Quantifying Omitted Variable Bias in Nonlinear Instrumental Variable Estimators

1. Planteamiento del Problema

Los estimadores de Variables Instrumentales (VI) son fundamentales en la econometría causal para abordar la endogeneidad. Sin embargo, su validez se ve comprometida cuando se omiten variables relevantes (variables no observables o $A$) que afectan tanto al tratamiento ($D$) como al resultado ($Y$).

La literatura existente, como la de Chernozhukov et al. (2024a), ha desarrollado marcos para el análisis de sensibilidad en modelos lineales. El problema central de este trabajo es la falta de un marco general para cuantificar el Sesgo de Variables Omisas (OVB) en una clase amplia de estimadores no lineales de VI, específicamente:

• El Efecto Promedio Local del Tratamiento (LATE).
• El Efecto Promedio Local del Tratamiento en los Tratados (LATT).
• El modelo de VI parcialmente lineal (PLIVM).

El objetivo es caracterizar la magnitud del sesgo ($|Bias| = |\theta - \theta_s|$) causado por usar una versión "corta" del modelo (sin $A$) en lugar de la versión "larga" (con $A$), y construir límites de identificación parcial y intervalos de confianza ajustados.

2. Metodología

El autor propone un marco unificado que descompone el sesgo y utiliza herramientas de aprendizaje automático para su estimación.

A. Estructura General de los Estimadores

El paper asume que muchos estimadores de VI pueden expresarse como una razón de dos expectativas:
$$\theta = \frac{\lambda}{\gamma} = \frac{E[\alpha(W)g_Y(W)]}{E[\alpha(W)g_D(W)]}$$
Donde $W = (Z, X, A)$ incluye la variable instrumental $Z$, covariables observables $X$ y omitidas $A$. La versión "corta" ($\theta_s$) utiliza solo $W_s = (Z, X)$.

B. Límites de Identificación Parcial (OVB Bounds)

En lugar de calcular el sesgo directamente, el autor deriva límites para los componentes $\lambda$ y $\gamma$ basándose en la teoría de inferencia con instrumentos débiles y descomposición de sesgos:

1. Descomposición del Sesgo: Se demuestra que el sesgo en $\lambda_s$ y $\gamma_s$ depende de la correlación entre la diferencia de los pesos ($\alpha - \alpha_s$) y la diferencia en las predicciones ($g - g_s$).
2. Parámetros de Sensibilidad: Se introducen parámetros adimensionales ($C_\alpha, C_Y, C_D$) que miden la fuerza de la variable omitida $A$ en términos de:
   • Mejora en la precisión predictiva de $Z$ al incluir $A$ (relacionado con $R^2$ parcial no paramétrico).
   • Reducción proporcional del Error Cuadrático Medio (MSE) en la predicción de $Y$ y $D$.
3. Teorema de Límites: Se derivan límites superiores e inferiores ($\lambda^-, \lambda^+, \gamma^-, \gamma^+$) para los parámetros estructurales. A partir de estos, se construyen los límites para $\theta$ (LATE/LATT) considerando los signos de los denominadores y numeradores (Teorema 1).

C. Estimación y Inferencia

Para estimar estos límites en presencia de covariables de alta dimensión y formas funcionales complejas:

• Double Machine Learning (DML): Se utiliza DML combinado con K-fold cross-fitting para estimar los parámetros de "molestia" (nuisance parameters) como las puntuaciones de propensión y las regresiones condicionales. Esto garantiza la ortogonalidad de Neyman y evita el sobreajuste.
• Análisis de Referencia (Benchmarking): Para asignar valores a los parámetros de sensibilidad ($C_\alpha, C_Y, C_D$), se compara la fuerza de la variable omitida $A$ con la de las variables observables excluidas ($X_j$). Se asume que $A$ es tan importante como la variable observable más fuerte excluida.
• Intervalos de Confianza Ajustados: Se construyen intervalos de confianza (IC) que incorporan la incertidumbre del sesgo. Se utiliza el método de contracción (shrinkage) de Stoye (2009) para garantizar la validez uniforme de los IC, evitando que sean demasiado estrechos cuando el sesgo es pequeño.

3. Contribuciones Clave

1. Extensión a No Linealidad: Generaliza los resultados de sensibilidad de Chernozhukov et al. (2024a) desde modelos lineales a estimadores no lineales (LATE, LATT), que son fundamentales en la evaluación de programas sociales con incumplimiento parcial.
2. Descomposición y Acotación Rigurosa: Proporciona fórmulas explícitas para descomponer el sesgo en componentes de varianza y correlación, permitiendo la identificación parcial de los parámetros estructurales.
3. Herramientas de Inferencia Robusta: Desarrolla procedimientos de inferencia estadística (IC ajustados por OVB) que son válidos asintóticamente incluso cuando se utilizan algoritmos de aprendizaje automático para estimar funciones de control.
4. Adaptabilidad a Alta Dimensión: Integra el DML para manejar conjuntos de covariables grandes, lo cual es crucial en aplicaciones empíricas modernas donde el control de confusores es complejo.

4. Resultados Empíricos (Aplicación JTPA)

El método se aplica a los datos del experimento de la Job Training Partnership Act (JTPA) de EE. UU., analizando el impacto en los ingresos de trabajadores masculinos y femeninos.

• Robustez del Primer Paso (Compliance): Las estimaciones de la probabilidad de cumplimiento ($\gamma$, o proporción de compliers) son muy robustas a la omisión de variables. Los límites de sensibilidad indican que se necesitarían variables omitidas extremadamente fuertes para alterar la significancia estadística de $\gamma$.
• Sensibilidad del ITT y LATE:
  • Mujeres: Los efectos del tratamiento (LATE e ITT) permanecen estadísticamente significativos y robustos incluso después de ajustar por el OVB y la incertidumbre de los límites.
  • Hombres: Los efectos del tratamiento son frágiles. Al considerar el OVB, la significancia estadística desaparece o se vuelve inestable, sugiriendo que las conclusiones sobre la eficacia del programa para hombres son sensibles a la omisión de variables no observadas.
• Comparación de Métodos: Los intervalos de confianza ajustados por OVB (usando el método de contracción) son más amplios que los intervalos convencionales, reflejando la incertidumbre adicional, pero mantienen una cobertura válida del 95%.

5. Significado e Impacto

Este trabajo ofrece un marco unificado y práctico para que los investigadores realicen análisis de sensibilidad en estudios causales no lineales. Su importancia radica en:

• Transparencia: Permite cuantificar cuánto podrían cambiar las conclusiones si existieran variables no observadas, en lugar de simplemente asumir que no las hay.
• Rigor en Políticas Públicas: Al demostrar que los efectos de programas de formación pueden ser frágiles para ciertos subgrupos (hombres) pero robustos para otros (mujeres), el estudio advierte contra la generalización de resultados sin un análisis de sensibilidad adecuado.
• Herramienta Computacional: La implementación mediante DML hace que este análisis sea factible en conjuntos de datos modernos y complejos, superando las limitaciones de los métodos lineales tradicionales.

En resumen, el artículo proporciona las herramientas teóricas y empíricas necesarias para evaluar la credibilidad de las estimaciones causales en presencia de endogeneidad y variables omitidas en contextos no lineales.