Modeling dependency between operational risk losses and macroeconomic variables using Hidden Markov Models

Titolo: Modellazione della dipendenza tra perdite di rischio operativo e variabili macroeconomiche utilizzando Modelli a Markov Nascosti (HMM)

Autori: Nikeethan Selvaratnam, Dorinel Bastide, Clément Fernandes, Wojciech Pieczynski.
Data: Aprile 2025.

1. Il Problema

La modellazione del Rischio Operativo (OR) nelle istituzioni finanziarie presenta sfide significative a causa della natura eterogenea e dipendente dal tempo dei dati reali.

• Limiti degli approcci tradizionali: L'approccio standard, noto come Loss Distribution Approach (LDA), utilizza spesso processi di Poisson Composti (CPP). Questi assumono che gli eventi siano indipendenti, che gli intervalli di tempo seguano una distribuzione esponenziale (proprietà "senza memoria") e che le perdite siano stazionarie.
• Realtà dei dati: In pratica, le perdite operative mostrano dipendenze temporali, effetti di memoria (es. un problema IT risolto riduce la probabilità di un evento simile a breve termine) e cambiamenti di regime (es. periodi di crisi vs. stabilità).
• Necessità di Stress Testing: Gli esercizi di stress testing (come CCAR o EBA S/T) richiedono di comprendere come le perdite operative reagiscano agli shock macroeconomici. I modelli attuali faticano a integrare dinamicamente covariate economiche esterne per prevedere le perdite in scenari di crisi, spesso sottostimando il rischio durante le crisi e sovrastimandolo nei periodi di calma.

2. Metodologia

Gli autori propongono un'estensione dei Modelli a Markov Nascosti (HMM) per gestire osservazioni multivariate, integrando direttamente le covariate macroeconomiche nel processo di osservazione.

Modello Matematico

Il modello definisce una sequenza di stati nascosti $X_n$ (una catena di Markov omogenea) che governa la distribuzione delle osservazioni $Y_n$.

• Osservazioni Multivariate: Il vettore di osservazione $Y_n = (Y^1_n, Y^2_n)$ è bidimensionale:
  • $Y^1_n$: Una variabile macroeconomica (nel caso studio, l'indice di volatilità VSTOXX, proxy per l'incertezza di mercato).
  • $Y^2_n$: La variabile di perdita operativa.
• Distribuzione di Emissione: Condizionatamente allo stato nascosto $X_n = \omega_i$, il vettore $Y_n$ segue una distribuzione Gaussiana multivariata $N(\mu_i, \Sigma_i)$. La matrice di covarianza $\Sigma_i$ cattura la correlazione tra la volatilità di mercato e le perdite operative all'interno di ciascun regime.
• Dinamica degli Stati: Gli stati nascosti rappresentano diversi "regimi" di rischio (es. regime a bassa perdita/stabile vs. regime ad alta perdita/stress). La transizione tra questi stati è governata da una matrice di transizione $A$.

Algoritmi di Calibrazione

Il modello viene calibrato utilizzando l'algoritmo Expectation-Maximization (EM), noto come algoritmo di Baum-Welch per gli HMM:

1. Forward Algorithm: Calcola la densità predittiva a un passo e le probabilità posteriori filtrate (stato corrente dato il passato).
2. Backward Algorithm: Incorpora le osservazioni future per affinare la stima degli stati.
3. E-Step e M-Step: Iterativamente stimano le probabilità degli stati nascosti e aggiornano i parametri del modello ($\pi, A, \mu, \Sigma$) per massimizzare la verosimiglianza dei dati osservati.

Stima del Rischio

Per lo stress testing, l'obiettivo è stimare il quantile 90° delle perdite future ($Y^2_{N+1}$) condizionato alla storia passata e alla variabile macroeconomica. Questo viene ottenuto simulando percorsi futuri basati sulla densità predittiva a un passo del modello HMM.

