The best constant in the G-N inequality for the mixed local and Nonlocal Laplacian

Titolo: La costante migliore nella disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg per il Laplaciano misto locale e non locale

1. Il Problema

Il lavoro si concentra sullo studio della disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg (GN) nel contesto di operatori misti, ovvero combinazioni di un operatore Laplaciano classico (locale, $-\Delta$) e un operatore Laplaciano frazionario (non locale, $(-\Delta)^s$).

L'obiettivo principale è determinare la costante ottimale $C_{N,p,s}$ nella seguente disuguaglianza per $N \ge 3$, $s \in (0, 1)$ e $p \in (2^*_s, 2^*)$:
$$\int_{\mathbb{R}^N} |u|^p dx \le C_{N,p,s} \|u\|_{D^{s,2}(\mathbb{R}^N)}^{\alpha} \|u\|_{D^{1,2}(\mathbb{R}^N)}^{\beta}$$
dove $\alpha$ e $\beta$ sono esponenti critici dipendenti da $N, s, p$, e gli spazi sono definiti dalle semi-norme associate agli operatori frazionario e classico.

Le sfide principali identificate dagli autori sono:

• Mancanza del termine $L^2$: A differenza delle equazioni Schrödinger standard (che includono un termine $+u$), l'equazione fondamentale studiata è $-\Delta u + (-\Delta)^s u = |u|^{p-2}u$. La mancanza del termine di massa ($L^2$) rende difficile ottenere risultati di regolarità per le soluzioni deboli.
• Identità di Pohozaev: Senza regolarità sufficiente, non è scontato che tutte le soluzioni deboli soddisfino l'identità di Pohozaev, uno strumento classico fondamentale per collegare le soluzioni alle costanti ottimali (come fatto da Weinstein nel caso puramente locale).
• Unicità e Non-degenerazione: Per gli operatori misti, l'unicità delle soluzioni (a meno di simmetrie) e la non-degenerazione dell'operatore linearizzato associato sono questioni aperte e difficili.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio innovativo basato sulla variazione su varietà di Nehari-Pohozaev per superare le difficoltà di regolarità e l'assenza di unicità nota.

• Spazi di Sobolev Misti: Viene definito lo spazio $E$ come il completamento di $C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$ rispetto alla norma che combina le energie del Laplaciano classico e frazionario.
• Teorema di Traslazione di Lieb Esteso: Viene dimostrato un'estensione del teorema di Lieb per sequenze limitate in $E$, cruciale per gestire la mancanza di compattezza dovuta all'invarianza per traslazione in $\mathbb{R}^N$.
• Funzionale di Weinstein: Viene introdotto un funzionale di minimizzazione $W(u)$ il cui infimo corrisponde all'inverso della costante ottimale $C_{N,p,s}^{-1}$.
• Varietà di Nehari e Pohozaev:
  • Si definisce la varietà di Nehari $\mathcal{N}$ (dove il derivato funzionale è nullo sulla direzione radiale).
  • Si definisce la varietà di Nehari-Pohozaev $\mathcal{M} = \{u \in E \setminus \{0\} \mid P(u) = 0\}$, dove $P(u)$ è l'identità di Pohozaev.
• Strategia di Dimostrazione: Invece di tentare di dimostrare che tutte le soluzioni deboli soddisfano l'identità di Pohozaev (impossibile senza regolarità), gli autori dimostrano l'esistenza di una soluzione specifica (la soluzione di stato fondamentale) che appartiene alla varietà $\mathcal{M}$ e soddisfa l'identità. Questo permette di collegare il minimizzatore della disuguaglianza GN alla soluzione dell'equazione differenziale.

3. Contributi Chiave

1. Superamento della barriera di regolarità: Gli autori aggirano la necessità di una regolarità globale delle soluzioni deboli dimostrando che la soluzione di stato fondamentale (ground state) esiste e soddisfa l'identità di Pohozaev attraverso un metodo variazionale diretto sulla varietà $\mathcal{M}$.
2. Collegamento tra Ottimizzatori e Soluzioni: Si dimostra che l'ottimizzatore della disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg è, a meno di scalature, una soluzione radiale non negativa dell'equazione mista $-\Delta u + (-\Delta)^s u = |u|^{p-2}u$.
3. Calcolo Esplicito della Costante: Viene fornita una formula esplicita per la costante migliore $C_{N,p,s}$ in termini dell'energia dello stato fondamentale $c$ e delle norme della soluzione.

4. Risultati Principali

• Teorema 1.1 (Esistenza dell'ottimizzatore): Esiste una costante positiva $C_{N,p,s}$ che è la migliore possibile. Esiste un ottimizzatore radiale non negativo $u \in E$. Inoltre, una trasformazione scalata di questo ottimizzatore, $Q = \lambda_1 u(\lambda_2 x)$, è una soluzione debole dell'equazione (P) e soddisfa relazioni precise tra le norme $D^{1,2}$, $D^{s,2}$ e $L^p$.
• Teorema 1.2 (Esistenza dello Stato Fondamentale): L'equazione (P) ammette una soluzione di stato fondamentale radiale $\Phi$ che minimizza il funzionale energetico $I$ sulla varietà di Nehari $\mathcal{N}$.
• Teorema 1.3 (Esistenza sulla Varietà Pohozaev): Esiste una soluzione $\Psi$ che soddisfa l'identità di Pohozaev ($P(\Psi)=0$) e minimizza l'energia sulla varietà di Nehari-Pohozaev $\mathcal{M}$. Questo risolve il problema dell'assenza di regolarità: anche se non tutte le soluzioni soddisfano Pohozaev, quella di stato fondamentale sì.
• Teorema 1.4 (Formula della Costante Ottimale): La costante migliore è data da:
  $$C_{N,p,s}^{-1} = \left( \frac{2N - p(N-2)}{2p(1-s)} \right)^{\frac{2N-p(N-2)}{4(1-s)}} \left( \frac{p(N-2s)-2N}{2p(1-s)} \right)^{\frac{p(N-2s)-2N}{4(1-s)}} \left[ \frac{2p}{p-2} c \right]^{\frac{p-2}{2}}$$
  dove $c = \inf_{u \in \mathcal{N}} I(u)$ è l'energia dello stato fondamentale.

5. Significato e Impatto

Questo lavoro è significativo per diversi motivi:

• Generalizzazione: Estende i risultati classici di Weinstein (per il Laplaciano) e di Frank-Lenzmann (per il Laplaciano frazionario) al caso misto, che è fisicamente rilevante ma matematicamente più complesso.
• Nuovo Strumento Metodologico: L'uso della varietà di Nehari-Pohozaev per stabilire l'identità di Pohozaev per soluzioni di equazioni con operatori misti senza assumere regolarità a priori rappresenta un avanzamento metodologico importante nell'analisi non lineare.
• Applicazioni: Gli operatori misti descrivono fenomeni in cui la diffusione avviene sia localmente che a lungo raggio (es. dinamiche di popolazione, modelli epidemici con restrizioni regionali/globali, meccanica dei materiali peridinamici). La conoscenza della costante ottimale è cruciale per la stabilità e l'analisi qualitativa di tali modelli.
• Risoluzione di Questioni Aperte: Fornisce una prova rigorosa dell'esistenza di soluzioni che soddisfano l'identità di Pohozaev in un contesto dove la teoria della regolarità standard fallisce, aprendo la strada a studi futuri su unicità e stabilità per operatori misti.