Semilattice sums of algebras and Mal'tsev products of varieties

1. Il Problema

Il lavoro si inserisce nel contesto della teoria delle varietà di algebre e dei prodotti di Mal'tsev. Il problema centrale affrontato dagli autori è determinare le condizioni sotto le quali il prodotto di Mal'tsev di due varietà di algebre simili, $V$ e $S$, costituisca a sua volta una varietà (definita da un insieme di identità) piuttosto che una semplice quasi-varietà (definita da quasi-identità).

Nello specifico, l'articolo esamina il caso in cui:

• $V$ è una varietà di algebre $\Omega$.
• $S$ è la varietà delle semilattice (reticoli semilattice) dello stesso tipo di $V$.
• Il prodotto $V \circ S$ è definito come la classe delle algebre che ammettono una congruenza $\theta$ tale che il quoziente $A/\theta$ appartiene a $S$ e ogni classe di congruenza appartiene a $V$. Tali algebre sono note come somme di semilattice di algebre in $V$.

Sebbene sia noto (grazie a Mal'tsev) che $V \circ S$ è sempre una quasi-varietà, non era chiaro quando questa coincidesse con una varietà. Il lavoro mira a colmare questa lacuna, fornendo condizioni sufficienti e una base equazionale per il caso in cui ciò avvenga, e mostrando controesempi quando non si verifica.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio che combina teoria delle varietà, teoria delle congruenze e costruzioni algebriche specifiche:

• Classificazione delle identità: Si fa una distinzione cruciale tra identità regolari (stesse variabili a sinistra e a destra) e identità fortemente irregolari (della forma $t(x, y) = x$, dove $t$ è un termine binario).
• Costruzione della "Prolungazione" ($V^p$): Viene introdotta una nuova varietà, detta prolungamento $V^p$, generata dalle identità ottenute applicando una trasformazione specifica alle identità di base di $V$. Questa trasformazione sostituisce ogni variabile in un'identità con un termine che contiene tutte le variabili di un insieme fisso, garantendo che le nuove identità siano regolari.
• Analisi delle algebre libere: Si studia la struttura delle algebre libere nella varietà prolungata $V^p$ per dimostrare che esse possiedono una struttura di somma di semilattice.
• Uso di somme di Plonka e Lallement: Si utilizzano le somme di Plonka (un tipo specifico di somma di semilattice con omomorfismi functoriali) e la loro generalizzazione, le somme di Lallement, per analizzare la struttura interna degli algebre nel prodotto di Mal'tsev.
• Dimostrazione per casi: Si tratta prima il caso della varietà $T_t$ definita da una singola identità fortemente irregolare $t(x,y)=x$, per poi generalizzare il risultato a qualsiasi sottovarietà fortemente irregolare $V_t$.

3. Contributi Chiave e Risultati Principali

A. Il Teorema Principale (Teorema 5.3)

Il risultato fondamentale dell'articolo afferma che se $V$ è una varietà fortemente irregolare (soddisfa un'identità della forma $t(x, y) = x$), priva di operazioni nullarie e con almeno un'operazione non unaria, allora:

1. Il prodotto di Mal'tsev $V \circ S$ è una varietà.
2. Questa varietà coincide esattamente con la prolungazione $V^p$ di $V$.
3. Se $\Sigma$ è una base equazionale per $V$, allora $\Sigma^p$ (l'insieme delle identità prolungate) è una base equazionale per $V \circ S$.

In termini pratici, questo significa che per le varietà fortemente irregolari, la classe delle somme di semilattice di algebre in $V$ è completamente assiomatizzabile tramite identità derivate da quelle di $V$.

B. Il Ruolo dell'Irregolarità Forte

L'articolo dimostra che l'ipotesi di "forte irregolarità" è essenziale.

