una rappresentazione automorfa non auto-duale di $GL_3$.

1. Il Problema

L'articolo affronta il problema della determinazione esplicita della componente locale 2-adica ($\Pi_2$) di una specifica rappresentazione automorfa cuspidale non auto-duale $\Pi$ di $GL_3(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$.
Questa rappresentazione è stata costruita da van Geemen e Top (riferimento [9] nel testo) ed è associata alla coomologia cuspidale del sottogruppo di congruenza $\Gamma_0(128) \subset SL_3(\mathbb{Z})$.
Mentre per i primi $p \ge 3$ la componente locale $\Pi_p$ è non ramificata e calcolabile tramite algoritmi standard, la componente a $p=2$ presenta una struttura complessa e ramificata. L'obiettivo è identificare esplicitamente la natura di $\Pi_2$ (se è supercuspidale, indotta, ecc.) e descrivere i suoi parametri costitutivi (rappresentazione di $GL_2$, caratteri, conduttori).

2. Metodologia

L'autore impiega un approccio ibrido che combina teoria delle rappresentazioni p-adiche, coomologia dei gruppi aritmetici e calcoli computazionali espliciti:

• Realizzazione Cohomologica: La rappresentazione $\Pi$ è realizzata nello spazio di coomologia cuspidale $H^3_!(\Gamma_0(128), \mathbb{C})$. L'autore utilizza un isomorfismo canonico (Teorema 2.1) per identificare questo spazio con uno spazio di funzioni su un insieme finito di classi di punti proiettivi su $\mathbb{Z}/128\mathbb{Z}$.
• Calcolo degli Autovalori di Hecke: Viene calcolato esplicitamente lo spettro degli operatori di Hecke $T_\alpha$ agenti su un autovettore cuspidale $f$. L'autore ha utilizzato un programma informatico (codice disponibile su GitHub) per determinare gli autovalori associati a specifici elementi di $GL_3(\mathbb{Q})$, in particolare quelli legati alla ramificazione a 2.
• Analisi Strutturale tramite Operatori di Hecke:
  • Si dimostra che $\Pi_2$ non è supercuspidale analizzando l'autovalore non nullo di un operatore specifico.
  • Si ipotizza una struttura indotta $\text{Ind}(\pi \boxtimes \chi)$ e si utilizzano gli autovalori di operatori associati a matrici con potenze di 2 (es. $\text{diag}(1, 64, 1)$, $\text{diag}(2, 1, 1)$) per determinare il conduttore della rappresentazione $\pi$ di $GL_2(\mathbb{Q}_2)$ e il carattere $\chi$.
• Identificazione Esplicita di $\pi$: Una volta stabilito che $\Pi_2$ è un'induzione parabolica, l'autore determina la rappresentazione supercuspidale $\pi$ di $GL_2(\mathbb{Q}_2)$ come un'induzione compatta ($c\text{-Ind}$) da un sottogruppo $J_\alpha$. Questo richiede il calcolo esplicito dei valori del carattere $\Lambda$ su generatori specifici di $J_\alpha$, utilizzando gli autovalori di Hecke residui.

3. Contributi Chiave e Risultati Principali

Il risultato centrale è il Teorema 1.1 (e il Teorema 4.5), che fornisce una descrizione completa e esplicita di $\Pi_2$:

1. Struttura Indotta:
   $\Pi_2$ non è supercuspidale, ma è una rappresentazione indotta parabolicamente:
   $$\Pi_2 = \text{Ind}_{P}^{GL_3(\mathbb{Q}_2)} (\pi \boxtimes \chi)$$
   dove $P$ è il sottogruppo parabolico standard con Levi $GL_2 \times GL_1$.

2. Il Carattere $\chi$:
   $\chi$ è un carattere non ramificato di $\mathbb{Q}_2^\times$ determinato da:
   $$\chi(2) = -2\sqrt{-1}$$

3. La Rappresentazione Supercuspidale $\pi$:
   $\pi$ è una rappresentazione supercuspidale di $GL_2(\mathbb{Q}_2)$ con conduttore $2^7$ (cond(π) = 7). È costruita come induzione compatta:
   $$\pi = c\text{-Ind}_{J_\alpha}^{GL_2(\mathbb{Q}_2)} \Lambda$$

   • Estensione Quadratica: $E = \mathbb{Q}_2(\alpha)$, con $\alpha = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (notazione nel testo: $\alpha = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix}$ inteso come elemento in una matrice specifica, il testo definisce $\alpha = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix}$ nel contesto di $M_2$). Più precisamente, $\alpha \in P_{-5} \setminus P_{-4}$ è scelto come $\frac{1}{8} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (o equivalente per coniugazione).
   • Il Sottogruppo $J_\alpha$: $J_\alpha = E^\times U^3_U$, dove $U^3_U = 1 + P_3$.
   • Il Carattere $\Lambda$: $\Lambda$ è un carattere di $J_\alpha$ determinato esplicitamente dai seguenti valori:
     • $\Lambda(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}) = \chi^{-1}(a)$ per $a \in \mathbb{Q}_2^\times$.
     • $\Lambda(\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) = \frac{1+\sqrt{-1}}{2}$.
     • $\Lambda(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}) = \psi(\frac{1}{2})$, dove $\psi$ è un carattere additivo di $\mathbb{Q}_2$.
     • $\Lambda|_{U^3_U} = \psi_\alpha$, con $\psi_\alpha(x) = \psi(\text{tr}(\alpha(x-1)))$.

4. Corrispondenza con la Rappresentazione di Galois:
   Come applicazione diretta, l'autore ottiene una descrizione esplicita della componente locale 2-adica della rappresentazione di Galois $\rho_{vGT, \ell}$ associata a $\Pi$:
   $$\rho_{vGT, \ell}|_{W_{\mathbb{Q}_2}} \cong \rho_\pi \otimes |\cdot|^{1/2} \oplus \chi \otimes |\cdot|^{-1}$$
   dove $\rho_\pi$ è la rappresentazione di Galois irriducibile di dimensione 2 corrispondente a $\pi$ tramite la corrispondenza di Langlands locale per $GL_2$.

4. Significato e Impatto

• Risoluzione di un Caso Specifico Complesso: Il lavoro fornisce uno dei primi esempi espliciti e completi della struttura locale 2-adica di una rappresentazione automorfa di $GL_3$ non auto-duale, un caso che spesso sfugge alle tecniche standard a causa della ramificazione profonda.
• Verifica Computazionale della Teoria: Dimostra l'efficacia dell'uso di calcoli computazionali pesanti (autovalori di Hecke su spazi di coomologia di grandi dimensioni) per risolvere problemi teorici profondi nella teoria dei numeri, in particolare nella determinazione di rappresentazioni locali.
• Collegamento Geometria-Aritmetica: Conferma e rende esplicito il collegamento tra la coomologia di varietà algebriche (superfici definite da equazioni specifiche) e le rappresentazioni di Galois associate, fornendo dati precisi per la verifica della corrispondenza di Langlands in casi non banali.
• Metodologia Ripetibile: L'approccio mostrato (calcolo degli autovalori $\to$ esclusione di strutture supercuspidali $\to$ determinazione dei parametri dell'induzione) offre un modello metodologico per studiare altre rappresentazioni automorfe a livelli elevati o in caratteristiche residue problematiche.

In sintesi, Yamamoto risolve un problema aperto sulla struttura locale di una rappresentazione specifica, fornendo una formula esplicita per la sua componente 2-adica e collegandola direttamente alla teoria di Galois, validando la potenza dei metodi computazionali nella teoria dei numeri moderna.