Consistent Variable Selection for GARCH-X Models

1. Enunciato del Problema

La modellazione della volatilità finanziaria si basa spesso sui modelli GARCH (Eteroschedasticità Condizionale Autoregressiva Generalizzata). Sebbene i modelli GARCH standard catturino le dinamiche endogene della volatilità (shock passati e volatilità passata), le evidenze empiriche suggeriscono che fattori esterni (esogeni) — come indicatori macroeconomici, intensità delle notizie o prezzi delle materie prime — influenzino significativamente la volatilità.

Il modello GARCH-X estende il quadro standard per includere queste covariate esogene. Tuttavia, sorge una sfida critica quando il numero di potenziali covariate è elevato:

• Difficoltà di Selezione del Modello: I metodi esistenti si concentrano principalmente sulla selezione dell'ordine del modello (ad esempio, determinare $p$ e $q$ in GARCH($p,q$)) piuttosto che sulla selezione di specifiche variabili esogene.
• Onere Computazionale: Testare esaustivamente tutte le combinazioni di covariate utilizzando criteri penalizzati (come BIC o AIC) è computazionalmente proibitivo quando il numero di covariate è da moderato a elevato.
• Mancanza di Garanzie Teoriche: Non esisteva una procedura stabilita con risultati di coerenza teorica specificamente per la selezione di covariate esogene nei modelli di volatilità. L'obiettivo è identificare il "vero" sottoinsieme di covariate rilevanti che guidano la volatilità, escludendo quelle irrilevanti.

2. Metodologia

Gli autori propongono una procedura coerente di selezione delle variabili basata su un quadro di test di ipotesi multiple combinato con il controllo del Tasso di Falsi Positivi (FDR).

A. Il Quadro del Modello

Il documento utilizza il modello GARCH($p,q$)-X:
$$\epsilon_t = \sigma_t w_t$$
$$\sigma_t^2(\theta) = \omega + \sum_{i=1}^p \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^q \beta_j \sigma_{t-j}^2 + \gamma^T X_{t-1}$$
Dove $X_{t-1}$ è un vettore di $d$ covariate esogene, e $\gamma = (\gamma_1, \dots, \gamma_d)'$ rappresenta i coefficienti da testare. L'obiettivo è recuperare l'insieme di indici vero $I_0 = \{k : \gamma_k \neq 0\}$.

B. Test di Ipotesi

Per ogni covariata $k$, gli autori formulano un test di ipotesi unilaterale:

• $H_0^k: \gamma_k = 0$ (La covariata è irrilevante)
• $H_1^k: \gamma_k > 0$ (La covariata è rilevante)

Utilizzano lo Stimatore di Massima Verosimiglianza Quasi (QMLE) $\hat{\theta}_n$. Sotto condizioni di regolarità (stabilite in Francq e Thieu, 2019), lo stimatore è coerente e asintoticamente normale (proiettato sullo spazio dei parametri a causa dei vincoli di non negatività).

La statistica di test per ogni covariata è una statistica di tipo Wald:
$$t_n(k) = \frac{\sqrt{n} e_k^T \hat{\theta}_n}{\sqrt{e_k^T \hat{\Sigma}_n e_k}}$$
Dove $\hat{\Sigma}_n$ è la matrice di covarianza asintotica stimata. A causa del vincolo di positività sui parametri, la statistica al quadrato $t_n^2(k)$ segue una distribuzione chi-bar-quadrato (una miscela di una massa puntuale in 0 e una distribuzione $\chi^2_1$).

C. Selezione delle Variabili tramite Controllo FDR

Invece di utilizzare un livello di significatività fisso (che porta a alti errori di Tipo I nel test multiplo), gli autori applicano la procedura di Benjamini–Yekutieli (2001) per controllare il Tasso di Falsi Positivi (FDR).

1. Calcolare i valori p $\pi_k$ per tutte le $d$ covariate.
2. Ordinare i valori p: $\pi_{(1)} \leq \dots \leq \pi_{(d)}$.
3. Determinare il più grande indice $\ell$ tale che:
   $$\pi_{(k)} \leq \frac{k}{d} \frac{\alpha_n}{\sum_{l=1}^d l^{-1}}$$
4. Rifiutare le ipotesi nulle per le prime $\ell$ covariate. L'insieme selezionato $\hat{I}$ è costituito dagli indici di queste ipotesi rifiutate.

D. Condizioni di Coerenza

Il metodo è dimostrato essere coerente (cioè $P(\hat{I} = I_0) \to 1$ quando $n \to \infty$) sotto condizioni specifiche:

• Condizione (C1): Le varianze asintotiche degli stimatori devono diminuire sufficientemente velocemente rispetto alla dimensione del campione ($\sigma_{kk} < n/\log(n)$).
• Forza del Segnale: Il livello di significatività $\alpha_n$ deve decadere a 0 a un tasso specifico ($\alpha_n = o(e^{-cn})$) all'aumentare della dimensione del campione, permettendo al metodo di distinguere i segnali veri dal rumore anche se la forza del segnale diminuisce leggermente.

