The congruence subgroup property for $S$-arithmetic subgroups of simple algebraic groups when $S$ has positive Dirichlet density

1. Il Problema: Il Problema del Sottogruppo Congruente (CSP)

Il lavoro affronta il Problema del Sottogruppo Congruente (CSP) per i sottogruppi $S$-aritmici di gruppi algebrici semplici.
Sia $G$ un gruppo algebrico semplicemente connesso, assolutamente quasi semplice, definito su un campo numerico $K$. Sia $S$ un insieme di valutazioni di $K$ contenente tutte le valutazioni archimedee. Si considera il gruppo dei punti $G(\mathcal{O}(S))$, dove $\mathcal{O}(S)$ è l'anello degli interi $S$-interi.

Il CSP chiede se ogni sottogruppo normale di indice finito in $G(\mathcal{O}(S))$ contenga un sottogruppo congruenza (definito tramite ideali dell'anello).
La questione è formalizzata attraverso il nucleo di congruenza $C_S(G)$, definito come il nucleo dell'omomorfismo continuo $\pi: \widehat{G}_S \to G_S$, dove:

• $\widehat{G}_S$ è il completamento $S$-aritmico (topologia generata da tutti i sottogruppi normali di indice finito).
• $G_S$ è il completamento $S$-congruenza (topologia generata dai sottogruppi congruenza).

Il CSP ha risposta affermativa se e solo se $C_S(G)$ è banale ($C_S(G) = \{1\}$).
La congettura di Serre (1979) afferma che per $S$ finito, $C_S(G)$ è finito se il rango di $G$ su $S$ è almeno 2. Tuttavia, il caso in cui $S$ è infinito e $G$ è anisotropo su alcune completazioni rimaneva aperto o parzialmente risolto.

2. Metodologia e Strumenti Teorici

L'autore combina diverse tecniche avanzate della teoria dei gruppi algebrici e della teoria dei numeri per dimostrare la banalità del nucleo di congruenza sotto condizioni specifiche su $S$.

A. Ipotesi di Margulis-Platonov (MP)

Il risultato principale assume la validità della congettura di Margulis-Platonov per $G$ su $K$. Questa congettura descrive la struttura dei sottogruppi normali di $G(K)$, affermando che ogni sottogruppo normale non centrale è l'immagine inversa di un sottogruppo aperto normale in un prodotto di gruppi locali. Se (MP) vale, la dimostrazione che $C_S(G)$ è banale si riduce a dimostrare che $C_S(G)$ è centrale (ovvero, che l'estensione di gruppi definita da $C_S(G)$ è centrale).

B. Condizione di Centralità

Il paper utilizza un criterio di centralità (Teorema 2.1) sviluppato in lavori precedenti ([13]). Per dimostrare che $C_S(G)$ è centrale, è sufficiente mostrare che per ogni elemento $x$ nel nucleo, il suo centralizzatore nel completamento copre una potenza sufficientemente alta del gruppo discreto $\Gamma = G(\mathcal{O}(S))$.
In termini pratici, questo richiede di dimostrare che per ogni sottogruppo normale $N$ di indice finito e ogni $y \in N$, esiste un intero $n$ tale che $Z(N, y)(N \cap \Gamma) \supset \Gamma^n$.

C. Approssimazione Forte Quasi (ASA) e Tori

Un ingrediente cruciale è il concetto di Approssimazione Forte Quasi (Almost Strong Approximation - ASA) per i tori, introdotto in [17] e generalizzato da Cao e Wang [1].

• Un toro $T$ ha ASA rispetto a $S$ se l'indice $[T(\mathbb{A}_S) : T(K)]$ è finito.
• Il Teorema 4.1 stabilisce che se l'intersezione di $S$ con l'insieme dei primi che si spezzano completamente nel campo di spezzamento del toro ha densità di Dirichlet positiva, allora l'indice è finito e divide una funzione che dipende solo dalla densità e dalla dimensione del toro.

D. Costruzione di Tori "Generici" e Indipendenti

L'autore utilizza risultati sulla costruzione di tori massimali "generici" (Teorema 5.1, Proposizione 5.2). Si costruiscono tori le cui campi di spezzamento sono linearmente disgiunti su un'estensione Galoisiana minima $M$. Questo permette di sfruttare la densità di Dirichlet in modo combinatorio.