• Controesempio: Se $V$ è una varietà regolare (soddisfa solo identità regolari), il prodotto $V \circ S$ potrebbe non essere una varietà.
• Viene fornito un esempio specifico con la varietà $CG$ dei groupoidi commutativi e la varietà $S$ delle semilattice. Si dimostra che $CG \circ S$ non è una varietà perché non soddisfa certe identità, ma richiede quasi-identità (come quella mostrata nell'Esempio 4.13). In particolare, si mostra che $S \circ S$ non è una varietà.

C. Relazione tra Prolungamento, Regularizzazione e Pseudo-regularizzazione

Gli autori chiariscono le relazioni tra diverse costruzioni:

• Regularizzazione ($\tilde{V}$): La varietà generata da $V$ e $S$ (somma di varietà), costituita da somme di Plonka di algebre in $V$.
• Pseudo-regularizzazione ($\underline{V}$): Una varietà intermedia definita da identità specifiche (P1-P4) che permette somme di semilattice più generali.
• Prolungamento ($V^p$): La varietà risultante dal prodotto di Mal'tsev $V \circ S$ nel caso fortemente irregolare.
  Il lavoro mostra che per varietà fortemente irregolari, $V \circ S = V^p$, e che $V^p$ contiene sia la regularizzazione che la pseudo-regularizzazione.

D. Applicazioni ed Esempi

L'articolo analizza diversi casi specifici per illustrare la teoria:

• Semilattice di gruppi (Gruppi): La varietà dei gruppi $GP$ è fortemente irregolare. Il prodotto $GP \circ S$ è una varietà di groupoidi (non di semigruppi) che generalizza le "strong semilattices of groups" (somme di Plonka di gruppi).
• Band (Semigruppi idempotenti): Si analizza il caso delle bande a sinistra ($LZ$), mostrando che $LZ \circ S$ è una varietà ma non è composta da semigruppi.
• Sistemi di Birkhoff e Quasigruppi di Steiner: Si discutono casi in cui la regularizzazione e la pseudo-regularizzazione divergono, offrendo esempi di algebre che sono somme di semilattice ma non somme di Plonka.
• Algebre baricentriche: Si dimostra che le algebre baricentriche sono somme di semilattice di insiemi convessi aperti, ma non formano una varietà nel senso stretto del prodotto di Mal'tsev a causa di identità lineari.

4. Significato e Implicazioni

Questo lavoro ha un impatto significativo sulla teoria delle algebre universali per diversi motivi:

1. Risolvibilità del problema della varietà: Fornisce una classe ampia e ben definita (le varietà fortemente irregolari) per la quale il prodotto di Mal'tsev con le semilattice è garantito essere una varietà, risolvendo un problema aperto fino a poco tempo fa.
2. Metodo di costruzione equazionale: Offre un algoritmo esplicito per costruire una base equazionale per il prodotto di Mal'tsev a partire da una base della varietà originale, attraverso l'operazione di "prolungamento".
3. Distinzione strutturale: Mette in luce la profonda differenza strutturale tra le somme di Plonka (che richiedono omomorfismi functoriali) e le somme di semilattice generali (che appaiono nel prodotto di Mal'tsev). Il lavoro mostra che per varietà fortemente irregolari, la struttura di somma di semilattice è così rigida da essere catturata interamente da identità.
4. Strumenti di rappresentazione: Introduce e formalizza l'uso delle somme di Lallement come strumento per ricostruire la struttura dettagliata delle algebre nel prodotto di Mal'tsev, specialmente nel caso in cui le algebre componenti possiedano unità laterali. Questo permette di passare dalla conoscenza dei "pezzi" (le algebre in $V$) e del "quoziente" (la semilattice) alla ricostruzione dell'algebra intera.

In sintesi, l'articolo stabilisce un ponte teorico solido tra le proprietà equazionali delle varietà e la loro decomposizione strutturale in somme di semilattice, fornendo strumenti potenti per l'analisi e la classificazione di algebre complesse in contesti di teoria delle varietà.