Quantifying Omitted Variable Bias in Nonlinear Instrumental Variable Estimators

1. Il Problema

Gli stimatori a variabile strumentale (IV) sono strumenti fondamentali nell'econometria per affrontare il problema dell'endogeneità. Tuttavia, la loro validità è compromessa quando variabili rilevanti vengono omesse dal modello (Omitted Variable Bias - OVB). Mentre l'analisi della sensibilità per l'OVB è ben consolidata nei modelli lineari, esiste una lacuna significativa nella quantificazione di questo bias negli stimatori IV non lineari.

Il paper si concentra su una vasta classe di stimatori IV non lineari, tra cui:

• L'effetto medio del trattamento locale (LATE).
• L'effetto medio del trattamento locale sui trattati (LATT).
• Il modello IV parzialmente lineare (PLIVM).

L'obiettivo è sviluppare un framework per quantificare l'entità del bias causato dall'omissione di covariate non osservabili ($A$), derivare limiti di identificazione parziale e costruire intervalli di confidenza corretti per l'OVB.

2. Metodologia

L'autore estende i risultati di Chernozhukov et al. (2024a) per gestire stimatori che possono essere espressi come rapporto tra due parametri:
$$\theta = \frac{\lambda}{\gamma}$$
dove $\lambda$ e $\gamma$ sono aspettative pesate di funzioni di outcome ($Y$) e trattamento ($D$). Quando le variabili omesse $A$ non sono disponibili, si ottiene una versione "breve" dello stimatore ($\theta_s$) che è generalmente distorta.

A. Decomposizione del Bias e Limiti di Identificazione

Il paper deriva la decomposizione del bias per i componenti $\lambda$ e $\gamma$. La differenza tra il parametro vero e quello stimato senza $A$ è legata alla correlazione tra la funzione di peso mancante e l'errore di previsione.
Vengono introdotti parametri di sensibilità ($C_\alpha, C_Y, C_D$) che misurano quanto la variabile omessa $A$ influisce sulla precisione predittiva di $Z$ (strumento), $Y$ (outcome) e $D$ (trattamento).
Utilizzando questi parametri e i coefficienti di correlazione ($\rho$), l'autore costruisce limiti inferiori e superiori ($\lambda^-, \lambda^+, \gamma^-, \gamma^+$) per i parametri veri.
Sulla base di questi limiti, viene sviluppato un teorema (Teorema 1) per derivare i limiti di identificazione parziale per il parametro strutturale $\theta$, considerando diversi casi di segno per $\gamma$ e $\lambda$.

B. Stima con Double Machine Learning (DML)

Per stimare i limiti di OVB in presenza di covariate ad alta dimensionalità e relazioni non lineari complesse, il metodo utilizza:

1. Double Machine Learning (DML): Sfrutta la proprietà di ortogonalità di Neyman per stimare i parametri di disturbo (nuisance parameters) come le probabilità di propensione e le funzioni di regressione condizionale, utilizzando algoritmi di machine learning (es. Random Forest).
2. Cross-fitting a K-fold: Per mitigare il bias di overfitting.
3. Metodo della Mediana: Per migliorare la stabilità delle stime finali riducendo la variabilità dovuta alla divisione del campione.

C. Inferenza Statistica e Intervalli di Confidenza

Il paper deriva le funzioni di influenza (IF) per i limiti di OVB e ne dimostra l'asintotica normalità.
Un contributo cruciale è la costruzione di intervalli di confidenza aggiustati per l'OVB. Per garantire la validità uniforme quando l'intervallo di identificazione è stretto (o nullo), l'autore adotta il metodo di "shrinkage" di Stoye (2009). Questo approccio evita che gli intervalli di confidenza diventino eccessivamente stretti quando l'identificazione è debole, fornendo una copertura valida al livello $(1-\tau)$.

D. Analisi di Benchmarking

Per assegnare valori realistici ai parametri di sensibilità (che non sono identificati dai dati), viene proposta un'analisi di benchmarking. I ricercatori confrontano il potere esplicativo della variabile omessa $A$ con quello di una variabile osservabile esclusa dal modello ($X_j$). Se $A$ è almeno importante quanto $X_j$, si possono derivare limiti superiori ragionevoli per i parametri di sensibilità.

3. Risultati Principali (Applicazione Empirica JTPA)

L'autore applica il framework ai dati dell'esperimento Job Training Partnership Act (JTPA) negli USA, analizzando l'impatto dei programmi di formazione sull'occupazione e sui guadagni, distinguendo tra lavoratori maschi e femmine.

• Robustezza del Primo Stadio: Le stime della probabilità di conformità (il primo stadio, $\gamma$) risultano molto robuste alle variabili omesse per entrambi i sessi. I limiti di sensibilità mostrano che occorrerebbe un bias enorme per rendere non significativi questi risultati.
• Sensibilità di ITT e LATE: Le stime dell'effetto Intention-to-Treat (ITT, $\lambda$) e del LATE sono più sensibili all'omissione di variabili.
• Differenze di Genere:
  • Femmine: Gli impatti del programma (LATE) rimangono robusti e statisticamente significativi anche dopo aver corretto per l'OVB e l'incertezza dei limiti.
  • Maschi: Gli effetti per i maschi risultano fragili. Una volta considerati l'OVB e l'incertezza associata ai limiti di identificazione, la significatività statistica svanisce o diventa molto debole.

4. Contributi Chiave

1. Generalizzazione Non Lineare: Estende l'analisi di sensibilità dall'ambito lineare a una classe ampia di stimatori IV non lineari (LATE, LATT, PLIVM).
2. Framework Unificato: Fornisce una metodologia coerente per la decomposizione del bias, l'identificazione parziale e l'inferenza statistica in contesti di OVB.
3. Integrazione con Machine Learning: Combina la teoria dell'identificazione parziale con tecniche moderne di DML, permettendo il controllo flessibile di un gran numero di covariate.
4. Inferenza Uniformemente Valida: Propone intervalli di confidenza corretti che mantengono la copertura desiderata anche quando l'identificazione è parziale o debole, risolvendo problemi noti nella letteratura precedente.

5. Significato

Questo lavoro offre agli econometristi e ai ricercatori un toolkit pratico e rigoroso per valutare la robustezza delle conclusioni causali in studi che utilizzano variabili strumentali non lineari. Dimostra che, sebbene alcuni risultati (come la conformità al trattamento) possano essere robusti, le stime degli effetti causali finali possono essere altamente sensibili all'omissione di variabili non osservate, specialmente in sottogruppi specifici (come nel caso dei maschi nell'esempio JTPA). Il metodo permette di quantificare esattamente quanto "forte" dovrebbe essere una variabile omessa per invalidare una conclusione, migliorando la trasparenza e l'affidabilità della ricerca empirica.