Proofs for Andrews' Conjectures 5 and 6 on $v_1(q)$

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si concentra sullo studio delle serie $q$-analitiche presenti nel "Lost Notebook" di Ramanujan, in particolare sulla funzione definita come:
$$v_1(q) := \sum_{n \ge 0} \frac{q^{n(n+1)/2}}{(-q^2; q^2)_n} = \sum_{n \ge 0} V_1(n)q^n$$
dove $V_1(n)$ sono i coefficienti della serie.

Andrews aveva formulato diverse congetture riguardanti il comportamento asintotico e la regolarità dei segni di questi coefficienti. Mentre Folsom, Males, Rolen e Storzer avevano recentemente dimostrato la Congettura 4 (riguardante la distribuzione dei segni per quasi tutti gli $n$) e una versione raffinata della Congettura 3 (crescita illimitata del modulo), le Congetture 5 e 6 rimanevano aperte. Queste congetture affermano che:

• Congettura 5: Esiste una sequenza infinita di interi $N_n$ (con $N_n > 10n^2$) tale che i tre coefficienti consecutivi $V_1(N_n), V_1(N_n+1), V_1(N_n+2)$ abbiano lo stesso segno.
• Congettura 6: In corrispondenza di tali $N_n$, i valori $|V_1(N_n)|, |V_1(N_n+1)|, |V_1(N_n+2)|$ contengono un minimo locale della sequenza $|V_1(j)|$.

2. Metodologia e Strumenti Matematici

L'autore utilizza un approccio analitico basato sull'asintotica dei coefficienti $V_1(n)$ stabilita in lavori precedenti (Folsom et al.). La strategia si articola in tre fasi principali:

1. Analisi Asintotica: Si parte dalla formula asintotica per $V_1(n)$, che coinvolge un fattore esponenziale $e^{c\sqrt{n}}$, un fattore trigonometrico e termini di errore. Separando i casi pari e dispari, l'autore definisce due funzioni trigonometriche chiave:

   • $F_-(x) = \cos x - \sin x$ (per $n$ pari)
   • $F_+(x) = \cos x + \sin x$ (per $n$ dispari)
     I segni e le magnitudini di $V_1(n)$ sono dominati da queste funzioni valutate in $c\sqrt{n}$.

2. Studio delle Zeri e Distanza dagli Interi:

   • Si identificano gli zeri di $F_-$ e $F_+$, che corrispondono a sequenze quadratiche di indici $m$: $r_m = \pi(m + 1/4)$ e $s_m = \pi(m + 3/4)$.
   • Si introduce la costante $\alpha = \pi^2 / (2|V|)$, dove $V$ è legato alla funzione Dilogaritmo di Bloch-Wigner.
   • Il cuore della dimostrazione è il Teorema 3, che prova che le sequenze quadratiche $\alpha(m + 1/4)^2$ e $\alpha(m + 3/4)^2$ rimangono a una distanza positiva dagli interi ($\ge \delta > 0$) per infiniti valori di $m$. Questo risultato è ottenuto dimostrando che $\alpha$ non è un intero (tramite stime numeriche del Dilogaritmo) e utilizzando il teorema di equidistribuzione di Weyl (se $\alpha$ è irrazionale) o proprietà di periodicità modulo 1 (se $\alpha$ è razionale).

3. Costruzione delle Terne con lo Stesso Segno:

   • Sfruttando la distanza dagli interi, l'autore costruisce sequenze di interi $N_m$ (pari) e $M_m$ (dispari) che si trovano immediatamente a sinistra o a destra degli zeri delle funzioni trigonometriche.
   • Si dimostra che in un intorno sufficientemente piccolo di questi punti critici, le funzioni $F_-$ e $F_+$ mantengono segni specifici e costanti per tre indici consecutivi ($n, n+1, n+2$).
   • Si controlla che il termine principale dell'asintotica domini i termini di errore, garantendo che il segno reale di $V_1(n)$ coincida con quello del termine principale.

3. Risultati Chiave

Il documento dimostra rigorosamente i seguenti teoremi:

• Teorema 4: Per una sottosequenza infinita di indici pari $N_m$, i coefficienti $V_1(N_m), V_1(N_m+1), V_1(N_m+2)$ hanno lo stesso segno. Inoltre, $|V_1(N_m)|$ e $|V_1(N_m+2)|$ sono minimi locali stretti della sequenza dei moduli.
• Teorema 5: Un risultato analogo vale per una sottosequenza infinita di indici dispari $M_m$.
• Teorema 1 (Conclusione): Esiste una sequenza globale di interi $(N_n)_{n \ge 5}$ che soddisfa le condizioni delle Congetture 5 e 6. La sequenza inizia con i valori calcolati esplicitamente da Andrews ($293, 410, 545, 702$) e prosegue con valori generati asintoticamente che soddisfano $N_n > 10n^2$.

4. Contributi Specifici

• Dimostrazione Unconditional: La prova è presentata come incondizionata (non dipende da congetture non dimostrate come l'ipotesi di Riemann o altre ipotesi analitiche non verificate).
• Analisi Fine degli Errori: L'autore fornisce stime precise sui termini di errore nell'asintotica, dimostrando che sono trascurabili rispetto al termine principale nelle regioni critiche scelte.
• Proprietà di Distanza: La dimostrazione che le sequenze quadratiche associate agli zeri delle funzioni trigonometriche non si avvicinano arbitrariamente agli interi è un risultato tecnico significativo che permette di controllare il comportamento oscillatorio dei coefficienti.

5. Significato

Questo lavoro completa la serie di dimostrazioni relative alle congetture di Andrews sui coefficienti di $v_1(q)$.

• Chiusura del Ciclo: Conferma definitivamente le Congetture 5 e 6, chiudendo un capitolo importante nello studio delle serie $q$ di Ramanujan.
• Comprensione Strutturale: Dimostra che, nonostante la crescita "non molto regolare" dell'ampiezza $|V_1(n)|$, esiste una struttura profonda e regolare nei segni e nei minimi locali, che si manifesta in modo periodico ma non banale (legato alla natura irrazionale della costante $\alpha$).
• Metodologia: Offre un modello per l'analisi di altre serie $q$ con comportamenti asintotici simili, combinando teoria dei numeri (distribuzione modulo 1) e analisi asintotica complessa.

In sintesi, El Bachraoui risolve il problema dimostrando che la "regolarità dei segni" ipotizzata da Andrews non è solo un fenomeno statistico (come nella Congettura 4), ma si manifesta in modo deterministico e strutturato in sequenze infinite di triple consecutive, con minimi locali ben definiti.