Automorphism groups of hyperelliptic curves of $2$-rank zero

1. Problema e Contesto

Il lavoro si concentra sullo studio dei gruppi di automorfismo delle curve iperellittiche definite su un campo algebricamente chiuso $K$ di caratteristica 2, che possiedono 2-rango uguale a 0 (o sono supersingolari).

• Contesto Teorico: La ricerca è motivata da una congettura analoga a quella di Oort. La congettura originale di Oort prevede che il gruppo di automorfismo di una varietà abeliana supersingolare genericamente polarizzata di dimensione $g \ge 2$ sia isomorfo a $\{\pm 1\} \simeq \mathbb{Z}_2$. Gli autori indagano se un'analoga affermazione valga per le curve iperellittiche di 2-rango 0 in caratteristica 2.
• Definizione delle Curve: Le curve in esame sono curve di Artin-Schreier della forma:
  $$C: y^2 - y = f(x)$$
  dove $f(x) = x(x^{2n} + a_{n-1}x^{2(n-1)} + \dots + a_1x^2 + a_0)$. È noto che tali curve hanno 2-rango 0 e, viceversa, ogni curva iperellittica di 2-rango 0 su $K$ può essere rappresentata in questa forma. Il genere della curva è $g=n$.
• Obiettivo: Determinare la struttura del gruppo di automorfismo ridotto $RA(C) = Aut(C)/\langle \sigma \rangle$ (dove $\sigma$ è l'involuzione iperellittica) e l'ordine del gruppo completo $Aut(C)$ per piccoli valori di genere ($g \le 9$), e formulare congetture per casi generali.

2. Metodologia

Gli autori combinano teoria algebrica dei gruppi con calcoli computazionali avanzati.

• Struttura Teorica:

  • Viene stabilito che ogni automorfismo di $C$ è indotto da una trasformazione di coordinate della forma:
    $$x \mapsto \alpha x + \beta, \quad y \mapsto y + \gamma_n x^n + \dots + \gamma_0$$
    con $\alpha \neq 0$.
  • Vengono definiti due omomorfismi chiave:
    1. $\rho_n: Aut(C) \to \mu_{2n+1}$ (mappa su $\alpha$, radice dell'unità).
    2. $\tau_n: Aut(C) \to M_n$ (mappa sulla parte affine $(\alpha, \beta)$).
  • Viene dimostrato (Teorema 1) che il gruppo ridotto $RA(C)$ ha una struttura di prodotto semidiretto:
    $$RA(C) \simeq U_n \rtimes \mathbb{Z}_{\#Im\rho_n}$$
    dove $U_n$ è un gruppo abeliano elementare 2 (isomorfo a $\mathbb{Z}_2^\ell$) e la parte ciclica dipende dalle radici dell'unità.

• Approccio Computazionale:

  • Per determinare le condizioni esatte sui coefficienti $a_i$ che permettono l'esistenza di automorfismi non banali, gli autori utilizzano il sistema di algebra computazionale Magma.
  • Viene implementato un algoritmo per calcolare la base di Gröbner dell'ideale generato dalle equazioni necessarie affinché la trasformazione di coordinate sia un automorfismo.
  • L'analisi della base di Gröbner permette di contare il numero di soluzioni possibili per $\alpha$ e $\beta$ in funzione dei coefficienti $a_i$, determinando così l'ordine e la struttura del gruppo per $n = 1, \dots, 6$ e per curve supersingolari specifiche fino a $g=9$.

3. Risultati Chiave

A. Struttura Generale (Teorema 1)

Il gruppo di automorfismo ridotto $RA(C)$ è sempre isomorfo a un prodotto semidiretto di un gruppo abeliano elementare 2 ($U_n$) e un gruppo ciclico di ordine dispari.

• Se $n$ è dispari e $n \ge 3$, allora $U_n$ è banale ($\{e\}$), quindi $RA(C)$ è ciclico.
• Se $n$ è pari, $U_n$ può essere non banale, portando a strutture più complesse.