3. Contributi Chiave

1. Coerenza Teorica: Il documento fornisce la prima prova formale che una regola di selezione delle variabili basata sul controllo FDR è coerente per i modelli GARCH-X, garantendo il recupero asintotico del vero insieme di covariate.
2. Gestione dei Vincoli: La metodologia tiene esplicitamente conto dei vincoli di non negatività dei parametri GARCH, utilizzando la corretta distribuzione chi-bar-quadrato per il calcolo dei valori p invece delle approssimazioni normali standard.
3. Efficienza Computazionale: Evitando la ricerca esaustiva su tutti i sottoinsiemi e utilizzando una procedura FDR step-up, il metodo scala in modo efficiente con il numero di covariate.
4. Robustezza al Decadimento del Segnale: Il quadro teorico permette una "forza del segnale decrescente", il che significa che il metodo funziona anche se l'entità dell'effetto delle covariate rilevanti diventa più piccola all'aumentare della dimensione del campione, a condizione che il decadimento non sia troppo rapido.

4. Risultati

A. Simulazioni Monte Carlo

Gli autori hanno condotto simulazioni estese su quattro scenari:

• Scenari 1 & 2: GARCH(1,1)-X con covariate indipendenti e correlate a decadimento esponenziale.
• Scenari 3 & 4: GARCH(2,1)-X con covariate indipendenti e correlate.
• Distribuzioni: Gli errori sono stati generati da distribuzioni Normale, Student's $t$ (5 e 7 gradi di libertà) per testare la robustezza contro code pesanti.
• Dimensioni del Campione: $n = 500, 1000, 5000, 10000$.

Risultati Chiave:

• Accuratezza: All'aumentare della dimensione del campione, il metodo ha identificato correttamente le covariate rilevanti con una probabilità che si avvicina a 1. Per $n=5000$ e $n=10000$, i tassi di selezione per le covariate vere erano vicini al 100%, mentre i tassi di falsa selezione per le covariate irrilevanti erano trascurabili (< 5%).
• Robustezza: Il metodo ha funzionato bene sotto distribuzioni a code pesanti (Student's $t$), sebbene la convergenza fosse leggermente più lenta rispetto al caso Normale.
• Criteri di Selezione del Modello: I modelli selezionati dal metodo proposto hanno costantemente ottenuto valori BIC e AIC più bassi (migliori) rispetto al "modello completo" (tutte le covariate) e al "modello nullo" (nessuna covariata) a dimensioni del campione più grandi, dimostrando un compromesso ottimale tra parsimonia e adattamento.

B. Applicazione su Dati Reali: Volatilità S&P 500

Il metodo è stato applicato ai rendimenti giornalieri dell'S&P 500 (gennaio 2000 – maggio 2025) utilizzando 9 covariate esogene (NASDAQ, Dow Jones, Petrolio greggio, Gas naturale, Oro, Palladio, Riso, Acciaio, Grano).

• Risultati della Selezione: A un livello di significatività aggiustato di 0,05, la procedura ha selezionato NASDAQ e Petrolio greggio come unici driver statisticamente significativi. L'Acciaio era marginalmente significativo.
• Confronto dei Modelli:
  • Il Modello Selezionato (NASDAQ + Petrolio greggio) aveva un BIC di 141.721,2 e un AIC di 141.689,4.
  • Il Modello Completo (tutte le 9 covariate) aveva un BIC più alto (141.792,3) e un AIC (141.715,9), indicando un sovradattamento.
  • Il Modello Nullo (nessuna covariata) ha performato peggio del modello selezionato in termini di AIC, confermando che i fattori esterni aggiungono potere esplicativo.
• Conclusione: Il modello selezionato ha fornito una spiegazione più parsimoniosa e interpretabile della volatilità dell'S&P 500, catturando il sentiment di mercato (NASDAQ) e gli shock energetici/inflazionistici (Petrolio) senza complessità non necessarie.

5. Significato

Questo documento colma un divario critico nell'econometria finanziaria fornendo uno strumento rigoroso, teoricamente fondato e computazionalmente fattibile per la selezione delle variabili nella modellazione della volatilità.

• Utilità Pratica: Permette a ricercatori e professionisti di identificare oggettivamente quali indicatori macroeconomici o finanziari guidano realmente la volatilità di mercato, evitando l'approccio "lavandino" di includere tutti i dati disponibili.
• Avanzamento Teorico: Estende l'applicazione del controllo FDR dai contesti di regressione ai modelli di serie temporali non lineari ed eteroschedastici con vincoli parametrici complessi.
• Gestione del Rischio: Identificando i veri driver della volatilità, il metodo migliora l'accuratezza degli strumenti di gestione del rischio (ad esempio, Value-at-Risk) e dei modelli di pricing degli asset, in particolare durante i periodi di stress di mercato in cui i fattori esogeni sono più influenti.