The integral Chow ring of $\mathcal{M}_{0}(\mathbb{P}^r, 2)

1. Il Problema

L'articolo si inserisce nel programma di ricerca volto a calcolare gli anelli di Chow con coefficienti interi degli stack di moduli $\mathcal{M}_0(\mathbb{P}^r, d)$, che parametrizzano mappe stabili di grado $d$ da curve razionali lisce allo spazio proiettivo $\mathbb{P}^r$.
Mentre il caso dispari ($d$ dispari) è stato affrontato in lavori precedenti (in particolare [CF23]) presentando lo stack come un quoziente globale sotto l'azione di $GL_2$, il caso pari ($d$ pari) presenta ostacoli tecnici: l'azione di $PGL_2$ non si solleva a un'azione di $GL_2$ sul cono affine delle mappe.
Il paper si concentra specificamente sul caso $d=2$ (mappe di grado 2), fornendo una presentazione completa dell'anello di Chow intero $A^*(\mathcal{M}_0(\mathbb{P}^r, 2))$ come quoziente di un anello polinomiale a tre variabili.

2. Metodologia

La strategia di calcolo segue un approccio sistematico basato sulla teoria dell'intersezione equivariante e sulla teoria degli stack di quozienti:

• Presentazione come Stack di Quoziente ($GL_3$):
  Poiché un'azione $GL_2$ non è disponibile per $d=2$, gli autori utilizzano una costruzione generale (da [DL21]) per presentare $\mathcal{M}_0(\mathbb{P}^r, 2)$ come uno stack di quoziente globale sotto l'azione del gruppo speciale $GL_3$.

  • L'idea fondamentale è interpretare la curva sorgente non come una $\mathbb{P}^1$ parametrizzata, ma come una conica liscia in $\mathbb{P}^2$.
  • Lo spazio delle coniche non degeneri $S \subset \mathbb{P}^5$ è un $GL_3$-torsore sopra il punto classificante $[Spec(k)/PGL_2]$.
  • Lo stack $\mathcal{M}_0(\mathbb{P}^r, 2)$ è isomorfo a $[Y/GL_3]$, dove $Y$ è un sottoinsieme aperto di un fibrato vettoriale su $S$.

• Calcolo dell'Anello di Chow Equivariante:
  L'obiettivo diventa calcolare $A^*_{GL_3}(Y)$.

  • Si identifica $Y$ come un sottoinsieme aperto di un fibrato proiettivo $\mathbb{P}(\check{F}^r)$ sopra $S$.
  • Si utilizza la sequenza di escissione per esprimere l'anello di Chow di $Y$ come il quoziente dell'anello di Chow dell'ambiente $\mathbb{P}(\check{F}^r)$ rispetto all'immagine spinta (pushforward) dell'anello di Chow del complementare $Z = \mathbb{P}(\check{F}^r) \setminus Y$.

• Costruzione di un Inviluppo Equivariante:
  Per calcolare le relazioni generate dal complementare $Z$, gli autori costruiscono un inviluppo equivariante $\tilde{Z} = Z_1 \sqcup Z_2$ che mappa propriamente su $Z$. Questo permette di calcolare le relazioni tramite la localizzazione di Atiyah-Bott rispetto al toro massimale $\Delta \subset GL_3$.

  • Componente $Z_1$: Corrisponde a coniche con un punto fissato $p$ e $r+1$ forme lineari che si annullano in $p$. Geometricamente, è un fibrato proiettivo su un fibrato proiettivo sopra $\mathbb{P}^2$.
  • Componente $Z_2$: Corrisponde a coniche con due punti fissati e forme lineari che si annullano su entrambi. Geometricamente, è un prodotto di spazi proiettivi.

• Localizzazione e Simmetria:
  Si calcolano le spinte in avanti delle classi di coomologia equivariante dai punti fissi del toro su $Z_1$ e $Z_2$. I risultati sono espressi in termini delle radici di Chern $l_0, l_1, l_2$ e poi ristretti alla parte invariante sotto il gruppo di Weyl $S_3$, ottenendo polinomi nelle classi caratteristiche $c_1, c_2, c_3$ di $GL_3$.

3. Risultati Chiave e Contributi

Il risultato principale è la presentazione esplicita dell'anello di Chow intero come quoziente di un anello polinomiale.

Teorema 1 (Forma Funzionale Generatrice):
L'anello di Chow intero $A^*(\mathcal{M}_0(\mathbb{P}^r, 2))$ è isomorfo a:
$$\mathbb{Z}[T, c_2, c_3] / I_r$$
dove:

• $T$ è una variabile di grado 1.
• $c_i$ sono variabili graduate di grado $i$ (classi di Chern).
• L'ideale $I_r$ è generato da un numero finito di relazioni, tra cui:
  1. $2c_3$ (relazione di torsione).
  2. $(T^3 + c_2 T + c_3)^{r+1}$.
  3. Relazioni non banali estratte dai coefficienti omogenei di due funzioni generatrici razionali $R_1$ e $R_2$:
     $$R_1 = \frac{2}{(1-T)^2 + c_2}$$
     $$R_2 = \frac{1}{(1-T^2)((1-T^2-c_2)^2 + c_2)} - c_2^2 + \frac{(T-c_3)c_3}{(1-T^2)((1-T^2-c_2)^2 + c_2)}$$
     (Nota: la forma esatta di $R_2$ nel testo è complessa, ma il punto chiave è che è una funzione razionale).

Teorema 1 (Forma Chiusa):
Alternativamente, l'ideale può essere descritto esplicitamente tramite polinomi $\alpha_{i,k}^r$ ottenuti dalla localizzazione, che sono combinazioni simmetriche delle radici $l_i$.

Struttura Combinatoria:
Un contributo significativo è l'osservazione che tutte le relazioni non banali sono codificate dalle due funzioni razionali $R_1$ e $R_2$. Questo rivela una ricca struttura combinatoria che varia al variare di $r$, permettendo di descrivere l'intera famiglia di anelli di Chow per diversi $r$ in modo compatto.

4. Significato e Implicazioni

• Risolvere il caso pari: Questo lavoro supera la difficoltà tecnica dell'assenza di un sollevamento $GL_2$ per $d$ pari, dimostrando la fattibilità di utilizzare $GL_3$ come gruppo di simmetria per calcolare invarianti interi.
• Efficienza Computazionale: La formulazione tramite funzioni generatrici razionali è estremamente potente. Invece di calcolare relazioni caso per caso per ogni $r$, l'intera struttura è catturata da due funzioni algebriche.
• Base per futuri lavori: Gli autori discutono come questa metodologia possa essere estesa a gradi $d \ge 4$. Sebbene la localizzazione diretta diventi più complessa a causa della non-proprietà o singolarità degli spazi, suggeriscono che la teoria dell'intersezione virtuale potrebbe permettere di applicare nuovamente il teorema di localizzazione, mantenendo la struttura combinatoria osservata in questo caso $d=2$.
• Esempi Espliciti: Il paper fornisce calcoli espliciti per $r=1, 2, 3$ (tabella 1), mostrando come le relazioni si specializzano in dimensioni basse, confermando la validità della teoria generale.

In sintesi, il paper fornisce una descrizione completa e strutturata dell'anello di Chow intero per le mappe di grado 2, trasformando un problema geometrico complesso in una questione di algebra combinatoria gestibile tramite funzioni generatrici.