B. Classificazione per Genere Piccolo (Teorema 2)

Per $n = 1, \dots, 6$, gli autori forniscono una tabella dettagliata che lega la struttura del gruppo $RA(C)$ e l'ordine di $Aut(C)$ alle condizioni sui coefficienti $a_i$:

• Genere 1: $RA(C) \simeq \mathbb{Z}_2^2 \rtimes \mathbb{Z}_3 \simeq A_4$ (ordine 24).
• Genere 2: Dipende da $a_1$. Se $a_1 \neq 0$, $RA(C) \simeq \mathbb{Z}_2^4$ (ordine 32); se $a_1=0$, $RA(C) \simeq \mathbb{Z}_2^4 \rtimes \mathbb{Z}_5$ (ordine 160).
• Genere 3: Per condizioni generiche, il gruppo è banale ($\mathbb{Z}_1$), dando ordine 2. Solo in casi speciali (equazioni nulle specifiche) si ottiene un gruppo ciclico $\mathbb{Z}_7$ (ordine 14).
• Genere 4, 5, 6: Si osservano strutture simili: per condizioni generiche (coefficienti non nulli), il gruppo è banale o molto piccolo. Solo quando specifici coefficienti si annullano (es. $a_3=a_2=a_1=0$ per $n=4$), il gruppo cresce significativamente (es. $\mathbb{Z}_2^6 \rtimes \mathbb{Z}_9$, ordine 1152).

C. Curve di Scholten-Zhu (Teorema 3)

Per le curve supersingolari di tipo Scholten-Zhu (definite da equazioni specifiche per $g=1, \dots, 9$), i risultati confermano che:

• Per $g=2, 4, 8$ (potenze di 2), esistono casi in cui il gruppo di automorfismo è molto grande (es. per $g=8$ con coefficienti nulli, ordine 8704).
• Per $g$ dispari o non potenza di 2, il gruppo è spesso banale o piccolo.

4. Congetture e Significato

Sulla base dei risultati computazionali, gli autori formulano due congetture fondamentali:

1. Congettura 1 (Analogo di Oort per 2-rango 0): Il gruppo di automorfismo di una curva iperellittica generica di 2-rango 0 e genere $g > 2$ in caratteristica 2 è $\{\pm 1\}$.

   • Significato: Questo conferma che, per la maggior parte delle curve (caso generico), la simmetria è minima, analogamente alla congettura di Oort per le varietà abeliane.

2. Congettura 2 (Analogo di Oort per curve supersingolari): Il gruppo di automorfismo di una curva iperellittica supersingolare generica di genere $g$ in caratteristica 2 è $\{\pm 1\}$ se e solo se $g$ non è una potenza di 2.

   • Significato: Questo risultato è cruciale perché mostra che la congettura originale di Oort fallisce in caratteristica 2 per i generi che sono potenze di 2 ($g=2, 4, 8$), dove le curve possono ammettere gruppi di automorfismo molto grandi. Questo evidenzia una differenza fondamentale tra la teoria in caratteristica 0/p dispari e quella in caratteristica 2.

5. Conclusioni e Lavoro Futuro

Il paper fornisce una classificazione completa per piccoli generi, dimostrando che la struttura del gruppo di automorfismo dipende criticamente dall'annullamento di specifici polinomi nei coefficienti della curva.

• Limiti: Per $n > 6$, i calcoli diventano proibitivi con l'attuale hardware e algoritmi.
• Prospettive: Il lavoro futuro mira a sviluppare approcci teorici per generalizzare i risultati per $n$ arbitrario, in particolare per classificare l'immagine di $\rho_n$ e la struttura del nucleo $U_n$ quando $n$ è pari. Gli autori notano che per $n=2^m$, sembra che $U_n$ assuma solo due forme specifiche, ma ciò richiede una prova teorica rigorosa.

In sintesi, questo lavoro colma un vuoto nella classificazione delle curve iperellittiche in caratteristica 2, fornendo controesempi e raffinamenti essenziali alla congettura di Oort in contesti di caratteristica 2.