E. Densità di Dirichlet

Il paper utilizza strumenti di teoria analitica dei numeri (densità di Dirichlet superiore $\bar{d}_K$) per dimostrare che, data una densità positiva di $S \cap \text{Spl}(M/K)$, è possibile trovare un sottoinsieme di tori i cui campi di spezzamento hanno un'intersezione con $S$ di densità sufficiente a garantire l'ASA.

3. Risultati Principali

Il teorema centrale (Teorema 1.1) afferma quanto segue:

Sia $G$ un gruppo algebrico semplicemente connesso, assolutamente quasi semplice su un campo numerico $K$. Sia $M/K$ l'estensione Galoisiana minima su cui $G$ diventa una forma interna di un gruppo split.
Se:

1. La congettura di Margulis-Platonov (MP) vale per $G$ su $K$.
2. $S \subset V_K$ contiene tutte le valutazioni archimedee.
3. $S$ non contiene alcuna valutazione non archimedea $v$ per cui $G$ è anisotropo su $K_v$ (cioè $\text{rk}_{K_v} G > 0$ per ogni $v \in S \setminus V_\infty$).
4. L'intersezione $S \cap \text{Spl}(M/K)$ ha densità di Dirichlet positiva ($d_K(S \cap \text{Spl}(M/K)) > 0$).

Allora il nucleo di congruenza è banale:
$$C_S(G) = \{1\}$$

Questo implica che la proprietà del sottogruppo congruenza vale per $G(\mathcal{O}(S))$.

4. Struttura della Dimostrazione

La dimostrazione procede per casi, basandosi sulla cardinalità di $S \cap \text{Spl}(M/K)$:

• Caso 1: $S$ è finito (o quasi finito). In questo caso, $S$ contiene quasi tutti i primi che si spezzano in $M$. Questo caso era già stato trattato in lavori precedenti ([13], [17]) e porta alla banalità del nucleo.
• Caso 2: $S$ è infinito.
  1. Si fissa un intero $r$ sufficientemente grande in modo da garantire che la densità residua sia positiva.
  2. Si utilizzano le Proposizioni 5.2 e 3.5 per costruire $r$ tori massimali indipendenti $T_1, \dots, T_r$ i cui campi di spezzamento $P_k$ sono estensioni di $M$ di grado $t = |W|$ (ordine del gruppo di Weyl).
  3. Si dimostra che esiste almeno un indice $k$ tale che la densità di $S \cap \text{Spl}(P_k/K)$ è sufficientemente alta ($\ge \delta$).
  4. Applicando il Teorema 4.1 (ASA per tori), si conclude che l'indice $[T_k(\mathbb{A}_S) : T_k(K)]$ è finito e divide un numero $n$ dipendente solo da $\delta$ e dalla dimensione.
  5. Si costruisce un elemento $z \in \Gamma$ tale che la sua potenza $z^n$ sia centralizzata da un elemento appropriato nel completamento, soddisfacendo la condizione (1) del Teorema 2.1.
  6. Questo implica che $C_S(G)$ è centrale. Poiché (MP) vale, $C_S(G)$ è isomorfo al nucleo metaplettico, che è noto essere banale per $S$ infinito.

5. Significato e Contributi

• Generalizzazione: Il risultato estende le conoscenze sul CSP a insiemi infiniti $S$ molto più generali rispetto ai precedenti (che richiedevano $S$ di essere il complementare di un insieme finito o una progressione aritmetica generalizzata). La condizione di "densità di Dirichlet positiva" è una condizione molto più debole e naturale.
• Indipendenza dai casi: La dimostrazione è universale per tutti i gruppi algebrici semplici semplicemente connessi che soddisfano (MP). Non richiede un'analisi caso per caso (es. tipi $A_n, B_n$, ecc.), a differenza di molti risultati precedenti.
• Supporto alla Congettura di Serre: Fornisce ulteriori prove forti a sostegno della congettura di Serre, mostrando che la banalità del nucleo di congruenza è la regola quando si hanno abbastanza "gradi di libertà" locali (rango positivo) e una densità sufficiente di primi che permettono lo spezzamento del gruppo.
• Metodologia: Introduce una potente combinazione di approssimazione forte quasi (ASA) per tori e tecniche di densità di Dirichlet per gestire la struttura dei sottogruppi normali in contesti infiniti.

In sintesi, il paper risolve il CSP per una vasta classe di gruppi $S$-aritmici su insiemi infiniti, dimostrando che la presenza di una densità positiva di primi che si spezzano completamente nel campo di spezzamento interno è sufficiente a garantire la proprietà del sottogruppo congruenza, assumendo la congettura di Margulis-Platonov.