3. Contributi Chiave

• Integrazione Diretta delle Covariate: A differenza degli HMM tradizionali usati solo per identificare stati latenti, questo approccio integra esplicitamente una variabile macroeconomica (VSTOXX) nel vettore di osservazione, permettendo di valutare direttamente l'influenza delle condizioni di mercato sulla dinamica delle perdite.
• Gestione della Non-Stazionarietà: Il modello supera i limiti del processo di Poisson Composto assumendo che l'intensità e la distribuzione delle perdite cambino dinamicamente in base a regimi nascosti, che possono essere influenzati da shock esterni.
• Metodologia di Valutazione Comparativa: Viene sviluppata una struttura sistematica per testare l'utilità delle covariate macroeconomiche confrontando modelli con e senza tali variabili su diverse categorie di eventi e diverse frequenze temporali (settimanale, mensile, trimestrale).
• Flessibilità per lo Stress Testing: Il framework offre un approccio più granulare e sensibile agli scenari rispetto ai modelli LDA tradizionali, adattandosi meglio alle esigenze di regolamentazione (Basel IV, stress test).

4. Risultati Sperimentali

Lo studio è stato applicato a un dataset di perdite operative (simulato su dati reali anonimizzati) classificato secondo le 7 categorie di eventi di Basel II, con un focus particolare sulla Frode Interna (Internal Fraud).

• Impatto della Frequenza Temporale:

  • A frequenza trimestrale, il modello HMM standard (senza covariate) riesce già a catturare bene i regimi di perdita.
  • A frequenza settimanale, il modello standard fatica a distinguere i regimi a causa del rumore nei dati, mostrando transizioni di stato eccessivamente frequenti.
  • Risultato chiave: L'inclusione del VSTOXX migliora significativamente la stabilità del modello a frequenze elevate, rendendo le probabilità degli stati filtrati più persistenti e aiutando a distinguere le fluttuazioni a breve termine dai veri cambi di regime.

• Performance Predittiva (MSE):

  • Per la Frode Interna (ET1) e la Frode Esterna (ET2), l'inclusione del VSTOXX riduce l'Errore Quadratico Medio (MSE) tra il quantile previsto e quello osservato in quasi tutte le configurazioni (specialmente a frequenze settimanali e mensili). Questo conferma una dipendenza statistica significativa tra l'incertezza di mercato e queste perdite.
  • Per categorie come Danni Fisici (ET5) e Guasti di Sistema (ET6), l'inclusione del VSTOXX non migliora le prestazioni (e talvolta le peggiora), indicando che queste perdite non sono guidate dalla volatilità di mercato ma da fattori operativi o ambientali.

• Numero di Stati Nascosti:

  • Modelli con 2 o 3 stati offrono il miglior compromesso tra flessibilità e sovrapposizione (overfitting). Modelli con 4 o più stati tendono a essere instabili su dati con poche osservazioni (es. trimestrale).

5. Significato e Conclusioni

• Rilevanza per la Regolamentazione: Il lavoro dimostra che non tutte le categorie di rischio operativo reagiscono allo stesso modo alle variabili macroeconomiche. L'uso di un modello unico per tutte le categorie è inefficace; è necessario un approccio specifico per evento.
• Validazione dello Stress Testing: Il framework proposto fornisce uno strumento robusto per gli stress test, permettendo di simulare come shock macroeconomici (come un aumento della volatilità) possano propagarsi e alterare la distribuzione delle perdite operative, specialmente per rischi legati alla frode e al comportamento umano.
• Limitazioni e Sviluppi Futuri: L'assunzione di normalità (Gaussiana) semplifica i calcoli ma potrebbe non catturare adeguatamente le code grasse (extreme events) tipiche delle perdite operative. Gli autori suggeriscono estensioni future verso distribuzioni a code pesanti (es. Student-t) e l'integrazione di altre covariate (clima, rischi geopolitici, cyber).

In sintesi, il paper valida l'uso degli HMM multivariati come strumento superiore rispetto ai modelli stazionari tradizionali per la modellazione del rischio operativo in contesti di stress, a condizione che le variabili macroeconomiche siano rilevanti per la specifica tipologia di evento analizzato.